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2021届新高考二轮复习 专题7 函数的概念、图象与性质 基本初等函数、函数与方程 导数的简单应用 作业
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专题限时集训(七) 函数的概念、图象与性质 基本初等函数、函数与方程 导数的简单应用
1．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
B [∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0，1)，∴a
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
C [∵y＝xα，α∈(0，1)在(0，＋∞)上是增函数，
∴当a＞b＞1，0＜c＜1时，ac＞bc，选项A不正确．
∵y＝xα，α∈(－1，0)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当a＞b＞1，0＜c＜1，即－1＜c－1＜0时，
ac－1＜bc－1，即abc＞bac，选项B不正确．
∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，∴alg a＞blg b＞0，
∴＞.又∵0＜c＜1，∴lg c＜0.
∴＜，∴alogbc＜blogac，选项C正确．
同理可证logac＞logbc，选项D不正确．]
4．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
D [令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t＞1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝＞0，
∴2x＞3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝＜0，
∴2x＜5z，
∴3y＜2x＜5z.
故选D．]
5．(2020·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝x4－2x3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
B [法一：∵f (x)＝x4－2x3，∴f ′(x)＝4x3－6x2，∴f ′(1)＝－2，又f (1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B．
法二：∵f (x)＝x4－2x3，∴f ′(x)＝4x3－6x2，f ′(1)＝－2，∴切线的斜率为－2，排除C，D．又f (1)＝1－2＝－1，∴切线过点(1，－1)，排除A．故选B．]
6．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
A B
C D
D [∵f (－x)＝＝－＝－f (x)，∴f (x)为奇函数，排除A；∵f (π)＝＝＞0，∴排除C；∵f (1)＝，且sin 1＞cos 1，∴f (1)＞1，∴排除B．故选D．]
7．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为( )
B [因为f (x)＝，所以f (－x)＝＝－f (x)，且x∈[－6，6]，所以函数y＝为奇函数，排除C；当x＞0时，f (x)＝＞0恒成立，排除D；因为f (4)＝＝＝≈7.97，排除A．故选B．]
8．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x)＝的图象大致为( )
B [当x＜0时，因为ex－e－x＜0，所以此时f (x)＝＜0，故排除A、D；又f (1)＝e－＞2，故排除C，选B．]
9．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )
D [∵f (x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，
又f (2)＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B．
设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)＜0，g′(2)＞0，
∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，
∴f (x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C．故选D．]
10．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f (x)，则y＝f (x)的图象大致为( )
A B C D
B [当x∈时，f (x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C．
当x∈时，f ＝f ＝1＋，
f ＝2.∵2<1＋，
∴f
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
D [因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得]
12．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f (x)为奇函数，则曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
D [法一：因为函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D．
法二：因为函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D．
法三：易知f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f (x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D．]
13．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x)＝x3－，则f (x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
A [法一：函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，排除C，D．因为函数y＝x3，y＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以f (x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．
法二：函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，排除C，D．当x∈(0，＋∞)时，由f (x)＝x3－，得f ′(x)＝3x2＋>0，所以f (x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．]
14．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
D [∵f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)．
∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.
故由－1≤f (x－2)≤1，得f (1)≤f (x－2)≤f (－1)．
又f (x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
故选D．]
15．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
B [因为f (－x)＝2－f (x)，所以f (－x)＋f (x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f (x)的图象关于点(0，1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0，1)对称．所以函数y＝与y＝f (x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0，1)对称，所以xi＝0，yi＝2×＝m，所以 (xi＋yi)＝m.]
16．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A．－ B．
C． D．1
C [法一：f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f (t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f (x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
故选C．
法二：f (x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f (x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f (x)的零点不唯一．
故选C．]
17．(2020·天津高考)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )
A．∪(2，＋∞)
B．∪(0，2)
C．(－∞，0)∪(0，2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D [由题意知函数g(x)＝f (x)－|kx2－2x|恰有4个零点等价于方程f (x)－|kx2－2x|＝0，即f (x)＝|kx2－2x|有4个不同的根，即函数y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点．
当k＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f (x)与y＝|2x|的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意．
图1
当k＜0时，y＝|kx2－2x|＝，其图象的对称轴为直线x＝＜0，直线x＝与y＝|kx2－2x|的图象的交点为，点在直线y＝－x上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象如图2所示，由图2易知函数y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点，满足题意．
图2
当k＞0时，函数y＝|kx2－2x|的图象与x轴的2个交点分别为原点(0，0)与，则当x＞时，由kx2－2x＝x3，得x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－8＝0，得k＝2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k2－8＞0，得k＞2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k2－8＜0，得0＜k＜2，易知此时不满足题意．
图3 图4
综上可知，实数k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)，故选D．]
18．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f (x0)＜0，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
D [∵f (0)＝－1＋a<0，∴x0＝0.
又∵x0＝0是唯一的使f (x)<0的整数，
∴
即解得a≥.
又∵a＜1，∴≤a<1，经检验a＝，符合题意．故选D．]
19．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋1)＝2f (x)，且当x∈(0，1]时，f (x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f (x)≥－，则m的取值范围是( )
A． B． C． D．
B [当－1＜x≤0时，0＜x＋1≤1，则f (x)＝f (x＋1)＝(x＋1)x；当1＜x≤2时，0＜x－1≤1，则f (x)＝2f (x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2＜x≤3时，0＜x－2≤1，则f (x)＝2f (x－1)＝22f (x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得
f (x)＝由此作出函数f (x)的图象，如图所示．由图可知当2＜x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f (x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B．
]
20．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x)＝则满足f (x)＋f >1的x的取值范围是________．
[由题意知，可对不等式分x≤0，0三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
∴－＜x≤0.
当01，显然成立．
当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，x>－.]
21．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
3 [由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f (x)在[0，π]的零点个数为3.]
22．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x)是奇函数，且当x＜0时，f (x)＝－eax，若f (ln 2)＝8，则a＝____________.
－3 [当x>0时，－x＜0，f (－x)＝－e－ax.因为函数f (x)为奇函数，所以当x>0时，f (x)＝－f (－x)＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－aln 2＝＝8，所以a＝－3.]
23．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
y＝2x [设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.]
24．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________．
－ [因为f (x)＝2sin x＋sin 2x，
所以f ′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2 x＋2cos x－2＝4(cos x＋1)，
由f ′(x)≥0得≤cos x≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
由f ′(x)≤0得－1≤cos x≤，2kπ＋≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z，
所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f (x)取得最小值，
且f (x)min＝f ＝2sin＋sin 2＝－.]
1．[多选](2020·日照模拟)若函数f (x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f (x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是( )
AD [由题意知f (x)＝ax－2是指数函数，g(x)＝loga|x|是对数函数，且是一个偶函数．
当0＜a＜1时，f (x)＝ax－2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上递减，此时A选项符合题意；当a＞1时，f (x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意，故选AD．]
2．[多选](2020·济宁模拟)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝22－x B．y＝
C．y＝log D．y＝－x2＋2x＋a
BC [A中，y＝22－x，令t＝2－x，∵t＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，∴t∈(－∞，2)．
∵y＝2t在(－∞，2)上单调递增，∴y＝22－x在(0，＋∞)上单调递减．
B中，y＝＝1－，令t＝x＋1，∵t＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴t∈(1，＋∞)．
∵y＝1－在(1，＋∞)上单调递增，∴y＝在(0，＋∞)上单调递增．
C中，y＝log＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．
D中，y＝－x2＋2x＋a图象的对称轴为直线x＝1，所以函数在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故选BC．]
3．(2020·江西红色七校第一次联考)若a，b，c满足2a＝3，b＝log25，3c＝2，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
C [a＝log23∈(1，2)，b＝log25∈(2，3)，c＝log32∈(0，1)，故c＜a＜b.]
