26.1 二次函数及其图象同步练习 新人教版
展开26.1 二次函数及其图象
专题一 开放题
1．请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析
式 ．（答案不唯一）
2．（1）若是二次函数，求m的值；
（2）当k为何值时，函数是二次函数？
专题二 探究题
3．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，若一抛物线y＝ax2与四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成的正方形有公共点，求a的取值范围.
专题三 存在性问题
5．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.
注：二次函数（≠0）的对称轴是直线=.
=
6．如图,二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点,顶点M 关于x轴的对称点是M′.
（1）若A(－4,0),求二次函数的关系式;
（2）在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积;
（3）是否存在抛物线,使得四边形AMBM′为正方形？若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.
【知识要点】
1．二次函数的一般形式（其中a≠0，a，b，c为常数）.
2．二次函数的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线的开口向上， 顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．
3．抛物线的图象与性质：
（1）二次函数的图象与抛物线形状相同，位置不同，由抛物线平移可以得到抛物线.平移的方向、距离要根据h，k的值确定.
（2）①当时，开口向上；当a＜0时，开口向下；
②对称轴是直线；
③顶点坐标是（h，k）.
4．二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=，顶点坐标为.
【温馨提示】
1．二次函数的一般形式y=ax2+bx+c中必须强调a≠0.
2．当a＜0时，a越小，开口越小，a越大，开口越大.
3．二次函数的增减性是以对称轴为分界线的.
4．当a＞0时，二次函数有最小值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最小值；当a＜0时，二次函数有最大值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最大值.
【方法技巧】
1．一般地，抛物线的平移规律是 “上加下减常数项，左加右减自变量”.
2．如已知三个点求抛物线解析式，则设一般式y=ax2+bx+c.
3．若已知顶点和其他一点，则设顶点式.
参考答案
1． 答案不唯一，如y=x2+3x﹣1等.
【解析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵ 开口向上，∴a＞0. ∵其与y轴交点纵坐标为﹣1，∴c=﹣1.
∵经过点（1，3），∴a+b－1=3.令a=1，则b=3，所以y=x2+3x﹣1．
2．解:（1）由题意，得解得m=2．
（2）由题意，得解得k=3．
3．C【解析】把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位，即是将抛物线向上平移一个单位长度后再向右移1个单位长度，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线的解析式为，答案为C.
4．解:因为四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2围成正方形ABCD，所以A(1，2)，C(2，1).
设过A点的抛物线解析式为y＝a1x2，过C点的抛物线解析式为y＝a2x2，则a2≤a≤a1.
把A(1，2)，C(2，1)分别代入，可求得a1=2，a2=.所以a的取值范围是≤a≤2.
5．解:（1）将A（-2,0）， C（0,3）代入=得
解得b= ，c= 3.∴此抛物线的解析式为 y= x2+x+3.
(2) 连接AD交对称轴于点P，则P为所求的点.设直线AD的解析式为y=kx+b.
由已知得解得k= ，b=1.∴直线AD的解析式为y=x+1.
对称轴为直线x=－= .当x = 时，y = ，∴ P点的坐标为（，）.
6．解:(1) 把A(－4，0)代入，解出c＝-12.
∴二次函数的关系式为.
(2)如图,
令y＝0,则有，解得,，∴A(－4,0),B(6,0)， ∴AB＝10.
∵,∴M(1, ), ∴M′(1, )， ∴MM′＝25.
∴四边形AMBM′的面积＝AB·MM′＝×10×25＝125.
(3) 存在.假设存在抛物线,使得四边形AMBM′为正方形.令y＝0,则，解得.
∴A(,0),B(,0)，∴AB＝.
∵四边形AMBM′为正方形, ∴MM′＝.
∵对称轴为直线，∴顶点M(1, ).
把点M的坐标代入,得＝,
整理得,解得(不合题意,舍去),.
∴抛物线关系式为时, 四边形AMBM′为正方形.
