2021年高考数学一轮复习《集合与函数》精选练习(含答案)

2021年高考数学一轮复习《集合与函数》

精选练习

一         、选择题

1.设P和Q是两个集合，定义集合P－Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x－2|＜1}，那么P－Q=(　 　)

A.{x|0＜x＜1}      B.{x|0＜x≤1}    C.{x|1≤x＜2}   D.{x|2≤x＜3}

2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,7}，B={x|x=log2(a＋1)，a∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)=(　 　)

A.{1,3}     B.{5,6}       C.{4,5,6}      D.{4,5,6,7}

3.已知集合A={x|x2－x－2＜0}，B={y|y=ex，x＜ln3}，则A∪B=(　 　)

A.(－1,3)     B.(－1,0)      C.(0,2)        D.(2,3)

4.已知集合A={0}，B={－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为(　 　)

A.1        B.2           C.4        D.8

5.已知集合A={(x，y)|x，y为实数,且x2＋y2=1}，B={(x，y)|x，y为实数,且x＋y=1},则A∩B的元素个数为(     )

   A.4         B.3            C.2           D.1

6.已知集合A={x∈N|x2－2x－3≤0}，B={1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B={x|x=x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　 　)

A.15       B.16         C.20       D.21

7.设平面点集A={(x,y)∣(y-x)(y-x-1)≥0}，B={(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为(　  　)

A.π          B.π           C.π          D.

8.设函数f(x)=若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为(　 　)

A.[－1,2)      B.[－1,0]      C.[1,2]       D.[1，＋∞)

9.定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f(x)=(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于(　 　)

A.－1       B.1          C.6         D.12

10.设函数f(x)=则满足f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是(　 　)

A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B.(－∞，－)∪(，＋∞)

C.(－∞，－)∪(2，＋∞)

D.(－∞，－1)∪(，＋∞)

11.已知函数f(x)=1－log2x的定义域为[1,4]，则函数y=f(x)·f(x2)的值域是(　 　)

A.[0,1]         B.[0,3]      C.        D.

12.若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是(　 　)

A.          B.          C.          D.

13.下列各组函数中，表示同一函数的是(　 　)

A.f(x)=elnx，g(x)=x

B.f(x)=，g(x)=x－2

C.f(x)=，g(x)=sinx

D.f(x)=|x|，g(x)=

14.设函数f(x)=若f(x)的最大值不超过1，

则实数a的取值范围为(　 　)

A.[-1.5,+∞)    B.(-1.5,+∞)    C.[-1.25,0)     D.[-1.5,-1.25]

15.设函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足条件：存在[a，b]⊆D(a＜b)，使f(x)在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”.若函数f(x)=log2(4x＋t)为“优美函数”，则t的取值范围是(　 　)

A.(0.25，+∞)      B.(0,1)      C.(0，0.5)       D.(0，0.25)

16.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2e)=－f(x)(其中e=2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a=，b=，c=，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系(用不等号连接)为(　 　)

A.f(b)＞f(a)＞f(c)       B.f(b)＞f(c)＞f(a)

C.f(a)＞f(b)＞f(c)       D.f(a)＞f(c)＞f(b)

17.已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)=2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　　)

A.(2，＋∞)            B.(0，0.5)∪(2，＋∞)

C.∪(，＋∞)      D.(，＋∞)

18.已知f(x)=不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(－∞，－2)    B.(－∞，0)       C.(0,2)      D.(－2,0)

19.若函数y=在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m=(　A　)

A.        B.2         C.         D.

20.已知函数f(x)=loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(　 　)

A.(－∞，－1]    B.[－1，＋∞)       C.[－1,1)     D.(－3，－1]

二         、填空题

21.已知集合U=R，集合M={x|x＋2a≥0}，N={x|log2(x－1)＜1}，若集合M∩(∁UN)={x|x=1或x≥3}，那么a的取值为    　.

22.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定义域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围为            .

23.函数f(x)=＋ln(x＋4)的定义域为             .

24.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)=

其中a∈R.若f=f，则f(5a)的值是          .

25.设函数f(x)=g(x)=x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是        .

26.设集合M=，N=，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是　  .

27.设函数f(x)=＋2 016sinx，x∈的最大值为M，最小值为N，那么M＋N=          .

三         、解答题

28.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)＋f(x2).

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)=1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.

29.已知函数f(x)=是奇函数.

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.

30.已知定义在R上的函数f(x)满足：

①f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1.

(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数.

(2)若f(1)=1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.

31.已知函数y=f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数.

(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)≤0；

(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围.

32.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(3)=1.

(1)判断f(x)的单调性；

(2)解关于x的不等式f(3x＋6)＋f＞2；

(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围.

答案解析

1.2.答案为：B；

解析：由log2x＜1，得0＜x＜2，所以P={x|0＜x＜2}；由|x－2|＜1，得1＜x＜3，所以Q={x|1＜x＜3}，由题意，得P－Q={x|0＜x≤1}.