4．(2020·南昌模拟)已知正实数a，b，c满足：＝log2a，＝log2b，c＝logc，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
B [因为c＝logc，所以－c＝log2c.
又＝log2a，＝log2b，
所以a，b，c分别为y＝，y＝，y＝－x的图象与y＝log2x的图象交点的横坐标．
在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝，y＝－x与y＝log2x的图象，如图，由图可知c＜b＜a，故选B．
]
5．[多选](2020·威海模拟)已知函数f (x)＝则下列结论中正确的是( )
A．f (－2)＝4 B．若f (m)＝9，则m＝±3
C．f (x)是偶函数 D．f (x)在R上单调递减
AD [由于－2＜0，所以f (－2)＝(－2)2＝4，故A选项正确；
由f (m)＝9＞0知m≤0，且m2＝9，因此m＝－3，故B选项错误；
由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数，且在R上单调递减，故C选项错误，D选项正确．
综上，正确的结论是AD．]
6．(2020·南昌模拟)若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则( )
A．logab＞logbc＞logca B．logcb＞logba＞logac
C．logbc＞logab＞logca D．logba＞logcb＞logac
B [因为a＞b＞c＞1，所以logab＜logaa＝1，logbc＜logbb＝1，logca＞logcc＝1，排除选项A、C；
logab－logbc＝－＝，因为lg alg c＜＝＜＝(lg b)2，所以＞0，所以logab＞logbc，所以logcb＞logba，排除选项D．所以选B．]
7．(2020·惠州第二次调研)函数f (x)＝的图象大致是( )
A B
C D
B [法一：函数f (x)的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)．故排除A；
f (100)＝＞0，排除C；
f ＝＞0，排除D．
故选B．
法二：设g(x)＝x－ln x－1，则g(1)＝0，g′(x)＝1－，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
所以当x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝0.
所以f (x)＝的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)，且f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x)＞0，故选B．
法三：f (x)＝的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)，故排除A；
当x→0时，(x－ln x－1)→＋∞，f (x)→0，排除D；
当x→＋∞时，x－ln x－1＞0，所以f (x)＝＞0，排除C．
故选B．]
8．(2020·大同调研)函数f (x)＝2x－tan x在上的图象大致为( )
A B
C D
C [法一：因为f (－x)＝－2x－tan(－x)＝－2x＋tan x＝－f (x)，所以f (x)＝2x－tan x为奇函数，则其图象关于原点对称，故排除选项A，B；
因为f ′(x)＝2－＝，
所以当x∈时，f ′(x)＞0，
当x∈时，f ′(x)＜0，所以f (x)在上单调递增，
在上单调递减，故排除选项D．故选C．
法二：因为f (－x)＝－2x＋tan x＝－f (x)，所以f (x)＝2x－tan x为奇函数，
则其图象关于原点对称，故排除选项A，B；
因为f ′(x)＝2－，所以f ′(0)＝1，即f (x)的图象在原点处的切线的斜率为1，故排除选项D．故选C．]
9．(2020·西安模拟)若函数f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f (x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f (－2)＜f (－3)＜g(－1)
B．g(－1)＜f (－3)＜f (－2)
C．f (－2)＜g(－1)＜f (－3)
D．g(－1)＜f (－2)＜f (－3)
D [因为函数f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f (x)＋2g(x)＝ex ①，
所以f (－x)＋2g(－x)＝e－x，即f (x)－2g(x)＝e－x ②.
联立①②得
解得，
所以f (－2)＝，f (－3)＝，g(－1)＝＜0.
因为f (－3)－f (－2)＝－＝＞0，所以g(－1)＜f (－2)＜f (－3)，故选D．]
10．(2020·长春质量监测一)已知函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (2＋x)＋f (x)＝0，当x∈[－2，0]时，f (x)＝－x2－2x，则当x∈[4，6]时，y＝f (x)的最小值为( )
A．－8 B．－1 C．0 D．1
B [由f (2＋x)＋f (x)＝0，得f (4＋x)＋f (2＋x)＝0，以上两式相减，得f (x)＝f (4＋x)，所以函数f (x)是以4为周期的周期函数．
设x∈[0，2]，则－x∈[－2，0]，f (－x)＝－(－x)2－2(－x)＝－x2＋2x.
因为函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (x)＝－f (－x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1时，f (x)取得最小值－1.
由周期函数的性质知，当x∈[4，6]时，y＝f (x)的最小值也是－1，故选B．]
11．[多选](2020·潍坊模拟)已知f (x)是定义在[－10，10]上的奇函数，且f (x)＝f (4－x)，则函数f (x)的零点个数至少为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [∵f (x)是定义在[－10，10]上的奇函数，∴f (0)＝0，且f (x)的零点关于原点对称，∴零点个数为奇数，排除选项B，D．又f (x)＝f (4－x)，∴f (0)＝f (4)＝0，f (－4)＝－f (4)＝0，∴f (－4)＝f (4＋4)＝f (8)＝0，f (－8)＝－f (8)＝0，∴f (x)的零点至少为0，±4，±8，共5个，故选C．]
12．(2020·洛阳尖子生第一次联考)已知f (x)为偶函数，当x＞0时，f (x)＝ln x－3x，则曲线y＝f (x)在点(－1，－3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于( )
A．1 B． C． D．
C [当x＞0时，f ′(x)＝－3，因为f (x)是偶函数，所以f ′(x)是奇函数，故在(－1，－3)处切线的斜率k＝f ′(－1)＝－f ′(1)＝2，所以切线方程为y＋3＝2(x＋1)，该切线与x轴，y轴的交点分别为，(0，－1)，所以该切线与两坐标轴围成图形的面积等于××1＝，故选C．]
13．(2020·沈阳质量监测(一))已知函数f (x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝则函数g(x)＝f 2(x)－f (x)的零点个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
C [∵x∈(0，2]时，f (x)＝(x－1)2，x＞2时，f (x)＝f (x－2)＋1，∴将f (x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x)在(2，4]上的图象．同理可得到f (x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x)的图象关于y轴对称得到f (x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x)在其定义域内的图象，如图所示：
令g(x)＝0，得f (x)＝0或f (x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f (x)的图象共有6个交点，∴函数g(x)共有6个零点．故选C．]
14．(2020·长春质量监测一)已知函数f (x)＝(x2－2x)·ex－1，若当x＞1时，f (x)－mx＋1＋m≤0有解，则m的取值范围为( )
A．m≤1 B．m＜－1
C．m＞－1 D．m≥1
C [当x＞1时，不等式f (x)－mx＋1＋m≤0有解等价于f (x)≤m(x－1)－1有解．
由f (x)＝(x2－2x)ex－1，得f ′(x)＝(2x－2)ex－1＋(x2－2x)ex－1＝(x2－2)ex－1，当x＞时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增，当1＜x＜时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减，当x＝2时，f (x)＝0，当x＞2时，f (x)＞0，由此可作出函数y＝f (x)(x＞1)的图象，如图所示．
直线y＝m(x－1)－1恒过定点Q(1，－1)，Q(1，－1)在函数f (x)的图象上．
f ′(1)＝(12－2)e1－1＝－1，由图可知，若x＞1时，不等式f (x)－mx＋1＋m≤0有解，则m的取值范围是m＞－1，故选C．]
15．(2020·泰安模拟)已知函数f (x)＝，若对任意的实数a，b，总存在x0∈[－1，2]，使得f (x0)≥m成立，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．(－∞，1]
B [记y＝f (x)，x∈[－1，2]的最大值为M(a，b)，则由题意知，m≤M(a，b)对任意a，b∈R恒成立，所以m≤M(a，b)min.
