苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积优秀当堂达标检测题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积优秀当堂达标检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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一、选择题


1．下列有四个结论，其中正确的是( )


A．各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥


B．三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥


C．底面是正三角形的棱锥是正三棱锥


D．顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥


D [A不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；B缺少第一个条件；C缺少第二个条件；而D可推出以上两个条件，故正确．]


2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )


A．eq \f(1＋2π,2π) B．eq \f(1＋4π,4π)


C．eq \f(1＋2π,π)D．eq \f(1＋4π,2π)


A [设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.]


3．轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )


A．4倍 B．3倍


C．eq \r(2)倍 D．2倍


D [设轴截面正三角形的边长为2a，所以S底＝πa2，





S侧＝πa×2a＝2πa2，所以S侧＝2S底.


故选D．]


4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )





A．4＋4eq \r(2)


B．4＋4eq \r(3)


C．12


D．8＋4eq \r(2)


A [连接A1B．因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2eq \r(2)，BC＝eq \r(2).又AB⊥BC，则AB＝eq \r(2)，则该三棱柱的侧面积为2eq \r(2)×2＋2×2＝4＋4eq \r(2)，故选A．]


5．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )


A．1∶2B．1∶eq \r(3)


C．1∶eq \r(5)D．eq \r(3)∶2


C [设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq \r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq \r(5)πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶eq \r(5).]


二、填空题


6．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________．


20＋20eq \r(3) [由题意可知S侧＝2×5×4×sin 60°＋5×4＝20＋20eq \r(3).]


7．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．


4 [∵l＝eq \f(R＋r,2)，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，


∴l＝4.]


8．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为eq \f(\r(15),3)，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为________．


S1>S2 [斜高h′＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),3)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)×4－2))eq \s\up12(2))＝eq \r(2)，


S1＝eq \f(1,2)×(3×2＋3×4)×eq \r(2)＝9eq \r(2)，S2＝eq \f(\r(3),4)×22＋eq \f(\r(3),4)×42＝5eq \r(3)，∴S1>S2.]


三、解答题


9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．


[解] 法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm.即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D．





在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x cm，所以A′D＝AD＝2x cm，又S轴截面＝eq \f(1,2)(A′B′＋AB)·A′D＝eq \f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.


综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝eq \r(2)OO′＝14 eq \r(2) cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.


法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．





在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，


又SO′＝A′O′＝x cm，所以OO′＝2x cm.


又S轴截面＝eq \f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.


综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝eq \r(2)OO′＝14eq \r(2) cm，上、下底面的半径分别为7 cm,21 cm.


10．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.





(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；


(2)若大棱锥PO的侧棱为12 cm，小棱锥底面边长为4 cm，求截得棱台的侧面积和全面积．


[解] (1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为eq \f(a,2)，


∴S大棱锥侧＝eq \f(1,2)c1h1＝eq \f(1,2)×6a× eq \r(b2－\f(a2,4))＝3a eq \r(b2－\f(a2,4))，


S小棱锥侧＝eq \f(1,2)c2h2＝eq \f(1,2)×3a×eq \f(1,2) eq \r(b2－\f(a2,4))


＝eq \f(3,4)a eq \r(b2－\f(a2,4))，


S棱台侧＝eq \f(1,2)(c1＋c2)(h1－h2)＝eq \f(1,2)(6a＋3a)×eq \f(1,2) eq \r(b2－\f(a2,4))＝eq \f(9,4)a eq \r(b2－\f(a2,4))，


∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.


(2)S侧＝eq \f(1,2)(c1＋c2)(h1－h2)＝144eq \r(2)(cm2)，


S上＝6×eq \f(1,2)×4×4×sin 60°＝24eq \r(3)(cm2)，


S下＝6×eq \f(1,2)×8×8×sin 60°＝96eq \r(3)(cm2)，


∴S全＝S侧＋S上＋S下


＝144eq \r(2)＋120eq \r(3)(cm2)．





1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )


A．1∶2B．1∶eq \r(3)


C．1∶eq \r(5) D．eq \r(3)∶2


C [设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq \r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq \r(5)πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶eq \r(5).]


2．(多选题)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的一动点，则下列选项正确的是( )





A．DP的最小值为eq \f(3\r(5),5)


B．DP的最小值为eq \r(5)


C．AP＋PC1的最小值为eq \r(6)


D．AP＋PC1的最小值为eq \f(\r(170),5)


AD [求DP的最小值，即求△DA1B底边A1B上的高，易知A1B＝A1D＝eq \r(5)，BD＝eq \r(2)，所以A1B边上的高为h＝eq \f(3,5)eq \r(5)，连接A1C1，BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′(图略)，则AC′即为所求的最小值，易知AA1＝2，A1C′＝eq \r(2)，cs∠AA1C′＝－eq \f(\r(2),10)，


所以AC′＝eq \r(4＋2－2×2×\r(2)×－\f(\r(2),10))＝eq \f(\r(170),5).


故选AD．]


3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq \r(2)，AD＝2，则四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周所成空间图形的表面积为________．





24π＋12eq \r(2)π [如图所示，过点C作CE⊥AB交AB于点E，





将四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周得到的空间图形是由直角梯形ADCE旋转得到的圆台与△CBE旋转得到的圆锥拼接而成的组合体．


由已知条件计算可得CE＝4，AE＝2，BE＝3，BC＝5，


∴S表＝π·AD2＋π(CE＋AD)·CD＋π·CE·BC


＝4π＋π·(4＋2)×2eq \r(2)＋π×4×5


＝24π＋12eq \r(2)π.]


4．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝________.








eq \r(3)∶2∶2 [由题意可把三棱锥A1­ABC与四棱锥A1­BCC1B1拼成如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为eq \f(\r(6),3).而四棱锥A1­BCC1B1的高为eq \f(\r(2),2)，则h1∶h2∶h＝eq \f(\r(2),2)∶eq \f(\r(6),3)∶eq \f(\r(6),3)＝eq \r(3)∶2∶2.]


5．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01 m2)．





[解] 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为eq \f(9.6－8×2r,8)＝1.2－2r，所以塑料片面积S＝πr2＋2πr·(1.2－2r)＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.所以当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米.