高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算优秀同步练习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算优秀同步练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．化简下列向量式，结果为0的个数是( )


①eq \(RS,\s\up8(→))－eq \(RT,\s\up8(→))＋eq \(ST,\s\up8(→))；②eq \(BD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))；③eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(CB,\s\up8(→))；④eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)).


A．1 B．2 C．3 D．4


D [①eq \(RS,\s\up8(→))－eq \(RT,\s\up8(→))＋eq \(ST,\s\up8(→))＝0；


②eq \(BD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→))＝0；


③eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(CB,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))－(eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))＝0；


④eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))＝0.]


2．如图所示，在正方形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(BC,\s\up8(→))＝b，eq \(OD,\s\up8(→))＝c，则图中能表示a－b＋c的向量是( )





A．eq \(OA,\s\up8(→)) B．eq \(OB,\s\up8(→)) C．eq \(OC,\s\up8(→)) D．eq \(OD,\s\up8(→))


B [由已知得，


a－b＝eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(DB,\s\up8(→))，c＝eq \(OD,\s\up8(→))，


∴a－b＋c＝eq \(DB,\s\up8(→))＋eq \(OD,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→)).]


3．如图，已知ABCDEf 是一正六边形，O是它的中心，其中eq \(OB,\s\up8(→))＝b，eq \(OC,\s\up8(→))＝c，则eq \(EF,\s\up8(→))等于( )





A．b－cB．b＋c


C．－b－cD．－b＋c


A [eq \(EF,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＝eq \(CB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→))＝b－c.]


4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝4，|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))|，则|eq \(AM,\s\up8(→))|＝( )


A．2 B．4


C．16 D．8


A [因为|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))|，又点A在直线BC外，故四边形ABDC是以AB，AC为邻边的平行四边形且对角线相等，故ABDC为矩形，|eq \(AM,\s\up8(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up8(→))|＝2.]


5．如图，D，E，f 分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式正确的是( )





A．eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(BE,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→))＝0


B．eq \(BD,\s\up8(→))－eq \(CE,\s\up8(→))＋eq \(DF,\s\up8(→))＝0


C．eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(CE,\s\up8(→))－eq \(CF,\s\up8(→))＝0


D．eq \(BD,\s\up8(→))－eq \(BE,\s\up8(→))－eq \(FC,\s\up8(→))＝0


A [A项，eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(BE,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \(DB,\s\up8(→))＋eq \(BE,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \(DE,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \(DE,\s\up8(→))＋eq \(ED,\s\up8(→))＝0；


B项，eq \(BD,\s\up8(→))－eq \(CE,\s\up8(→))＋eq \(DF,\s\up8(→))＝(eq \(BD,\s\up8(→))＋eq \(DF,\s\up8(→)))－eq \(CE,\s\up8(→))＝eq \(BF,\s\up8(→))－eq \(CE,\s\up8(→))≠0；


C项，eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(CE,\s\up8(→))－eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))＋(eq \(CE,\s\up8(→))－eq \(CF,\s\up8(→)))＝eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(FE,\s\up8(→))≠0；


D项，eq \(BD,\s\up8(→))－eq \(BE,\s\up8(→))－eq \(FC,\s\up8(→))＝(eq \(BD,\s\up8(→))－eq \(BE,\s\up8(→)))－eq \(FC,\s\up8(→))＝eq \(ED,\s\up8(→))－eq \(FC,\s\up8(→))＝eq \(ED,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→))≠0.]


二、填空题


6．已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________|a－b|.(填写“＝”“≤”或“≥”)


＝ [以a，b为邻边的平行四边形是矩形，





矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知|a＋b|＝|a－b|.]


7．已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________.


5或9 [∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，


当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9.]


8．如图，在平行四边形ABCD中，eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b，eq \(OC,\s\up8(→))＝c，试用a，b，c表示eq \(OD,\s\up8(→))，则eq \(OD,\s\up8(→))＝________.





a＋c－b [因为eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b，eq \(OC,\s\up8(→))＝c，所以eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))－eq \(OB,\s\up8(→))＝c－b，又eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))，所以eq \(OD,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))＝a＋c－b.]