依题意M(a，b)≥f (x)，x∈[－1，2]，分别令x＝－1，0，2，于是得到M(a，b)≥f (－1)＝|－3＋a－b|，M(a，b)≥f (0)＝|－1－b|，M(a，b)≥f (2)＝|－2a－b|，所以2M(a，b)＋3M(a，b)＋M(a，b)≥|－6＋2a－2b|＋|3＋3b|＋|－2a－b|≥|－6＋2a－2b＋3＋3b－2a－b|＝3，则M(a，b)≥，当且仅当－3＋a－b＝1＋b＝－2a－b时，即a＝1，b＝－时，等号成立，m≤M(a，b)min＝，选B．]
16．[多选](2020·日照模拟)已知实数m，n满足2m＞2n，则下列不等式恒成立的是( )
A．cos m＜cos n
B．若m＞0，n＞0，则logm＜logn
C．e3m＋2＞e3n＋2
D．若m＞0，n＞0，则＞
BCD [因为y＝2x为R上的增函数，所以m＞n.
因为函数y＝cos x在R上有增有减，所以A中的不等式不恒成立，A错误．
因为函数y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，所以当m＞0，n＞0，m＞n时，logm＜logn，故B正确．
因为y＝ex在R上单调递增，所以当m＞n时，e3m＋2＞e3n＋2，故C正确．
因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以当m＞0，n＞0，m＞n时，＞，故D正确．]
17．[多选](2020·枣庄模拟)设函数f (x)＝xln x，g(x)＝，则下列命题正确的是( )
A．不等式g(x)＞0的解集为
B．函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减
C．当x1＞x2＞0时，(x－x)＞f (x1)－f (x2)恒成立，则m≥1
D．若函数F(x)＝f (x)－ax2有两个极值点，则实数a∈(0，1)
AC [f (x)＝xln x的导函数为f ′(x)＝1＋ln x，则g(x)＝＝，g′(x)＝，对于A，g(x)＞0，即＞0，解得x＞，故A正确．
对于B，g′(x)＝，当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，g(x)在(0，1)上单调递增，故B错误．
对于C，(x－x)＞f (x1)－f (x2)可化为f (x2)－x＞f (x1)－x.
设φ(x)＝f (x)－x2，又x1＞x2＞0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴φ′(x)＝1＋ln x－mx≤0在(0，＋∞)上恒成立，即m≥在(0，＋∞)上恒成立．
又g(x)＝在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)在x＝1处取得最大值，g(1)＝1，∴m≥1，故C正确．
对于D，若函数F(x)＝f (x)－ax2有两个极值点，则f ′(x)＝1＋ln x－2ax有两个零点，即1＋ln x－2ax＝0有两个不等实根．
2a＝，又g(x)＝在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(1)＝1，x→＋∞时，g(x)→0，即2a∈(0，1)，a∈，故D错误．故选AC．]
18．[多选](2020·青岛模拟)已知函数f (x)＝x－a＋，其中a，b均为实数且a≤b，则下列说法中不正确的是( )
A．若ab＝－1，则f (x)为奇函数
B．若ab＝0，则f (x)为奇函数
C．若a＝b＝0，则方程f (f (x))＝2有一个实数根
D．若a＝b＝0，则方程f (f (x))＝t(t为实数)可能有两个不同的实数根
ABC [对于A，ab＝－1时，若b＝2，则a＝－，此时f (x)＝x＋＋＝(x－2)＋＋，f (x)的图象可由函数y＝x＋的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到，其图象不关于原点对称，所以A不正确．
对于B，b＝0，a＝－时，满足ab＝0，此时f (x)＝x＋＋＝x＋＋，f (x)的图象不关于原点对称，所以B不正确．
若a＝b＝0，则f (x)＝x＋，f (f (x))＝f (x)＋＝x＋＋＝x＋＋，求导后可知该函数在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，1)上单调递减，所以f (f (x))在x＝－1处取得极大值，为－，在x＝1处取得极小值，为.
作出f (f (x))的大致图象如图所示，结合图象知C错，D正确．
故选ABC．]
19．[多选](2020·烟台模拟)已知f (x)是定义域为R的函数，满足f (x＋1)＝f (x－3)，f (1＋x)＝f (3－x)，当0≤x≤2时，f (x)＝x2－x，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为4
B．f (x)的图象关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数f (x)的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数f (x)的最小值为－
ABC [由f (x＋1)＝f (x－3)得，f (x)＝f [(x－1)＋1]＝f [(x－1)－3]＝f (x－4)，故函数f (x)的周期为4，A正确；
由f (1＋x)＝f (3－x)可得f (2＋x)＝f (2－x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；
作出函数f (x)在[0，8]上的大致图象如图所示，
由图可知，当0≤x≤4时，函数f (x)的最大值为f (2)＝2，C正确；
当6≤x≤8时，函数f (x)的最小值为f ＝f ＝－，D错误．]
20．[多选](2020·临沂模拟)已知函数f (x)＝设f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，且x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是( )
A．x1x2＝1 B．x3＋x4＝1
C．0＜x1x2x3x4＜1 D．x1＋x2＋x3＋x4＜0
ACD [作出函数f (x)的大致图象如图所示，
由图可知x3＋x4＝2，x1x2＝1，所以A正确，B不正确；
结合二次函数的性质知x1x2x3x4＝x3x4＝x3(2－x3)∈(0，1)，所以C正确；
x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x2＋2＜－2＋2＝0，D正确．]
21．(2020·江西红色七校第一次联考)若函数f (x)＝x－－aln x在区间(1，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围为( )
A． B．
C．(0，＋∞) D．
D [法一：由题意知f ′(x)＝1－－＝，当x＞1时，令g(x)＝2x－，则g′(x)＝2－＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)＞1.
当2a≤1，即a≤时，f ′(x)＞0，所以函数f (x)单调递增，又f (1)＝0，所以f (x)在(1，＋∞)上无零点；
当2a＞1，即a＞时，存在x0∈(1，＋∞)，使得f ′(x0)＝0，所以当1＜x＜x0时，f ′(x)＜0，当x＞x0时，f ′(x)＞0，所以函数f (x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，所以f (x0)＜0，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，所以函数f (x)在区间(1，＋∞)上存在零点．
综上，a的取值范围为.
法二：当a＝10时，f (x)＝x－－10ln x，x＝e时，f (e)＜0，x＝100时，f (100)＞0，所以函数f (x)在(1，＋∞)上存在零点，所以A，B不正确；
当a＝时，f (x)＝x－－ln x，f ′(x)＝1－－，当x＞1时，f ′(x)＞0恒成立，函数f (x)单调递增，又f (1)＝0，所以a＝时，f (x)在(1，＋∞)上无零点，所以C不正确，故选D．]
22．(2020·西安模拟)已知函数f (x)＝，g(x)＝f (x)－ax，若g(x)有4个零点，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
B [当x＝0时，g(0)＝f (0)－0＝0，所以x＝0为函数g(x)的1个零点．
当x≠0时，令g(x)＝f (x)－ax＝0，得a＝
则直线y＝a与函数y＝h(x)＝的图象有3个不同的交点．
令φ(x)＝(x＞0)，则φ′(x)＝.
由φ′(x)＝0，得x＝e，所以函数φ(x)在(0，e)上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减，所以φ(x)在x＝e处取得最大值，所以φ(x)max＝.
又φ(1)＝0，x→＋∞时，φ(x)→0，所以可在同一直角坐标系中作出直线y＝a与函数y＝h(x)的大致图象，如图所示．
由图知若直线y＝a与函数y＝h(x)的图象有3个不同的交点，
则0＜a＜，故选B．]
23．(2020·南昌模拟)已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝0，f (0)＝，则f (10)＝________.
－ [因为函数f (x)是偶函数，所以f (2－x)＝－f (x)＝－f (－x)，所以f (x＋2)＝－f (x)＝f (2－x)＝f (x－2)，所以f (x＋4)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，则f (10)＝f (2)＝－f (0)＝－.]
