高中第9章平面向量9.4 向量应用优秀当堂达标检测题

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这是一份高中第9章平面向量9.4 向量应用优秀当堂达标检测题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状为( )

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

C [eq \(AB,\s\up8(→))＝(1，1)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(－3，3)，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝0，

即eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(AC,\s\up8(→))，故△ABC为直角三角形．]

2．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )

A．10 m/sB．2eq \r(26) m/s

C．4eq \r(6) m/sD．12 m/s

B [由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．

所以小船在静水中的速度大小|v|＝eq \r(102＋22)＝eq \r(104)＝2eq \r(26)(m/s)．]

3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是( )

A．5 NB．8 N

C．10 ND．12 N

C [因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N．]

4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))·eq \(OC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))·eq \(OA,\s\up8(→))，则点O是△ABC的( )

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

D [由eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))·eq \(OC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))·eq \(OA,\s\up8(→))，可得eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OB,\s\up8(→))·eq \(OC,\s\up8(→))＝0，(eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→)))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，即eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，eq \(CA,\s\up8(→))⊥eq \(OB,\s\up8(→))，同理可证eq \(OC,\s\up8(→))⊥eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(OA,\s\up8(→))⊥eq \(BC,\s\up8(→)).所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．]

5．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1，2)，C(1，1)，则B的坐标为( )

A．(2，－1)B．(0，－1)

C．(2，3)D．(0，－1)或(2，3)

D [设B的坐标为(x，y)，

则eq \(CB,\s\up8(→))＝(x－1，y－1)，又eq \(AC,\s\up8(→))＝(2，－1)．

由题意知|eq \(CB,\s\up8(→))|＝|eq \(AC,\s\up8(→))|，且eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝0，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12＋y－12＝5，,2x－1－y－1＝0，))

解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))]

二、填空题

6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，eq \(AO,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))，且|eq \(OA,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))|，则eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝________.

1 [设BC的中点是D，如图所示，则eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))＝2eq \(AD,\s\up8(→))，则eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AO,\s\up8(→))，

所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，

所以∠BAC＝90°.

又|eq \(OA,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))|，

则|eq \(BA,\s\up8(→))|＝1，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝2，所以∠ABC＝60°，

所以eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(BA,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs 60°＝1×2×eq \f(1,2)＝1.]

7．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．

eq \r(6) [∵eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))，

∴eq \(AC,\s\up8(→))2＝eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \(AD,\s\up8(→))2＋2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))，①

又eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))，

∴eq \(BD,\s\up8(→))2＝eq \(AD,\s\up8(→))2＋eq \(AB,\s\up8(→))2－2eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))，②

∴①＋②得eq \(AC,\s\up8(→))2＋eq \(BD,\s\up8(→))2＝2(eq \(AB,\s\up8(→))2＋eq \(AD,\s\up8(→))2)．

又AD＝1，AB＝2，BD＝2，

∴AC＝eq \r(6).]

8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F |，若| F |＝|G|，则θ的值为________．

120° [如图，| F 1|＝| F 2|＝eq \f(|G|,2cs \f(θ,2)).

∵| F 1|＝| F 2|＝|G|，∴2cs eq \f(θ,2)＝1，

∴θ＝120°.]

三、解答题

9．如图在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF ⊥BC，垂足分别为E，F ，连接DP，EF .求证：DP⊥EF .

[证明] 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0

则EP＝AE＝a，PF ＝EB＝1－a，

AP＝eq \r(2)a.于是eq \(DP,\s\up8(→))·eq \(EF,\s\up8(→))＝(eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(AP,\s\up8(→)))·(eq \(EP,\s\up8(→))＋eq \(PF,\s\up8(→)))＝eq \(DA,\s\up8(→))·eq \(EP,\s\up8(→))＋eq \(DA,\s\up8(→))·eq \(PF,\s\up8(→))＋eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(EP,\s\up8(→))＋eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(PF,\s\up8(→))＝1×a×cs 180°＋1×(1－a)×cs 90°＋eq \r(2)a×a×cs 45°＋eq \r(2)a×(1－a)×cs 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.