三、解答题


9．化简：


(1)eq \(MN,\s\up8(→))－eq \(MP,\s\up8(→))＋eq \(NQ,\s\up8(→))－eq \(PQ,\s\up8(→))；


(2)eq \(BD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)).


[解] (1)eq \(MN,\s\up8(→))－eq \(MP,\s\up8(→))＋eq \(NQ,\s\up8(→))－eq \(PQ,\s\up8(→))＝(eq \(MN,\s\up8(→))＋eq \(NQ,\s\up8(→)))－(eq \(MP,\s\up8(→))＋eq \(PQ,\s\up8(→)))


＝eq \(MQ,\s\up8(→))－eq \(MQ,\s\up8(→))＝0.


(2)eq \(BD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))＝(eq \(BD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)))＋(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→))＝0.


10．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(BC,\s\up8(→))＝b，eq \(AC,\s\up8(→))＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：





(1)a＋b＋c；


(2)a－b＋c.


[解] (1)由已知得a＋b＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＝c，所以延长AC到E，


使|eq \(CE,\s\up8(→))|＝|eq \(AC,\s\up8(→))|.则a＋b＋c＝eq \(AE,\s\up8(→))，且|eq \(AE,\s\up8(→))|＝2eq \r(2).


所以|a＋b＋c|＝2eq \r(2).


(2)作eq \(BF,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))，连接BD，Cf ，





则eq \(DB,\s\up8(→))＋eq \(BF,\s\up8(→))＝eq \(DF,\s\up8(→))，


而eq \(DB,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AD,\s\up8(→))＝a－b，


所以a－b＋c＝eq \(DB,\s\up8(→))＋eq \(BF,\s\up8(→))＝eq \(DF,\s\up8(→))，


且|eq \(DF,\s\up8(→))|＝2，所以|a－b＋c|＝2.





1．边长为1的正三角形ABC中，|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))|的值为( )


A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．1


B [如图所示，|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(BC,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC′,\s\up8(→))|＝|eq \(AC′,\s\up8(→))|，





又|eq \(AB,\s\up8(→))|＝1，|eq \(BC′,\s\up8(→))|＝1，∠ABC′＝120°，


∴在△ABC′中，|eq \(AC′,\s\up8(→))|＝eq \r(3).]


2. (多选题)设a，b是非零向量，则下列不等式中恒成立的是( )


A．|a＋b|≤|a|＋|b| B．|a|－|b|≤|a＋b|


C．|a|－|b|≤|a|＋|b| D．|a|≤|a＋b|


ABC [由向量模的不等关系可得：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a＋b|≤|a|＋|b|，故A恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|，故B恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故C恒成立．令a＝－b，|a|＝2，则|a＋b|＝0，则D不成立．故选ABC．]


3．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则eq \f(|a＋b|,|a－b|)＝________.





eq \r(3) [如图，设eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b，eq \(OC,\s\up8(→))＝a＋b，则eq \(BA,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OB,\s\up8(→))＝a－b，


∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴BA＝OA＝OB．


∴△OAB为正三角形，设其边长为1,


则|a－b|＝|eq \(BA,\s\up8(→))|＝1，|a＋b|＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).∴eq \f(|a＋b|,|a－b|)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3).]


4．如图，D，E，f 分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则eq \(AF,\s\up8(→))－eq \(DB,\s\up8(→))等于________．





eq \(BE,\s\up8(→))或eq \(DF,\s\up8(→)) [由图易知eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \(DE,\s\up8(→))，∴eq \(AF,\s\up8(→))－eq \(DB,\s\up8(→))＝eq \(DE,\s\up8(→))－eq \(DB,\s\up8(→))＝eq \(BE,\s\up8(→))，又eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \(DF,\s\up8(→))，∴eq \(AF,\s\up8(→))－eq \(DB,\s\up8(→))＝eq \(DF,\s\up8(→)).]


5．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：eq \(OH,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＋eq \(OC,\s\up8(→)).





[解] 如图，作直径BD，连接DA，DC，





则eq \(OB,\s\up8(→))＝－eq \(OD,\s\up8(→))，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC．


∴CH∥DA，AH∥DC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴eq \(AH,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→)).


又eq \(DC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))－eq \(OD,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))＋eq \(OC,\s\up8(→))，


∴eq \(OH,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AH,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＋eq \(OC,\s\up8(→)).