24．(2020·成都模拟)已知f (x)是定义在上的奇函数，其导函数为f ′(x)，f ＝，且当x∈时，f ′(x)sin 2x＋2f (x)cos 2x＞0.则不等式f (x)sin 2x＜1的解集为________．
[设F(x)＝f (x)sin 2x，则F′(x)＝f ′(x)sin 2x＋2f (x)cos 2x.
因为f (x)是定义在上的奇函数，所以F(－x)＝f (－x)sin(－2x)＝F(x)，所以F(x)是定义在上的偶函数．
因为当x∈时，f ′(x)sin 2x＋2f (x)cos 2x＞0，所以F′(x)＞0，所以F(x)在上单调递增，又F(x)是上的偶函数，所以F(x)在上单调递减．
因为F＝f sin＝1，所以不等式f (x)sin 2x＜1等价于F(x)＜F，所以|x|＜，解得x∈.]
25．[一题两空](2020·淄博模拟)已知函数f (x)＝若函数f (x)在R上是单调的，则实数a的取值范围是________；若对任意的实数x1＜a，总存在实数x2≥a，使得f (x1)＋f (x2)＝0，则实数a的取值范围是________．
[2，＋∞) (－∞，－2] [令x2＝x＋2，解得x＝－1或x＝2.
作出函数y＝f (x)的图象如图所示，若函数f (x)在R上单调，只需a≥2.
若对任意的实数x1＜a，总存在实数x2≥a，使得f (x1)＝－f (x2)，则函数y＝x＋2在(－∞，a)上的值域是函数y＝－x2在[a，＋∞)上的值域的子集．
易知y＝x＋2在(－∞，a)上的值域为(－∞，a＋2)．
当a≤0时，函数y＝－x2在[a，＋∞)上的值域为(－∞，0]，则a＋2≤0，即a≤－2；
当a＞0时，函数y＝－x2在[a，＋∞)上的值域为(－∞，－a2]，
则a＋2≤－a2，无解．
综上，若对任意的实数x1＜a，总存在实数x2≥a，使得f (x1)＋f (x2)＝0，则实数a的取值范围是(－∞，－2]．]
1．已知a＝ln 3，b＝log310，c＝lg 3，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
B [1＝ln e＜a＝ln 3＜ln e2＝2，b＝log310＞log39＝2，0＝lg 1＜c＝lg 3＜lg 10＝1，所以c＜a＜b，故选B．]
2．已知a＞b＞0，且a＋b＝1，x＝，y＝logab，z＝logb，则x，y，z的大小关系是( )
A．x＞z＞y B．x＞y＞z
C．z＞y＞x D．z＞x＞y
A [法一：因为a＞b＞0，且a＋b＝1，所以0＜b＜＜a＜1，所以1＜＜，所以x＝＞＝1，y＝logab＝logab＝－1，z＝logb＞logb＝－logbb＝－1，且logb＜logb1＝0，所以x＞z＞y，故选A．
法二：由题意不妨令a＝，b＝，则x＝＞＝1，y＝log＝－1，z＝log＞log3＝－1，且z＝log＜log1＝0，所以x＞z＞y，故选A．]
3．直线x＝a(a＞0)分别与直线y＝2x＋1，曲线y＝x＋ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C． D．
B [根据题意，设f (x)＝2x＋1－x－ln x＝x＋1－ln x，则f ′(x)＝1－＝(x＞0)，所以函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x)min＝f (1)＝2－ln 1＝2，所以|AB|min＝2.]
4．函数f (x)＝的图象大致为( )
D [因为f (x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f (－x)＝f (x)，所以f (x)是偶函数，排除选项B，C．
当x＞0时，f (x)＝＝x－在(0，＋∞)上单调递增，排除选项A，故选D．]
5．若函数f (x)＝x2－kex在(0，＋∞)上单调递减，则k的取值范围为( )
A． B．
C． D．
C [因为f (x)＝x2－kex，所以f ′(x)＝2x－kex，又函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x)≤0恒成立，即k≥恒成立．
令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝，故函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，函数g(x)的最大值为g(1)＝，所以k≥，即k∈.故选C．]
6．函数f (x)＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )
A B C D
A [法一：当x＞0时，ex＞1，则f (x)＜0；
当x＜0时，0＜ex＜1，则f (x)＜0.
所以f (x)的图象恒在x轴下方，故选A．
法二：依题意x≠0，f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)是偶函数，排除选项C，D．
当x＝1时，f (x)＝＜0，排除选项B，故选A．]
7．[多选]已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)·e－|x|(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则Aω的取值可能为( )
A．4π B．π C．3π D．2π
BC [由题图知，函数f (x)为偶函数，因为函数y＝e－|x|为偶函数，所以函数y＝sin(ωx＋φ)为偶函数，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．
因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以f (x)＝Asin·e－|x|＝Acos(ωx)·e－|x|.
由题图知即
所以
所以Aω＝(2k＋1)π(k∈Z)，故选BC．]
8．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)－f (－x)＝0，且当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
①f (x)的图象关于直线x＝1对称；②f (x)是周期函数，且2是其一个周期；③f ＜f ；④关于x的方程f (x)－t＝0(0＜t＜1)在区间(－2，7)上的所有实根之和是12.
A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③
A [由题意可知f (x)的图象关于直线x＝1对称，①正确；
因为f (x)是奇函数，所以f (x＋2)＝f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是f (x)的周期，故②错误；
由f (x)的周期性和对称性可得f ＝f ＝f ＝f ，又当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，所以f (x)在x∈[0，1]时单调递增，所以f ＜f ，即f ＞f ，③错误；
又x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，则可画出f (x)在区间[－2，8]上对应的函数，如图．
易得f (x)－t＝0(0＜t＜1)，即f (x)＝t(0＜t＜1)在区间(－2，7)上的根分别关于1，5对称，故零点之和为2×(1＋5)＝12，④正确．
故选A．]
9．函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且f (x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，若f (－2)＝1，则满足f (x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．[0，4]
D [依题意得，函数f (x)是偶函数，则f (x－2)≤1，即f (|x－2|)≤f (|－2|)．
由函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增得|x－2|≤2，即－2≤x－2≤2，0≤x≤4.
所以满足f (x－2)≤1的x的取值范围是[0，4]，选D．]
10．定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，若对任意实数x，都有f (x)＞f ′(x)，且f (x)＋2 019为奇函数，则不等式f (x)＋2 019ex＜0的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C． D．
B [令g(x)＝，因为f (x)＞f ′(x)，所以g′(x)＝＜0，所以g(x)在R上单调递减．
因为f (x)＋2 019是奇函数，所以f (0)＋2 019＝0，即f (0)＝－2 019，则g(0)＝－2 019.
不等式f (x)＋2 019ex＜0可转化为＜－2 019，即g(x)＜g(0)，又g(x)在R上单调递减，所以x＞0，则不等式f (x)＋2 019ex＜0的解集为(0，＋∞)，故选B．]
11．已知函数f (x)的图象在点(x0，f (x0))处的切线为l：y＝g(x)，若函数f (x)满足∀x∈I(其中I为函数f (x)的定义域)，当x≠x0时，[f (x)－g(x)](x－x0)＞0恒成立，则称x0为函数f (x)的“转折点”．已知函数f (x)＝ex－ax2－2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范围是( )
A．[0，e] B．[1，e]
C．[1，＋∞) D．(－∞，e]
B [根据定义，函数f (x)满足∀x∈I(其中I为函数f (x)的定义域)，当x≠x0时，[f (x)－g(x)](x－x0)＞0恒成立，f ′(x)＝ex－ax－2.
令h(x)＝ex－ax－2，则h′(x)＝ex－a，令h′(x)＝ex－a＝0，则其解就是“转折点”，故ex＝a，x＝ln a，x∈[0，1]，则0≤ln a≤1，解得1≤a≤e，选B．]
12．[多选]已知x，y均大于0，ex＋x＝ey＋2y，则下列结论正确的是( )
A．log3x＜log3y B．x－＜y－
C．sin x＞sin y D．＜
BD [因为x，y均大于0，所以ex＋x＝ey＋2y＝ey＋y＋y＞ey＋y.
