高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品一课一练

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品一课一练，共7页。

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一、选择题


1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂α，CD⊄α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )


A．平行 B．异面


C．相交 D．平行或异面


D [由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．]


2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列四个命题正确的是( )


A．α内的所有直线与l异面


B．α内不存在与l平行的直线


C．α内存在唯一的直线与l平行


D．α内的直线与l相交





B [依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．]


3．若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面( )


A．不存在B．零个或一个


C．可以有两个D．有无数多个


B [记a与P所确定的平面为α，当b∥α时，与a，b均平行的平面不存在，当b不平行α时，与a，b均平行的平面有一个，故选B．]


4．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上—点，当PA∥平面EBF时，eq \f(PF,FC)＝( )





A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,4)


C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,2)


D [连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以eq \f(PF,FC)＝eq \f(AG,GC).因为AD∥BC，AD＝BC，E为AD的中点，所以eq \f(AG,GC)＝eq \f(AE,BC)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(PF,FC)＝eq \f(1,2).故选D．]





5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是( )





A．平行


B．相交


C．异面


D．平行或相关


A [∵eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(AB∥α,α∩β＝CD,AB⊂β))⇒AB∥CD，


同理可证AB∥EF，∴EF∥CD．]


二、填空题


6．如图，三棱锥A­BCD中E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.





m∶n [∵AC∥平面EFGH，


∴EF∥AC，HG∥AC．


∴EF＝HG＝eq \f(BE,BA)·m.


同理，EH＝FG＝eq \f(AE,AB)·n，


∴eq \f(BE,AB)·m＝eq \f(AE,AB)·n，


∴AE∶EB＝m∶n.]


7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，M是A1B1的中点，N是AB上的点，且AN∶NB＝1∶2，过D1，M，N的平面交AD于点G，则NG＝________.





eq \f(\r(5),3)a [由题意易知GN∥D1M，由AN∶NB＝1∶2，M为A1B1的中点得AN＝eq \f(1,3)AB＝eq \f(1,3)A1B1＝eq \f(2,3)A1M.


∴eq \f(GN,D1M)＝eq \f(AN,A1M)＝eq \f(2,3)，


∴GN＝eq \f(2,3)D1M＝eq \f(2,3)eq \r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(5),3)a.]


8．如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，则四边形BCFE的形状一定是________．





梯形 [∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD．∵AD⊂平面PAD，


∴BC∥平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，


∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，


∴BC≠EF，∴四边形BCFE为梯形．]


三、解答题


9．如图，已知A1B1C1­ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1.





[证明] ∵A1B1C1­ABC是正三棱柱，


∴四边形B1BCC1是矩形．





连接B1C交BC1于点E，


则B1E＝EC．


连接DE，在△AB1C中，


∵AD＝DC，B1E＝EC，


∴DE∥AB1.


又∵AB1⊄平面DBC1，DE⊂平面DBC1，


∴AB1∥平面DBC1.


10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.





[证明] ∵AC∥A1C1，而AC⊄平面A1EC1，A1C1⊂平面A1EC1.


∴AC∥平面A1EC1.


而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC⊂平面AB1C，


∴AC∥FG.





1．下列说法中正确的是( )


A．平行于同一平面的两直线平行


B．若直线a平行于平面α内的一条直线b，则直线a∥平面α


C．若两平行直线中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交


D．若直线a与平面α内的无数条直线相交，则直线a在平面α内


C [A中两直线可以平行也可以相交或异面，B中a也有可能在平面α内，D中直线a也可能与平面α相交．]


2．如图所示，A是平面BCD外一点，E，F，H分别是BD，DC，AB的中点，设过这三点的平面为α，则在下面的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线条数有( )





A．1 B．2 C．3 D．4


B [如图，过F作FG∥AD交AC于G，连接HG，HE，EF，显然平面EFGH就是平面α.





在△BCD中，EF∥BC，EF⊂α，


BC⊄α，


∴BC∥α.同理，AD∥α.


所以在所给的6条直线中，与平面α平行的有2条．]


3．在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________．


平面ABC，平面ABD [连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F(图略)，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由eq \f(EM,MA)＝eq \f(EN,NB)得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD．]


4．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．





eq \r(2) [因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC．又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：


EF＝eq \f(1,2)AC．又因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq \r(2)，所以EF＝eq \r(2).]


5．如图，直线l是过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交线．





求证：B1D1∥l.


[证明] ∵BB1DD1，


∴四边形BDD1B1是平行四边形，


∴B1D1∥BD．


∵B1D1⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，


∴B1D1∥平面ABCD．


∵平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1⊂平面AB1D1，


∴B1D1∥l.