所以eq \(DP,\s\up8(→))⊥eq \(EF,\s\up8(→))，所以DP⊥EF.

10．已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1，2)，点C在第二象限，eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，2)，且eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(AC,\s\up8(→))的夹角为eq \f(π,4)，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝2.

(1)求点D的坐标；

(2)当m为何值时，eq \(AC,\s\up8(→))＋meq \(AB,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))垂直．

[解] (1)设C(x，y)，D(a，b)，则eq \(AC,\s\up8(→))＝(x＋1，y－2)．

∵eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(AC,\s\up8(→))的夹角为eq \f(π,4)，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝2，

∴eq \f(\(AB,\s\up8(→))·\(AC,\s\up8(→)),|\(AB,\s\up8(→))||\(AC,\s\up8(→))|)＝eq \f(2,\r(22＋22)\r(x＋12＋y－22))＝eq \f(\r(2),2)，

化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.①

又eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，化为x＋y＝2.②

联立①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))

又点C在第二象限，∴C(－1，3)．又eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(BA,\s\up8(→))，∴(a＋1，b－3)＝(－2，－2)，

解得a＝－3，b＝1.∴D(－3，1)．

(2)由(1)可知eq \(AC,\s\up8(→))＝(0，1)，∴eq \(AC,\s\up8(→))＋meq \(AB,\s\up8(→))＝(2m，2m＋1)，eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝(－2，－1)．

∵eq \(AC,\s\up8(→))＋meq \(AB,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))垂直， ∴(eq \(AC,\s\up8(→))＋meq \(AB,\s\up8(→)))·eq \(BC,\s\up8(→))＝－4m－(2m＋1)＝0，解得m＝－eq \f(1,6).

1．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))，且|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AD,\s\up8(→))|，则四边形ABCD的形状是( )

A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形

C [eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))，∴eq \(AB,\s\up8(→))∥eq \(DC,\s\up8(→))，且|eq \(AB,\s\up8(→))|＝|eq \(DC,\s\up8(→))|，

∴四边形ABCD是平行四边形，

|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))|＝|eq \(AC,\s\up8(→))|，|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AD,\s\up8(→))|＝|eq \(DB,\s\up8(→))|，

∴|eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(DB,\s\up8(→))|，∴平行四边形是矩形．]

2．已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则eq \(HB,\s\up8(→))·eq \(HC,\s\up8(→))的最小值为( )

A．－4 B．－25

C．－9 D．－16

D [以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

设点H(x，y)，则B(－5，0)，C(5，0)，

所以eq \(HB,\s\up8(→))＝(－5－x，－y)，eq \(HC,\s\up8(→))＝(5－x，－y)，

则eq \(HB,\s\up8(→))·eq \(HC,\s\up8(→))＝(－5－x，－y)·(5－x，－y)＝x2＋y2－25，

又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点，所以9≤x2＋y2≤25，

其中当取AB的中点时取得最小值，所以eq \(HB,\s\up8(→))·eq \(HC,\s\up8(→))＝9－25＝－16，故选D．]

3．如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若eq \(OP,\s\up8(→))＝xeq \(OA,\s\up8(→))＋yeq \(OB,\s\up8(→))，则x＋y的取值范围是( )

图1 图2

A．[－4，4] B．[－eq \r(21)，eq \r(21)]

C．[－5，5] D．[－6，6]

C [如图建立平面直角坐标系，

令正三角形边长为3，则eq \(OB,\s\up8(→))＝i，eq \(OA,\s\up8(→))＝－eq \f(3,2)i＋eq \f(\r(3),2)j，可得i＝eq \(OB,\s\up8(→))，j＝eq \f(2\r(3),3)eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \r(3)eq \(OB,\s\up8(→))，

由图知当点P在点C时，有eq \(OP,\s\up8(→))＝eq \r(3)j＝2eq \(OA,\s\up8(→))＋3eq \(OB,\s\up8(→))，此时x＋y有最大值5，