易知函数m＝en＋n在(0，＋∞)上单调递增，故x＞y.
根据对数函数的性质得log3x＞log3y，选项A错误．
因为x＞y＞0，函数m＝n在(0，＋∞)上单调递减，所以x＜y，选项B正确．函数m＝sin n在(0，＋∞)上的单调性不确定，因此sin x＞sin y不一定成立，选项C错误．因为x＞y＞0，所以x2＞y2，所以＜，选项D正确．]
13．[多选]已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是( )
A．a2＞ab＞b2 B．a＋ln a＞b＋ln b
C．＋2a＜＋2b D．＋a2＞＋b2
ABD [选项A，因为a＞b＞0，所以由不等式的性质可得a2＞ab，ab＞b2，所以a2＞ab＞b2.故该选项正确．
选项B，因为a＞b＞0，函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln a＞ln b，所以a＋ln a＞b＋ln b．故该选项正确．
选项C，因为a＞b＞0，函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以＞＞0.易知2a＞2b，所以＋2a＞＋2b.故该选项不正确．
选项D，因为函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，且a＞b＞0，所以a2＞b2，且＞.由不等式的性质可得＋a2＞＋b2.故该选项正确．]
14．[多选]若函数f (x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f (x1)＋f (x2)＞2f ，则称函数f (x)具有H性质．下列函数具有H性质的是( )
A．f (x)＝ B．f (x)＝ln x
C．f (x)＝x2(x≥0) D．f (x)＝tan x
ACD [若对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f (x1)＋f (x2)＞2f ，则点(x1，f (x1))，(x2，f (x2))所连线段的中点在点的上方，作出示意图如图所示其中a＝，b＝f .
根据函数f (x)＝，f (x)＝ln x，f (x)＝x2(x≥0)，f (x)＝tan x的图象可知，函数f (x)＝，f (x)＝x2(x≥0)，f (x)＝tan x具有H性质，函数f (x)＝ln x不具有H性质，故选ACD．]
15．关于函数f (x)＝＋ln x，有下列几个命题：①x＝2是f (x)的极大值点；②函数y＝f (x)－x有且只有1个零点；③存在正实数k，使得f (x)＞kx恒成立；④对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2，若f (x1)＝f (x2)，则x1＋x2＞4.其中正确的命题有( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
C [f ′(x)＝，当0＜x＜2时，f ′(x)＜0；
当x＞2时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，x＝2是f (x)的极小值点，故①错误．
根据函数f (x)的单调性及极值点，作出函数f (x)的大致图象，如图所示，作出直线y＝x，易知直线y＝x与f (x)的图象有且只有1个交点，即函数y＝f (x)－x有且只有1个零点，故②正确．
若f (x)＞kx，则k＜＋，令g(x)＝＋，则g′(x)＝，令F(x)＝－4＋x－xln x，则F′(x)＝－ln x，所以F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，F(x)≤F(1)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，g(x)无最小值，不存在正实数k，使得f (x)＞kx恒成立，故③错误．
由x1＞x2，f (x1)＝f (x2)可知x1＞2，0＜x2＜2，要证x1＋x2＞4，即证x1＞4－x2，且x1＞4－x2＞2，f (x)在(2，＋∞)上单调递增，即证f (x1)＞f (4－x2)，又f (x1)＝f (x2)，所以证f (x2)＞f (4－x2)，即证f (x)＞f (4－x) ，x∈(0，2)．
令h(x)＝f (x)－f (4－x)＝ln x－ln(4－x)＋－，x∈(0，2)，则h′(x)＝＜0，所以h(x)在(0，2)上单调递减，所以h(x)＞0，所以x1＋x2＞4，故④正确．故选C．]
16．[多选]设函数f (x)＝，则下列选项正确的是( )
A．f (x)为奇函数
B．f (x)的图象关于点(0，1)对称
C．f (x)的最大值为＋1
D．f (x)的最小值为－＋1
BCD [f (x)＝＋1，不满足f (x)＝－f (x)，故A错误．
令g(x)＝，则g(－x)＝＝＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，则f (x)的图象关于点(0，1)对称，B正确．
设f (x)＝＋1的最大值为M，则g(x)的最大值为M－1.设f (x)＝＋1的最小值为N，则g(x)的最小值为N－1.
当x＞0时，g(x)＝，∴g′(x)＝.
当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，∴当x∈(0，1)时，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g(x)单调递减，∴g(x)在x＝1处取得最大值，最大值g(1)＝，由于g(x)为奇函数，∴g(x)在x＝－1处取得最小值，最小值g(－1)＝－，∴f (x)的最大值为M＝＋1，最小值为N＝－＋1，故C，D正确，故选BCD．]
17．[多选]如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f (x)，则下列说法正确的是( )
A．函数y＝f (x)是偶函数
B．对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝f (x－2)
C．函数y＝f (x)在区间[2，3]上单调递减
D．函数y＝f (x)的值域是[0，1]
AB [当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A(即(－1，0))为圆心，1 为半径的圆；
当－1＜x≤1时，P的轨迹是以B(即(0，0))为圆心，为半径的圆；
当1＜x≤2时，P的轨迹是以C(即(1，0))为圆心，1为半径的圆；
当2＜x≤3时，P的轨迹是以A(即(3，0))为圆心，1为半径的圆．
所以函数f (x)的周期为4，图象如图所示，根据图象的对称性可知y＝f (x)是偶函数，所以A正确；因为f (x)的周期为4，所以B正确；
函数f (x)在[2，3]上单调递增，所以C不正确；函数f (x)的值域为[0，]，所以D不正确．]
18. 若关于x的不等式xln x－kx＋2k＋1＞0在(2，＋∞)上恒成立，则满足条件的整数k的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A [当x∈(2，＋∞)时，不等式xln x－kx＋2k＋1＞0恒成立等价于k＜恒成立，令f (x)＝(x＞2)，则f ′(x)＝，令g(x)＝x－2ln x－3(x＞2)，则g′(x)＝1－，函数g(x)在(2，＋∞)上单调递增．
又g(e)＝e－5＜0，g(e2)＝e2－7＞0，所以在(e，e2)上存在x0，使g(x0)＝0，即x0－2ln x0－3＝0，且1＜ln x0＜2，所以x0＝2ln x0＋3，且2＜ln x0＋1＜3.
易知当x∈(2，x0)时，g(x)＜0，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增，所以f (x)min＝f (x0)＝＝ln x0＋1∈(2，3)，则满足条件的整数k的最大值为2，故选A．]
19．已知函数f (x)＝－a.若f (x)没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．[0，e) B．(0，1)
C．(0，e) D．[0，1)
A [因为f (x)没有零点，所以关于x的方程f (x)＝0，即a＝无实数解．
令g(x)＝，h(x)＝a，则函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象无公共点．
g′(x)＝，令g′(x)＝0，则x＝1，当x＜0时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，且g(x)＜0；
当0＜x＜1时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减；
当x＞1时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增．
所以函数g(x)有极小值g(1)＝e，作出g(x)的图象如图所示，结合图象可得0≤a＜e，选A．]
20．函数f (x)＝(x2－ax)ex－ax＋a2(e为自然对数的底数，a∈R，a为常数)有三个不同的零点，则a的取值范围是( )
A． B．(－∞，0)
C． D．(0，＋∞)
A [因为f (x)有三个不同的零点，所以f (x)＝0有三个不同的解．
f (x)＝(x2－ax)ex－ax＋a2＝(x－a)(xex－a)，令f (x)＝0，则x＝a或xex＝a，所以xex＝a有两个不为a的解，可知a≠0，所以y＝xex与y＝a的图象有两个不同的交点，令g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
故x＝－1时，g(x)取得最小值，g(x)的最小值为－.
当x→－∞时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，作出g(x)＝xex及y＝a的图象，如图所示．
结合图象，可知a∈.]
21．[多选]设函数f (x)＝若函数g(x)＝[f (x)]2＋bf (x)＋c有三个零点x1，x2，x3，则下列说法正确的是( )
A．b的值为－2 B．c的值为1
C．a的值无法确定 D．x1x2＋x2x3＋x1x3＝10
ABC [作出函数f (x)的大致图象如图所示，
由图可得关于x的方程f (x)＝t的根有两个或三个(t＝1时有三个，t≠1时有两个)，所以关于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有一个根t＝1(若有两个根，则关于x的方程[f (x)]2＋bf (x)＋c＝0有四个或五个根)，由根与系数的关系得－b＝1＋1，c＝1×1＝1，得b＝－2，所以A，B正确；不妨设x1＜x2＜x3，令f (x)＝1，可得x1，x2，x3的值分别为1，2，3，则x1x2＋x2x3＋x1x3＝1×2＋2×3＋1×3＝11，由loga|1－2|＋1＝1，得a0＝1(a＞1)，故a的值无法确定，所以C正确，D错误．故选ABC．]
22．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex－2的切线，则k＝________.
1或 [法一：设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)，则曲线y＝ln x在点(x1，ln x1)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x－1＋ln x1.①
设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－2相切于点(x2，e)，则曲线y＝ex－2在点(x2，e)处的切线方程为y－e＝e (x－x2)，即y＝ex＋(1－x2)e.②
由题意知①②表示同一直线，所以＝e，且－1＋ln x1＝(1－x2)e.
所以－1＋ln x1＝＝＝，解得x1＝1或x1＝e.
所以k＝1或.
法二：直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x相切，则存在x1，使得k＝，且ln x1＝kx1＋b，
消去x1，得－ln k＝1＋b.①
直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－2相切，则存在x2，使得k＝e，且e＝kx2＋b，
消去x2，得k＝k(ln k＋2)＋b.②
由①②得k＝kln k＋2k－ln k－1，即(k－1)(ln k＋1)＝0，解得k＝1或.]
23．[一题两空](2020·福州模拟)在实数集R中定义一种运算“*”，具有如下性质：
(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a；
(2)对任意a∈R，a*0＝a；
(3)对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－5c.
则对于函数f (x)＝x*(x＞0)，f ＝________，函数f (x)的最小值为________．
3 [令c＝0，得(a*b)*0＝0]1，x)＝1＋x＋，所以f ＝，由基本不等式知x＋≥2，则f (x)≥3，当且仅当x＝1时等号成立，故f (x)min＝3.]
1．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
B [∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0，1)，∴a
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
C [∵y＝xα，α∈(0，1)在(0，＋∞)上是增函数，
∴当a＞b＞1，0＜c＜1时，ac＞bc，选项A不正确．
∵y＝xα，α∈(－1，0)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当a＞b＞1，0＜c＜1，即－1＜c－1＜0时，
ac－1＜bc－1，即abc＞bac，选项B不正确．
∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，∴alg a＞blg b＞0，
∴＞.又∵0＜c＜1，∴lg c＜0.
∴＜，∴alogbc＜blogac，选项C正确．
同理可证logac＞logbc，选项D不正确．]
4．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
D [令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t＞1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝＞0，
∴2x＞3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝＜0，
∴2x＜5z，
∴3y＜2x＜5z.
故选D．]
5．(2020·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝x4－2x3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
B [法一：∵f (x)＝x4－2x3，∴f ′(x)＝4x3－6x2，∴f ′(1)＝－2，又f (1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B．
法二：∵f (x)＝x4－2x3，∴f ′(x)＝4x3－6x2，f ′(1)＝－2，∴切线的斜率为－2，排除C，D．又f (1)＝1－2＝－1，∴切线过点(1，－1)，排除A．故选B．]
6．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
A B
C D
D [∵f (－x)＝＝－＝－f (x)，∴f (x)为奇函数，排除A；∵f (π)＝＝＞0，∴排除C；∵f (1)＝，且sin 1＞cos 1，∴f (1)＞1，∴排除B．故选D．]
7．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为( )
B [因为f (x)＝，所以f (－x)＝＝－f (x)，且x∈[－6，6]，所以函数y＝为奇函数，排除C；当x＞0时，f (x)＝＞0恒成立，排除D；因为f (4)＝＝＝≈7.97，排除A．故选B．]
8．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x)＝的图象大致为( )
B [当x＜0时，因为ex－e－x＜0，所以此时f (x)＝＜0，故排除A、D；又f (1)＝e－＞2，故排除C，选B．]
9．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )
D [∵f (x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，
又f (2)＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B．
设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)＜0，g′(2)＞0，
∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，
∴f (x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C．故选D．]
10．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f (x)，则y＝f (x)的图象大致为( )
A B C D
B [当x∈时，f (x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C．
当x∈时，f ＝f ＝1＋，
f ＝2.∵2<1＋，
∴f
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
D [因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得]
12．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f (x)为奇函数，则曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
D [法一：因为函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D．
法二：因为函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D．
法三：易知f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f (x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D．]
13．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x)＝x3－，则f (x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
A [法一：函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，排除C，D．因为函数y＝x3，y＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以f (x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．
法二：函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，排除C，D．当x∈(0，＋∞)时，由f (x)＝x3－，得f ′(x)＝3x2＋>0，所以f (x)＝x3－在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．]
14．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
D [∵f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)．
∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.
故由－1≤f (x－2)≤1，得f (1)≤f (x－2)≤f (－1)．
又f (x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
故选D．]
15．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
B [因为f (－x)＝2－f (x)，所以f (－x)＋f (x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f (x)的图象关于点(0，1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0，1)对称．所以函数y＝与y＝f (x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0，1)对称，所以xi＝0，yi＝2×＝m，所以 (xi＋yi)＝m.]
16．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A．－ B．
C． D．1
C [法一：f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f (t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f (x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
故选C．
法二：f (x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f (x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f (x)的零点不唯一．
故选C．]
17．(2020·天津高考)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )
A．∪(2，＋∞)
B．∪(0，2)
C．(－∞，0)∪(0，2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D [由题意知函数g(x)＝f (x)－|kx2－2x|恰有4个零点等价于方程f (x)－|kx2－2x|＝0，即f (x)＝|kx2－2x|有4个不同的根，即函数y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点．
当k＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f (x)与y＝|2x|的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意．
图1
当k＜0时，y＝|kx2－2x|＝，其图象的对称轴为直线x＝＜0，直线x＝与y＝|kx2－2x|的图象的交点为，点在直线y＝－x上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象如图2所示，由图2易知函数y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个不同的公共点，满足题意．
图2
当k＞0时，函数y＝|kx2－2x|的图象与x轴的2个交点分别为原点(0，0)与，则当x＞时，由kx2－2x＝x3，得x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－8＝0，得k＝2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k2－8＞0，得k＞2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝f (x)与y＝|kx2－2x|的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k2－8＜0，得0＜k＜2，易知此时不满足题意．
图3 图4
综上可知，实数k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)，故选D．]
18．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f (x0)＜0，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
D [∵f (0)＝－1＋a<0，∴x0＝0.
又∵x0＝0是唯一的使f (x)<0的整数，
∴
即解得a≥.
