2021版新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.7.1离散型随机变量的均值与方差课件新人教B版202011231171

这是一份2021版新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.7.1离散型随机变量的均值与方差课件新人教B版202011231171，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，平均水平，平均偏离程度，aEX+b，a2DX，易错点索引，解题导思，所以E，购买基金，期望为EX0×等内容，欢迎下载使用。
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【教材·知识梳理】1.离散型随机变量X的数学期望与方差已知离散型随机变量X的分布列为
，则有(1)数学期望(均值)： 计算公式：E(X)=_______________________. 作用：反映了离散型随机变量取值的_________.
x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
(2)方差： 计算公式：D(X)=____________________ . 作用：刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________.(3)标准差：σ=_________.
2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=________(a，b为常数).(2)D(aX+b)=______(a，b为常数).3.几个特殊分布的期望与方差
【常用结论】 1.两点分布实际上是n=1时的二项分布.2.方差D(X)= =E(X2)-E2(X).3.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.(　　)(2)随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.(　　)(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.(　　)(4)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球20次的得分X的均值是0.7.(　　)
提示:(1)×.期望与概率有关.(2)√.根据数学期望的定义得到正确.(3)√.根据方差和标准差的定义得到正确.(4)×.变量X服从二项分布B(20,0.7),所以均值为20×0.7=14.
【教材·基础自测】1.(选修2-3 P68习题2.3A组T1)已知随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=1,2,3,则E(3X+5)=________. 
【解析】设Y=3X+5,则Y的分布列为所以E(Y)=8× +11× +14× =11.答案:11
2.(选修2-3 P68习题2.3A组T3)一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分,2分,3分和4分,往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X,则X的均值为________. 
【解析】X的分布列为:所以E(X)=1× +2× +3× +4× = .答案:
3.(选修2-3 P68习题2.3A组T2)已知随机变量ξ的分布列如表所示,则m=________;E(ξ)=________. 
【解析】因为 +m=1,所以 m= ,所以E(ξ)=1× +2× = .答案: 　
考点一　离散型随机变量的均值与方差的计算问题   【题组练透】1.已知随机变量ξ的分布列为:
若E(ξ)= ,则D(ξ)=(　　)
2.(2020·太原模拟)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(01.75,解得p> 或p< ,由p∈(0,1)可得p∈ .
3.由分布列的性质得x+y+z=1,由期望的定义得E =-x+2z= ,由方差的定义得D = 整理得16x+y+25z=9,解得答案:
【规律方法】(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.
考点二　二项分布、正态分布的均值与方差  【典例】1.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________. 
【解析】因为X～B(100,0.02),所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案:1.96
2.某城市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列.
(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数.(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应将w定为多少?(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的月用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及均值.世纪金榜导学号
【解析】(1)因为前四组频数成等差数列,所以所对应的 也成等差数列,设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,所以0.5×(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,解得d=0.1,所以a=0.3,b=0.4,c=0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5=0.25,居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100=25.
(2)由题图及(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7E(Y),所以丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.
【题组通关】【变式巩固·练】1.据《人民网》报道,“美国国家航空航天局(NASA)发文称,相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的42%来自于植树造林,下表是中国十个地区在某年植树造林的相关数据.(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)单位:公顷
(1)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区.(2)在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少?(3)在这十个地区中,从新封山育林面积超过五万公顷的地区中,任选两个地区,记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数,求X的分布列及数学期望.
【解析】(1) 人工造林面积与总面积比值最大的地区为甘肃省,人工造林面积与总面积比值最小的地区为青海省.(2)设“在这十个地区中,任选一个地区,该地区人工造林面积占总面积的比值超过50%”为事件A,在十个地区中,有7个地区(内蒙古、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京)人工造林面积占总面积比值超过50%,则P(A)= .
(3)新封山育林面积超过五万公顷的有7个地区:内蒙古、河北、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海,其中退化林修复面积超过六万公顷的有3个地区:内蒙古、河北、重庆,所以X的取值为0,1,2,所以P(X=0)=P(X=1)= P(X=2)=所以随机变量X的分布列为
2.某次飞镖比赛中,规定每人最多发射3镖.在M处每射中一镖得3分,在N处每射中一镖得2分,如果前两次得分之和超过3分即停止发射,否则发射第三镖.某选手在M处的命中率q1为0.25,在N处的命中率为q2,该选手选择先在M处发射第一镖,以后都在N处发射.用X表示该选手比赛结束后所得的总分,其分布列为:
(1)求随机变量X的数学期望E(X).(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小.