3.答案为：C；

解析：A={1,3,7}，B={x|x=log2(a＋1)，a∈A}={1,2,3}，

又U={1,2,3,4,5,6,7}，∴∁UA={2,4,5,6}，∁UB={4,5,6,7}，

∴(∁UA)∩(∁UB)={4,5,6}.

4.答案为：A；

解析：因为A={x|－1＜x＜2}，B={y|0＜y＜3}，所以A∪B=(－1,3).

5.答案为：C；

解析：由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，

{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个，故选C.

6.C

7.答案为：D；

解析：由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，

又x∈N，故集合A={0,1,2,3}.

∵A*B={x|x=x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，

∴A*B中的元素有0＋1=1,0＋3=3,1＋1=2,1＋3=4,2＋1=3(舍去)，

2＋3=5,3＋1=4(舍去)，3＋3=6，∴A*B={1,2,3,4,5,6}，

∴A*B中的所有元素之和为21.

8.答案为：D；

解析：不等式(y-x)(y-x-1)≥0可化为或

集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2=1上以及圆内部的点所构成的集合，

A∩B所表示的平面区域如图所示.

曲线y=，圆(x－1)2＋(y－1)2=1均关于直线y=x对称，

所以阴影部分占圆面积的一半，即为.

9.答案为：C；

解析：函数f(x)=若x＞1，则f(x)=x＋1＞2，

易知y=2|x－a|在(a，＋∞)上递增，在(－∞，a)上递减，

若a＜1，则f(x)在x=a处取得最小值，不符合题意；

若a≥1，则要使f(x)在x=1处取得最小值，

只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2.

综上可得a的取值范围是[1,2]，故选C.

10.答案为：C；

解析：由题意知，当－2≤x≤1时，f(x)=x－2；当1＜x≤2时，f(x)=x3－2，

又∵y=x－2，y=x3－2在R上都为增函数，且f(x)在x=1处连续，

∴f(x)的最大值为f(2)=23－2=6.

11.答案为：C；

解析：由题意，x＞0时，f(x)递增，故f(x)＞f(0)=0，又x≤0时，x=0，

故若f(x2－2)＞f(x)，则x2－2＞x，且x2－2＞0，解得x＞2或x＜－，故选C.

12.答案为：C；

解析：对于y=f(x)·f(x2)，由函数f(x)的定义域是[1,4]，得1≤x≤4，且1≤x2≤4，解得1≤x≤2，故函数y=f(x)·f(x2)的定义域是[1,2]，易得y=f(x)·f(x2)=1－3log2x＋2logx，令t=log2x，则t∈[0,1]，y=1－3t＋2t2=22－，故t=时，y取最小值－；t=0时，y取最大值1，故所求函数的值域是，故选C.

13.答案为：D；

解析：∵函数y=的定义域为R，

∴mx2＋4mx＋3恒不为0.当m=0时，mx2＋4mx＋3=3满足题意；

当m≠0时，Δ=16m2－12m<0，解得0<m<.综上，m的取值范围为.

14.答案为：D；

解析：A，B，C的定义域不同，所以答案为D.

15.答案为：A；

解析：当x＜a＋1时，f(x)=|x－a|在(－∞，a)上递增，在[a，a＋1)上递减，可得此时f(x)在x=a处取得最大值，且为1；当x≥a＋1时，f(x)=－a－|x＋1|，当a＋1≥－1，即a≥－2时，f(x)递减，由题意得－a－|a＋2|≤1，解得a≥－；当a＋1＜－1，即a＜－2时，f(x)在x=－1处取得最大值，且为－a，由题意得－a≤1，则a∈∅.

综上可得a的取值范围是[-1.5,+∞)，故选A.

16.答案为：D；

解析：∵函数f(x)=log2(4x＋t)是定义域上的增函数，

∴由题意得，若函数为“优美函数”，则f(x)=x有两个不相等的实根，

即log2(4x＋t)=x，整理得4x＋t=2x，∴(2x)2－2x＋t=0有两个不相等的实根.

∵2x＞0，令λ=2x(λ＞0)，∴λ2－λ＋t=0有两个不相等的正实根，

∴解得0＜t＜，即t∈(0，0.25)，故选D.

17.答案为：A；

解析：∵f(x)是R上的奇函数，满足f(x＋2e)=－f(x)，

∴f(x＋2e)=f(－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x=e对称，

∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数，∴f(x)在区间[0，e]上为增函数，

又易知0＜c＜a＜b＜e，∴f(c)＜f(a)＜f(b)，故选A.

18.解析：f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，

所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数

所以f(log2x)＞2=f(1)⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1⇔log2x＞1

或log2x＜－1⇔x＞2或0＜x＜0.5.

19.答案为：A；

解析：二次函数y=x2－4x＋3图象的对称轴是直线x=2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y=－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x2－2x＋3＜3，∴f(x)在R上单调递减，∴由f(x＋a)＞f(2a－x)得到x＋a＜2a－x，

即2x＜a，∴2x＜a在[a，a＋1]上恒成立，∴2(a＋1)＜a，∴a＜－2，

∴实数a的取值范围是(－∞，－2)，故选A.