又∵a＜1，∴≤a<1，经检验a＝，符合题意．故选D．]
19．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋1)＝2f (x)，且当x∈(0，1]时，f (x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f (x)≥－，则m的取值范围是( )
A． B． C． D．
B [当－1＜x≤0时，0＜x＋1≤1，则f (x)＝f (x＋1)＝(x＋1)x；当1＜x≤2时，0＜x－1≤1，则f (x)＝2f (x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2＜x≤3时，0＜x－2≤1，则f (x)＝2f (x－1)＝22f (x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得
f (x)＝由此作出函数f (x)的图象，如图所示．由图可知当2＜x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f (x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B．
]
20．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x)＝则满足f (x)＋f >1的x的取值范围是________．
[由题意知，可对不等式分x≤0，0
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
∴－＜x≤0.
当0
当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，x>－.]
21．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
3 [由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f (x)在[0，π]的零点个数为3.]
22．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x)是奇函数，且当x＜0时，f (x)＝－eax，若f (ln 2)＝8，则a＝____________.
－3 [当x>0时，－x＜0，f (－x)＝－e－ax.因为函数f (x)为奇函数，所以当x>0时，f (x)＝－f (－x)＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－aln 2＝＝8，所以a＝－3.]
23．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
y＝2x [设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.]
24．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________．
－ [因为f (x)＝2sin x＋sin 2x，
所以f ′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2 x＋2cos x－2＝4(cos x＋1)，
由f ′(x)≥0得≤cos x≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
由f ′(x)≤0得－1≤cos x≤，2kπ＋≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z，
所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f (x)取得最小值，
且f (x)min＝f ＝2sin＋sin 2＝－.]
1．[多选](2020·日照模拟)若函数f (x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f (x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是( )
AD [由题意知f (x)＝ax－2是指数函数，g(x)＝loga|x|是对数函数，且是一个偶函数．
当0＜a＜1时，f (x)＝ax－2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上递减，此时A选项符合题意；当a＞1时，f (x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意，故选AD．]
2．[多选](2020·济宁模拟)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝22－x B．y＝
C．y＝log D．y＝－x2＋2x＋a
BC [A中，y＝22－x，令t＝2－x，∵t＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，∴t∈(－∞，2)．
∵y＝2t在(－∞，2)上单调递增，∴y＝22－x在(0，＋∞)上单调递减．
B中，y＝＝1－，令t＝x＋1，∵t＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴t∈(1，＋∞)．
∵y＝1－在(1，＋∞)上单调递增，∴y＝在(0，＋∞)上单调递增．
C中，y＝log＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．
D中，y＝－x2＋2x＋a图象的对称轴为直线x＝1，所以函数在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故选BC．]
3．(2020·江西红色七校第一次联考)若a，b，c满足2a＝3，b＝log25，3c＝2，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
C [a＝log23∈(1，2)，b＝log25∈(2，3)，c＝log32∈(0，1)，故c＜a＜b.]
4．(2020·南昌模拟)已知正实数a，b，c满足：＝log2a，＝log2b，c＝logc，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
B [因为c＝logc，所以－c＝log2c.
又＝log2a，＝log2b，
所以a，b，c分别为y＝，y＝，y＝－x的图象与y＝log2x的图象交点的横坐标．
在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝，y＝－x与y＝log2x的图象，如图，由图可知c＜b＜a，故选B．
]
5．[多选](2020·威海模拟)已知函数f (x)＝则下列结论中正确的是( )
A．f (－2)＝4 B．若f (m)＝9，则m＝±3
C．f (x)是偶函数 D．f (x)在R上单调递减
AD [由于－2＜0，所以f (－2)＝(－2)2＝4，故A选项正确；
由f (m)＝9＞0知m≤0，且m2＝9，因此m＝－3，故B选项错误；
由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数，且在R上单调递减，故C选项错误，D选项正确．
综上，正确的结论是AD．]
6．(2020·南昌模拟)若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则( )
A．logab＞logbc＞logca B．logcb＞logba＞logac
C．logbc＞logab＞logca D．logba＞logcb＞logac
B [因为a＞b＞c＞1，所以logab＜logaa＝1，logbc＜logbb＝1，logca＞logcc＝1，排除选项A、C；
logab－logbc＝－＝，因为lg alg c＜＝＜＝(lg b)2，所以＞0，所以logab＞logbc，所以logcb＞logba，排除选项D．所以选B．]
7．(2020·惠州第二次调研)函数f (x)＝的图象大致是( )
A B
C D
B [法一：函数f (x)的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)．故排除A；
f (100)＝＞0，排除C；
f ＝＞0，排除D．
故选B．
法二：设g(x)＝x－ln x－1，则g(1)＝0，g′(x)＝1－，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
所以当x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝0.
所以f (x)＝的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)，且f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x)＞0，故选B．
法三：f (x)＝的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)，故排除A；
当x→0时，(x－ln x－1)→＋∞，f (x)→0，排除D；
当x→＋∞时，x－ln x－1＞0，所以f (x)＝＞0，排除C．
故选B．]
8．(2020·大同调研)函数f (x)＝2x－tan x在上的图象大致为( )
A B
C D
C [法一：因为f (－x)＝－2x－tan(－x)＝－2x＋tan x＝－f (x)，所以f (x)＝2x－tan x为奇函数，则其图象关于原点对称，故排除选项A，B；
因为f ′(x)＝2－＝，
所以当x∈时，f ′(x)＞0，
当x∈时，f ′(x)＜0，所以f (x)在上单调递增，
在上单调递减，故排除选项D．故选C．
法二：因为f (－x)＝－2x＋tan x＝－f (x)，所以f (x)＝2x－tan x为奇函数，
则其图象关于原点对称，故排除选项A，B；
因为f ′(x)＝2－，所以f ′(0)＝1，即f (x)的图象在原点处的切线的斜率为1，故排除选项D．故选C．]
9．(2020·西安模拟)若函数f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f (x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f (－2)＜f (－3)＜g(－1)
B．g(－1)＜f (－3)＜f (－2)
C．f (－2)＜g(－1)＜f (－3)
D．g(－1)＜f (－2)＜f (－3)
D [因为函数f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f (x)＋2g(x)＝ex ①，
所以f (－x)＋2g(－x)＝e－x，即f (x)－2g(x)＝e－x ②.
联立①②得
解得，
所以f (－2)＝，f (－3)＝，g(－1)＝＜0.
因为f (－3)－f (－2)＝－＝＞0，所以g(－1)＜f (－2)＜f (－3)，故选D．]
10．(2020·长春质量监测一)已知函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (2＋x)＋f (x)＝0，当x∈[－2，0]时，f (x)＝－x2－2x，则当x∈[4，6]时，y＝f (x)的最小值为( )
A．－8 B．－1 C．0 D．1
B [由f (2＋x)＋f (x)＝0，得f (4＋x)＋f (2＋x)＝0，以上两式相减，得f (x)＝f (4＋x)，所以函数f (x)是以4为周期的周期函数．
设x∈[0，2]，则－x∈[－2，0]，f (－x)＝－(－x)2－2(－x)＝－x2＋2x.
因为函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (x)＝－f (－x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1时，f (x)取得最小值－1.