【解析】(1)设“该选手在M处射中”为事件A,“在N处射中”为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,P( )=0.75,P(B)=q2,P( )=1-q2.根据分布列知: 当X=0时,P( )=P( )P( )P( )=0.75 =0.03,所以1-q2=0.2,q2=0.8.当X=2时, P1=P( B + )=P( B )+P( )=P( )P(B)P( )+P( )P( )P(B)=0.75q2 ×2=0.24,当X=3时, P2=P( )=P(A)P( )P( )=0.25 =0.01,
当X=4时, P3=P( BB)=P( )P(B)P(B)=0.75q22=0.48,当X=5时, P4=P(A B+AB)=P(A B)+P(AB)=P(A)P( )P(B)+P(A)P(B)=0.25(1-q2)q2+0.25q2=0.24,所以随机变量X的分布列为:
所以随机变量X的数学期望E(X)=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63.
(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为P( BB+B B+BB)=P( BB)+P(B B)+P(BB)=2(1-q2) =0.896.所以该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大.
【综合创新·练】某项目的射击比赛,开始时在距目标100米处射击,如果命中记3分,且停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标在150米处,这时命中记2分,且停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在200米处,若第三次命中记1分,并停止射击;若第三次未命中,则记0分.已知射手甲在100米处击中目标的概率为 ,他的命中率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的.(1)求这名射手在三次射击中命中目标的概率.(2)求这名射手在这次比赛中得分的数学期望.
【解析】(1)设事件Ai(i=1,2,3):第i次射击命中目标,事件B:三次都未命中目标.则P(A1)= .设在x米处击中目标的概率为P(x),则P(x)= (x=100,150,200).由 ,得k=5 000,所以P(x)= ,所以 P(A2)=P(B)=所以该射手在三次射击中命中目标的概率为
(2)设射手甲得分为ξ,则PP(ξ=2)=所以E(ξ)=0×
核心素养　数学建模——离散型随机变量的均值、方差模型 素养诠释应用意识指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题.解答离散型随机变量的均值与方差实际应用题时,要注意以下两点:(1)明确题意,找准变量之间的关系,注意所学概率模型(相互独立事件、二项分布等)的应用.(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.
【典例】低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数×0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(千克)=天然气使用立方数×0.19等.某校开展“节能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高一·六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例P数据如下:
(1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭,求4个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率.(2)该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义,每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入“低碳家庭”的行列中.宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭,记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数,求E(ξ)和D(ξ).
素养立意　(1)按照互斥事件、独立事件的概率公式计算.(2)先判断随机变量符合二项分布,再利用公式计算均值、方差.
【解析】(1)设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A,则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区,“低碳家庭”均来自西城小区.所以P(A)= (2)因为东城小区每周有20%的家庭加入“低碳家庭”行列,经过一周后,低碳家庭占比例变为 非低碳家庭占比例变为 两周后低碳家庭占比例变为 非低碳家庭占比例为
经过两周后,两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下:
由题意,两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布, 即ξ～B 所以E(ξ)=5×D(ξ)=5×
核心素养　数学建模——离散型随机变量的均值、方差模型 【素养诠释】　应用意识指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题.
解答离散型随机变量的均值与方差实际应用题时,要注意以下两点:(1)明确题意,找准变量之间的关系,注意所学概率模型(相互独立事件、二项分布等)的应用.(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.
【典例】 低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数×0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(千克)=天然气使用立方数×0.19等.某校开展“节能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高一·六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例P数据如下:
【素养立意】　(1)按照互斥事件、独立事件的概率公式计算.(2)先判断随机变量符合二项分布,再利用公式计算均值、方差.
【解析】(1)设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A,则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区,“低碳家庭”均来自西城小区.所以
(2)因为东城小区每周有20%的家庭加入“低碳家庭”行列,经过一周后,低碳家庭占比例变为 非低碳家庭占比例变为两周后低碳家庭占比例变为 非低碳家庭占比例为 经过两周后,两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下: