苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系优秀课后练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系优秀课后练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．直线a和b在正方体ABCD­A1B1C1D1中的两个不同平面内，下列使a∥b成立的条件个数是( )


①a和b垂直于正方体的同一个平面；


②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；


③a和b平行于同一条棱；


④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．


A．1 B．2 C．3 D．4


C [①②③一定能使a∥b成立，④不一定使a∥b成立，例如在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥AB，BC⊥AB，显然AA1与BC不平行．]


2．下列语句中不正确的是( )


A．l⊥α⇒l与α相交


B．m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α


C．l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α


D．l⊥α，m⊥α⇒l∥m


B [B中若m∥n，不能得出l⊥α.]


3．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是( )


A．平行四边形B．矩形


C．正方形 D．菱形


D [如图，∵PA⊥平面ABCD，





∴PA⊥BD．


∵PC⊥BD，且PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD．]


4．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：


①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；


②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；


③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；


④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．


其中为真命题的是( )


A．①②B．②③


C．②④D．①④





D [①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD；④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC．故选D．]


5．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为eq \r(2)，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是( )





A．30°B．45°


C．60°D．90°


A [取AC的中点D，连接DB，C1D，则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角，在△ABC中，易得BD＝eq \f(\r(3),2).





在△DCC1中，易得DC1＝eq \f(3,2)，


在Rt△BC1D中，tan∠BC1D＝eq \f(BD,DC1)＝eq \f(\r(3),3)，


即∠BC1D＝30°.]


二、填空题


6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．


4eq \r(5) [如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD．





∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，且PA∩PD＝P，


∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC．


在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，


在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5)，即P到BC的距离为4eq \r(5).]


7．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为________．





垂直 [∵AA1⊥平面ABC，


∴BC⊥AA1，


∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，


∴BC⊥平面AA1B1B，又AM⊂平面AA1B1B，


∴AM⊥BC．]


8．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．





2 [∵PA⊥平面ABCD，


∴PA⊥QD．


又∵PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P，


∴QD⊥平面PAQ，


∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.]


三、解答题


9．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD．





(1)证明：PA∥平面BDE；


(2)证明：AC⊥平面PBD．


[证明] (1)设AC∩BD＝H，连接EH.


在△ADC中，


因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，


所以H为AC的中点．


又由题设，E为PC的中点，





故EH∥PA，


又EH⊂平面BDE，


且PA⊄平面BDE，


所以PA∥平面BDE.


(2)因为PD⊥平面ABCD，


AC⊂平面ABCD，


所以PD⊥AC．


由(1)可得，DB⊥AC，又PD∩DB＝D，


故AC⊥平面PBD．


10．如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.





(1)求证：AF⊥SC；


(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．


[证明] (1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，


∴SA⊥BC．


∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC．


又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.


又SB⊥AE，SB∩BC＝B，


∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．


又EF⊥SC，EF∩AE＝E，


∴SC⊥平面AEF.


又AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC．


(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．


又AD⊥DC，SA∩AD＝A，


∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.


又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，


∴SC⊥AG，


又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．





1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：


①三角形的两边；②梯形的两边；


③圆的两条直径；④正六边形的两条边．


能判定直线与此平面垂直的有( )


A．①② B．①③ C．②④ D．③④


B [由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．]


2．如图，四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是________．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．





①②③④ [因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确；因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确；因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确；因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．故①②③④均正确．]


3．如图所示，PA⊥平面ABC，M，N分别为PC，AB的中点，使得MN⊥AC的一个条件为________．





AC⊥BC [取AC中点Q，连接MQ，NQ，





则MQ∥AP，NQ∥BC，


由已知条件易得MQ⊥AC，若AC⊥BC，


则NQ⊥AC，所以AC⊥平面MNQ，


所以AC⊥MN.]


4．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D到D′的位置，且平面AED′⊥平面ABCE，则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________．





eq \f(\r(2),2) [由题意，知△AED′为等腰直角三角形，平面AED′⊥平面ABCE，∴AD′在底面的射影在AE上，∴∠D′AE为直线AD′与平面ABC所成角，且∠D′AE＝45°，其正弦值为eq \f(\r(2),2).]


5．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．





(1)证明：CD⊥AE；


(2)证明：PD⊥平面ABE.


[证明] (1)在四棱锥P­ABCD中，


∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD．


又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．


而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.


(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．


又∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．


由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，


∴AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．


∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．


又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD．


又∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．


又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.