20.答案为：A；

解析：可令|x|=t，则1≤t≤4，y=－，易知y=－在[1,4]上递增，

∴其最小值为1－1=0；最大值为2－=，则m=0，M=，则M－m=，故选A.

21.答案为：C；

解析：令g(x)=－x2－2x＋3，

由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}.

根据f(0)=loga3＜0，可得0＜a＜1，则本题即求函数g(x)在(－3,1)内的减区间.

利用二次函数的性质可求得函数g(x)在(－3,1)内的减区间为[－1,1)，故选C.

22.答案为：－0.5.；

解析：由log2(x－1)＜1，得1＜x＜3，则N=(1,3)，∴∁UN={x|x≤1或x≥3}.

又M={x|x＋2a≥0}=[－2a，＋∞)，M∩(∁UN)={x|x=1或x≥3}，

∴－2a=1，解得a=－0.5.

23.答案为：(－∞，－2]∪[0.5,1)；

解析：由已知得A={x|x＜－1或x≥1}，

B={x|(x－a－1)·(x－2a)＜0}，

由a＜1得a＋1＞2a，∴B={x|2a＜x＜a＋1}.

∵B⊆A，∴a＋1≤－1或2a≥1，∴a≤－2或0.5≤a＜1.

∴a的取值范围为a≤－2或0.5≤a＜1.

24.答案为：(－4,1]；

解析：要使函数f(x)有意义，需有解得－4＜x≤1，

即函数f(x)的定义域为(－4,1].

25.答案为：－0.4.

解析：因为f(x)的周期为2，

所以f=f=－＋a，f=f=，即－＋a=，所以a=0.6，

故f(5a)=f(3)=f(－1)=－0.4.

26.答案为：[0,1).

解析：由题意知g(x)=该函数图象如图所示，

其单调递减区间是[0,1).

27.答案为：；

解析：由已知，可得即0≤m≤；即≤n≤1，

当集合M∩N的长度取最小值时，M与N应分别在区间[0,1]的左、右两端.

取m的最小值0，n的最大值1，可得M=，N=，

所以M∩N=∩=，此时集合M∩N的“长度”的最小值为－=.

28.答案为：4 033.

解析：f(x)=＋2 016sinx

=＋2 016sinx=2 017－＋2 016sinx.

显然该函数在区间上单调递增，故最大值为f，最小值为f，

所以M＋N=f＋f=＋

=4 034－－=4 034－1=4 033.

29.解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，

有f(x1·x2)=f(x1)＋f(x2)，

∴令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.

(2)f(x)为偶函数.

证明：令x1=x2=－1，有f(1)=f(－1)＋f(－1)，

∴f(－1)=f(1)=0.

令x1=－1，x2=x，有f(－x)=f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)=f(x)，∴f(x)为偶函数.

(3)依题设有f(4×4)=f(4)＋f(4)=2，

由(2)知，f(x)是偶函数，

∴f(x－1)＜2等价于f(|x－1|)＜f(16).

又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴0＜|x－1|＜16，解之得－15＜x＜17且x≠1，

∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}.

30.解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)=－(－x)2＋2(－x)=－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)=－f(x).

于是x＜0时，f(x)=x2＋2x=x2＋mx，

所以m=2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象知

所以1＜a≤3，

故实数a的取值范围是(1,3].

31.解：(1)令x=y=0得f(0)=－1.

证明：在R上任取x1＞x2，

则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.

又f(x1)=f((x1－x2)＋x2)=f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，

所以，函数f(x)在R上是单调增函数.

(2)由f(1)=1，得f(2)=3，f(3)=5.

由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，

又函数f(x)在R上是增函数，

故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，

故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}.

32.解：(1)证明：若x1＋x2=0，显然原不等式成立.

若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，

因为f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，

所以f(x1)＞f(－x2)=－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立.

若x1＋x2＞0，则－1≤－x2＜x1≤1，同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立.

综上所述，对任意x1，x2∈[－1,1]，

有[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)≤0恒成立.

(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)=f(a－1)，

所以由f(x)在定义域[－1,1]上是减函数，得

即解得0≤a＜1.

故所求实数a的取值范围是[0,1).

33.解：(1)设x1＞x2＞0，则＞1，

∵当x＞1时，f(x)＞0，

∴f(x1)－f(x2)=f＞0，∴f(x1)＞f(x2)，

∴函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.

(2)在f(x1)－f(x2)=f中，令x1=9，x2=3，

∴f(9)－f(3)=f(3).又f(3)=1，∴f(9)=2.

∴不等式f(3x＋6)＋f＞2，

可转化为f(3x＋6)＋f＞f(9)，

∴f(3x＋6)＞f(9)－f=f(9x)，

由函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，

可得3x＋6＞9x＞0，∴0＜x＜1，

∴原不等式的解集为(0,1).

(3)∵函数f(x)在(0,3]上是增函数，

∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1，

∴不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，

a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1,1]恒成立，

即m2－2am≥0对所有a∈[－1,1]恒成立.

设g(a)=－2ma＋m2，

∴需满足即

解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m=0，

即实数m的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).