海南省海南中学2021届高三第五次月考 数学 (含答案) 试卷
展开海南中学2021届高三第五次月考数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知为虚数单位，复数，则( )A.3 B.2 C.1 D.02.在空间中垂直同一直线的的两条直线与位置关系是（ )A．平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能3.已知点，，则与向量的方向相同的单位向量是（ ）A．（－..，） B．（－，） C．（，－） D．（，－）4.我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为，数列的前n项和为，则使得不等式成立的正整数n的最小值为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 85.在中，角，，所对的边分别为，，，则“”，是“为锐角三角形”的（ ）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6.如图，底面为矩形的四棱锥，侧棱底面ABCD，.设该四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，则的值（ ）A. B. C. D. 7.设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．8.已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.下列四个命题中正确的是（ ）A．在上是单调递增函数B．若函数的图像与x轴没有交点，则C．若幂函数的图象过点，则D．函数与函数表示同一个函数10．如图，正方体的棱长是，下列结论正确的有（ ）A.直线与平面所成的角为B．点到平面的距离为C.两条异面直线和所成的角为D．三棱锥中三个侧面与底面均为直角三角形11．对于函数，下列说法中正确的是（ ）A．是以为最小正周期的周期函数B．当且仅当时，取得最大值1C．当且仅当时，取得最小值D．当且仅当时，12.已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则（ ）A． B．若，则C．的最小正周期为3 D．在区间上零点的个数为1346第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.的值等于_________．14.棱长为1的正方体中，分别是的中点.①点在直线上运动时，三棱锥体积不变；②点在直线上运动时，直线始终与平面平行；③平面平面；④三棱锥的体积为.其中真命题的编号是_______________.（写出所有正确命题的编号）15.已知向量，满足，，若存在不同的实数，使得，且，则的取值范围是__________16.已知函数，，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是_________．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设全集是，集合，．（1）若，求；（2）问题：已知______，求实数的取值范围．从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（如果三个都作答按第一个计分）①； ②； ③. 18.（本小题满分12分）在矩形中，将沿其对角线折起来得到四面体，且平面平面.（1）证明：；（2）若，，求折起后三棱锥的表面积、体积. 19．（本小题满分12分）已知.（1）若，求的值；（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等差数列，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）证明： 21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点.（1）若为棱的中点，求证：；（2）若为棱上存在异于、的一点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 22.（本小题满分12分）设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）证明：当时，；（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 海南中学2021届高三第五次月考数学参考答案满分 150 分，考试时间 120 分钟.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号12345678答案CDCBCDAC二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）题号9101112答案ACADACDAC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 14. ①②③ 15. 16. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设全集是，集合，．（1）若，求；（2）问题：已知______，求实数的取值范围．从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（如果三个都作答按第一个计分）①； ②； ③.解析：（1）解不等式得或，所以．若，则.所以=．………………………………………………………5分（2）选①：，则．当时，则有，即；当时，则有或，此时两不等式组均无解．综上所述，实数的取值范围是．……………………………………10分选②：，由于，则有，解得．故实数的取值范围是．…………………………………………………10分选③：，由于，所以当时，则有，即；当时，则有解得．综上所述，所求实数的取值范围是．…………………………………10分 18.（本小题满分12分）在矩形中，将沿其对角线折起来得到四面体，且平面平面.（1）证明：；（2）若，，求折起后三棱锥的表面积、体积.解析：（1）平面平面，平面平面，平面，，…………………………………………………………………………2分又平面，.…………………………………………………4分，平面，且，平面.，∴………………………………………………………6分（2）由（1）知：平面，又平面，.所以，，，都是直角三角形.在中，，，.……………………………10分.…………………………………………12分 19．（本小题满分12分）已知.（1）若，求的值；（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围.解析：（1）………………………………………2分由，所以故………6分（2）由，可得即,由，则所以，由所以……………………………………………8分为锐角，则 ,即，解得 ,则………………………………………10分，所以所以的取值范围是………………………………………………12分20.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等差数列，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）证明：解析：（1）设数列的公差为，则……………2分解得. …………………………………………………………4分所以. ………………………………………………………… 6分（2）由（1）知，故.……………………………… 8分<…………………………………………… 10分<故. …………………………………………… 12分 21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点.（1）若为棱的中点，求证：；（2）若为棱上存在异于、的一点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.解析：（1）证明：取PA的中点F，连AF、FDE为PB的中点所以四边形CDFE为平行四边形……………………………………………………2分∴又，，故……………………………………………………………4分（2）以为坐标原点，以，，所在射线，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则.设，则.∵在棱上，∴可设（）.故，解得，即.………………………………………………………………………………6分设平面的法向量为，，∴ ，即，即.取，则.……………………………………………………………8分设平面的法向量，，∴ ，即，即.取则，故.因为二面角的余弦值为，所以，即，即.又，解得.∴,.…………………………………………………………10分因为轴平面，所以平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.故与平面所成角的正弦值为.………………………………………12分 22.（本小题满分12分）设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）证明：当时，；（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.解析：（1）由题意可知，的定义域为，且.，，．…………………………………………………………………………4分（2），设，则.由知在上单调递增，∴当时，，在上单调递增，故当时，．∴．………………………………………………………………………8分（3）设，则..由（2）中知，.∴.①当即时，，所以在单调递增.∴当时，成立．②当即时，，.令，得.由于在上单调递增，所以当时，恒成立，故在上单调递减.因此，当时，有.所以在上单调递减.所以当时，有.因此，不成立．综上所述：实数的取值范围是．…………………………………………12分
