吉林省吉林市2021届高三上学期第二次调研测试（1月）数学（理） (含答案)
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理科数学
本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚.
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效.
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀.
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.
1．集合，,那么
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为
A． B． C． D．
3. 若对应数据的茎叶图如图甲所示，现将这五个数据依次从小到大输入程序框（如图乙）进行计算（其中），则下列说法正确的是
A. 输出的值是 B. 输出的值是
C. 该程序框图的统计意义为求这5个数据的标准差
D. 该程序框图的统计意义为求这5个数据的方差
4. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的正视图、侧视图、俯视图依次是
A．①②③ B．②①③ C．②①④ D．③①④
5． 在中，“”是“”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 等比数列中，，，则的前项和为
- B. C. D. 或
7. 圆与直线相切于点，则直线的方程为
A． B． C． D．
8. 将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是
A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增
9. 人们眼中的天才之所以优秀卓越，并非是他们的天赋异禀，而是付出了持续不断的努力.一万小时的锤炼是任何人从平庸变成非凡，从困境走向成功的必要条件.某个学生为提高自己的数学做题准确率和速度，决定坚持每天刷题，刷题时间与做题正确率的统计数据如下表：
刷题时间个单位（10分钟为1个单位） | 2 | 3 | 4 | 5 |
准确率（％） | 26 | 39 | 49 | 54 |
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报刷题时间为6个单位的准确率为
- 72.0％ B. 67.7％ C. 65.5％ D. 63.6％
10. 法国机械学家莱洛（F.Reuleaux1829-1905）发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内(如图阴影部分)的概率是
A. B.
C. D.
11．已知函数，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
12．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
13. 已知满足约束条件，则的最大值为 .
14．已知，则 .
15. 已知单位向量的夹角为，若向量，则 .
16. 在三棱锥中，，二面角，，的大小均为，则三棱锥的顶点在底面的射影为三角形的 (填重心、垂心、内心、外心) . 三棱锥的外接球的半径为 .
三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知等差数列满足，且是和的等比中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）
已知在中，角的对边分别是，，，，且与平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若点为边上靠近的四等分点，且，求的面积．
- （本小题满分12分）
已知四边形是边长为的正方形，是正三角形，平面平面，
为中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀. 我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在小时内，其数据分组依次为：，，，，，得到频率分布直方图如图所示，其中.
（Ⅰ）求的值，估计这名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；
（Ⅱ）学校要在参加公益劳动总时间在、这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6,.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过椭圆的左焦点且与椭圆交于不同的两点,试问：直线与直线的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数且（其中为自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）判断的单调性；
（Ⅲ）若有两个不相等实根，证明：.
吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第二次调研测试
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A | C | A | C | A | D | D | D | C | B | A | B |
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
13. 14. 15. 16. 内心 (2分)， （3分）
17．【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，所以......................1分
又是和的等比中项，有...............2分
即，得.........................................4分
，所以数列的通项公式.................5分
（Ⅱ）...........................7分
...................10分
18.【解析】
（1）∵，，且与平行．
∴ ...................................................1分
∴
...........................................................3分
.................................................................5分
，........................................................6分
（2）设，则......................................................7分
由（1）知，，，.............................9分
在中，由余弦定理知，
即，解得................................10分
..............................................................11分
所以..........................12分
19.【解析】
（Ⅰ）为正三角形，且为中点，...........................1分
平面平面
平面..............................................................2分
平面平面.................................................3分
平面..........................................................4分
（2）取的中点，连接在正方形中，为中点,,由（Ⅰ）知，平面，所以以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系.................................................6分
，，，
,,
设平面法向量为
则，取,得...............................9分
...................................11分
设与平面所成角，则
所以与平面所成角的正弦值为....................................12分
方法二：连接，在等边三角形中，
所以...........................5分
在直角三角形中，
所以...........................6分
由（1）知平面，所以与都是直角三角形，
所以 ........................................7分
.......................................8分
设到平面的距离为
由得
即，解得.......................................10分
设与平面所成的角为
则.....................................................11分
所以与平面所成角的正弦值为......................................12分
20.【解析】
（Ⅰ）依题意，，故..........1分
又因为，所以......................................3分
所求平均数为（小时）......5分
所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为小时......................6分
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为................................................................7分
又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取人，则在中抽取人，分别记为，在中抽取人，分别记为,.........8分
则从人中随机抽取人的基本事件有
，共个...................................................10分
这人来自不同组的基本事件有：
共个，........................................................................11分
所以所求的概率.......................................................12分
解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为，................................................................7分
又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取人，则在中抽取人，在中抽取人，..........................................8分
则从人中随机抽取人的基本事件总数为...................................10分
这人来自不同组的基本事件数为.........................................11分
所以所求的概率......................................................12分
21【解析】
（1）由椭圆的定义知的周长为，所以.......................1分
又因为椭圆的离心率，所以，.................................2分
联立解得，所以，..................................3分
因此所求的椭圆方程为..............................................4分
（2）设
当直线的斜率存在时，设直线方程为，.......................5分
联立消去得..................6分
则......................................7分
因为
................8分
.............9分
所以为定值，这个定值为......................................10分
当直线与轴垂直时，也有.................................11分
所以，直线与直线的斜率的和为定值0.............................12分
方法二：设，直线方程为................5分
联立消去得.........................6分
则......................................7分
因为
.................8分
................9分
所以为定值，这个定值为......................................10分
当直线与轴重合时，也有.................................11分所以，直线与直线的斜率的和为定值0.............................12分
- 【解析】
（1），.................................................1分
解得
所以函数解析式为....................................2分
（2）函数的定义域为
..................................3分
设........................................4分
在上，恒成立
所以在上单调递减，即在上单调递减
又，则在上，在上..............5分
所以函数在上单调递增，在上单调递减....................6分
（3）构造函数，............................7分
.................................8分
设，当时，
设，且
可知在上单调递减，且
所以在上恒成立
即在上恒成立
所以在上单调递增................................................9分
不妨设，由（Ⅱ）知
即..........................................................10分
因为，所以
由（Ⅱ）知在上单调递减
得.................................................................11分
所以...............................................................12分