同理当点P在与C相对的下顶点时有eq \(OP,\s\up8(→))＝－eq \r(3)j＝－2eq \(OA,\s\up8(→))－3eq \(OB,\s\up8(→))，

此时x＋y有最小值－5.故选C．]

4．已知△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝6，eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(15,2)，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))的值为________．

eq \f(9,2) [以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

设Deq (x，y)，则eq \(AD,\s\up8(→))＝eq (x，y)，

∵AB＝AC＝3，记∠BAC＝θ，

∴Aeq (0，0)，Beq (3，0)，C(3cs θ，3sin θ)，

则eq \(AB,\s\up8(→))＝eq (3，0)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(3cs θ，3sin θ)，

∵eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝6，eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(15,2)，∴3x＝6，3xcs θ＋3ysin θ＝eq \f(15,2)，∴x＝2，2cs θ＋ysin θ＝eq \f(5,2)，

又D为边BC上一点，∴eq \(BD,\s\up8(→))∥eq \(BC,\s\up8(→))，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3cs θ－3))y＋3sin θ＝0，即sin θ＝yeq (1－cs θ)，

又θ∈eq (0，π)，∴y＝eq \f(sin θ,1－cs θ)，

∴2cs θ＋eq \f(sin2θ,1－cs θ)＝2cs θ＋1＋cs θ＝eq \f(5,2)，解得cs θ＝eq \f(1,2)，

∴eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝9cs θ＝eq \f(9,2).]

5．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝eq \f(π,2)，D是线段BC上一点，且eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up8(→))，f 为线段AB上一点．

(1)设eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(AC,\s\up8(→))＝b，设eq \(AD,\s\up8(→))＝xa＋yb，求x－y；

(2)求eq \(CF,\s\up8(→))·eq \(FA,\s\up8(→))的取值范围；

(3)若F 为线段AB的中点，直线CF 与AD相交于点M，求eq \(CM,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→)).

[解] (1)∵eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→))))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，

而eq \(AD,\s\up8(→))＝xa＋yb∴x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)∴x－y＝eq \f(1,3).

(2)∵在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝eq \f(π,2)，

∴∠CAB＝eq \f(π,3)，BC＝eq \r(3)，

∴eq \(CF,\s\up8(→))·eq \(FA,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up8(→))＋\(AF,\s\up8(→))))·eq \(FA,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(FA,\s\up8(→))＋eq \(AF,\s\up8(→))·eq \(FA,\s\up8(→))，①

不妨设|eq \(AF,\s\up8(→))|＝x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2)).

∴①式＝1×x×cseq \f(π,3)－x2＝－x2＋eq \f(1,2)x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))，

∴eq \(CF,\s\up8(→))·eq \(FA,\s\up8(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，\f(1,16))).

(3)∵f 为线段AB的中点，∴eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up8(→))，

不妨设eq \(CM,\s\up8(→))＝λeq \(CF,\s\up8(→))，∴eq \(CM,\s\up8(→))＝eq \f(λ,2)eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(λ,2)eq \(CB,\s\up8(→))，

∴eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \(CM,\s\up8(→))－eq \(CA,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)－1))eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(λ,2)eq \(CB,\s\up8(→))，eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up8(→))－eq \(CA,\s\up8(→)).

∵A，M，D三点共线．，

∴eq \(AM,\s\up8(→))＝μeq \(AD,\s\up8(→))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)－1))eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(λ,2)eq \(CB,\s\up8(→))＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,3)\(CB,\s\up8(→))－\(CA,\s\up8(→))))，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)－1＝－μ，,\f(λ,2)＝\f(2,3)μ，)) ∴λ＝eq \f(4,5)∴eq \(CM,\s\up8(→))＝eq \f(2,5)eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,5)eq \(CB,\s\up8(→)).

∴eq \(CM,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,5)\(CA,\s\up8(→))＋\f(2,5)\(CB,\s\up8(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CB,\s\up8(→))－\(CA,\s\up8(→))))＝eq \f(2,5)eq \(CB,\s\up8(→))2－eq \f(2,5)eq \(CA,\s\up8(→))2＝eq \f(4,5).