由周期函数的性质知，当x∈[4，6]时，y＝f (x)的最小值也是－1，故选B．]
11．[多选](2020·潍坊模拟)已知f (x)是定义在[－10，10]上的奇函数，且f (x)＝f (4－x)，则函数f (x)的零点个数至少为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [∵f (x)是定义在[－10，10]上的奇函数，∴f (0)＝0，且f (x)的零点关于原点对称，∴零点个数为奇数，排除选项B，D．又f (x)＝f (4－x)，∴f (0)＝f (4)＝0，f (－4)＝－f (4)＝0，∴f (－4)＝f (4＋4)＝f (8)＝0，f (－8)＝－f (8)＝0，∴f (x)的零点至少为0，±4，±8，共5个，故选C．]
12．(2020·洛阳尖子生第一次联考)已知f (x)为偶函数，当x＞0时，f (x)＝ln x－3x，则曲线y＝f (x)在点(－1，－3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于( )
A．1 B． C． D．
C [当x＞0时，f ′(x)＝－3，因为f (x)是偶函数，所以f ′(x)是奇函数，故在(－1，－3)处切线的斜率k＝f ′(－1)＝－f ′(1)＝2，所以切线方程为y＋3＝2(x＋1)，该切线与x轴，y轴的交点分别为，(0，－1)，所以该切线与两坐标轴围成图形的面积等于××1＝，故选C．]
13．(2020·沈阳质量监测(一))已知函数f (x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝则函数g(x)＝f 2(x)－f (x)的零点个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
C [∵x∈(0，2]时，f (x)＝(x－1)2，x＞2时，f (x)＝f (x－2)＋1，∴将f (x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x)在(2，4]上的图象．同理可得到f (x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x)的图象关于y轴对称得到f (x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x)在其定义域内的图象，如图所示：
令g(x)＝0，得f (x)＝0或f (x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f (x)的图象共有6个交点，∴函数g(x)共有6个零点．故选C．]
14．(2020·长春质量监测一)已知函数f (x)＝(x2－2x)·ex－1，若当x＞1时，f (x)－mx＋1＋m≤0有解，则m的取值范围为( )
A．m≤1 B．m＜－1
C．m＞－1 D．m≥1
C [当x＞1时，不等式f (x)－mx＋1＋m≤0有解等价于f (x)≤m(x－1)－1有解．
由f (x)＝(x2－2x)ex－1，得f ′(x)＝(2x－2)ex－1＋(x2－2x)ex－1＝(x2－2)ex－1，当x＞时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增，当1＜x＜时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减，当x＝2时，f (x)＝0，当x＞2时，f (x)＞0，由此可作出函数y＝f (x)(x＞1)的图象，如图所示．
直线y＝m(x－1)－1恒过定点Q(1，－1)，Q(1，－1)在函数f (x)的图象上．
f ′(1)＝(12－2)e1－1＝－1，由图可知，若x＞1时，不等式f (x)－mx＋1＋m≤0有解，则m的取值范围是m＞－1，故选C．]
15．(2020·泰安模拟)已知函数f (x)＝，若对任意的实数a，b，总存在x0∈[－1，2]，使得f (x0)≥m成立，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．(－∞，1]
B [记y＝f (x)，x∈[－1，2]的最大值为M(a，b)，则由题意知，m≤M(a，b)对任意a，b∈R恒成立，所以m≤M(a，b)min.
依题意M(a，b)≥f (x)，x∈[－1，2]，分别令x＝－1，0，2，于是得到M(a，b)≥f (－1)＝|－3＋a－b|，M(a，b)≥f (0)＝|－1－b|，M(a，b)≥f (2)＝|－2a－b|，所以2M(a，b)＋3M(a，b)＋M(a，b)≥|－6＋2a－2b|＋|3＋3b|＋|－2a－b|≥|－6＋2a－2b＋3＋3b－2a－b|＝3，则M(a，b)≥，当且仅当－3＋a－b＝1＋b＝－2a－b时，即a＝1，b＝－时，等号成立，m≤M(a，b)min＝，选B．]
16．[多选](2020·日照模拟)已知实数m，n满足2m＞2n，则下列不等式恒成立的是( )
A．cos m＜cos n
B．若m＞0，n＞0，则logm＜logn
C．e3m＋2＞e3n＋2
D．若m＞0，n＞0，则＞
BCD [因为y＝2x为R上的增函数，所以m＞n.
因为函数y＝cos x在R上有增有减，所以A中的不等式不恒成立，A错误．
因为函数y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，所以当m＞0，n＞0，m＞n时，logm＜logn，故B正确．
因为y＝ex在R上单调递增，所以当m＞n时，e3m＋2＞e3n＋2，故C正确．
因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以当m＞0，n＞0，m＞n时，＞，故D正确．]
17．[多选](2020·枣庄模拟)设函数f (x)＝xln x，g(x)＝，则下列命题正确的是( )
A．不等式g(x)＞0的解集为
B．函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减
C．当x1＞x2＞0时，(x－x)＞f (x1)－f (x2)恒成立，则m≥1
D．若函数F(x)＝f (x)－ax2有两个极值点，则实数a∈(0，1)
AC [f (x)＝xln x的导函数为f ′(x)＝1＋ln x，则g(x)＝＝，g′(x)＝，对于A，g(x)＞0，即＞0，解得x＞，故A正确．
对于B，g′(x)＝，当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，g(x)在(0，1)上单调递增，故B错误．
对于C，(x－x)＞f (x1)－f (x2)可化为f (x2)－x＞f (x1)－x.
设φ(x)＝f (x)－x2，又x1＞x2＞0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴φ′(x)＝1＋ln x－mx≤0在(0，＋∞)上恒成立，即m≥在(0，＋∞)上恒成立．
又g(x)＝在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)在x＝1处取得最大值，g(1)＝1，∴m≥1，故C正确．
对于D，若函数F(x)＝f (x)－ax2有两个极值点，则f ′(x)＝1＋ln x－2ax有两个零点，即1＋ln x－2ax＝0有两个不等实根．
2a＝，又g(x)＝在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(1)＝1，x→＋∞时，g(x)→0，即2a∈(0，1)，a∈，故D错误．故选AC．]
18．[多选](2020·青岛模拟)已知函数f (x)＝x－a＋，其中a，b均为实数且a≤b，则下列说法中不正确的是( )
A．若ab＝－1，则f (x)为奇函数
B．若ab＝0，则f (x)为奇函数
C．若a＝b＝0，则方程f (f (x))＝2有一个实数根
D．若a＝b＝0，则方程f (f (x))＝t(t为实数)可能有两个不同的实数根
ABC [对于A，ab＝－1时，若b＝2，则a＝－，此时f (x)＝x＋＋＝(x－2)＋＋，f (x)的图象可由函数y＝x＋的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到，其图象不关于原点对称，所以A不正确．
对于B，b＝0，a＝－时，满足ab＝0，此时f (x)＝x＋＋＝x＋＋，f (x)的图象不关于原点对称，所以B不正确．
若a＝b＝0，则f (x)＝x＋，f (f (x))＝f (x)＋＝x＋＋＝x＋＋，求导后可知该函数在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，1)上单调递减，所以f (f (x))在x＝－1处取得极大值，为－，在x＝1处取得极小值，为.
作出f (f (x))的大致图象如图所示，结合图象知C错，D正确．
故选ABC．]
19．[多选](2020·烟台模拟)已知f (x)是定义域为R的函数，满足f (x＋1)＝f (x－3)，f (1＋x)＝f (3－x)，当0≤x≤2时，f (x)＝x2－x，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为4
B．f (x)的图象关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数f (x)的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数f (x)的最小值为－
ABC [由f (x＋1)＝f (x－3)得，f (x)＝f [(x－1)＋1]＝f [(x－1)－3]＝f (x－4)，故函数f (x)的周期为4，A正确；
由f (1＋x)＝f (3－x)可得f (2＋x)＝f (2－x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；
作出函数f (x)在[0，8]上的大致图象如图所示，
由图可知，当0≤x≤4时，函数f (x)的最大值为f (2)＝2，C正确；
当6≤x≤8时，函数f (x)的最小值为f ＝f ＝－，D错误．]
20．[多选](2020·临沂模拟)已知函数f (x)＝设f (x1)＝f (x2)＝f (x3)＝f (x4)，且x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是( )
A．x1x2＝1 B．x3＋x4＝1
C．0＜x1x2x3x4＜1 D．x1＋x2＋x3＋x4＜0
ACD [作出函数f (x)的大致图象如图所示，
由图可知x3＋x4＝2，x1x2＝1，所以A正确，B不正确；
结合二次函数的性质知x1x2x3x4＝x3x4＝x3(2－x3)∈(0，1)，所以C正确；
x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x2＋2＜－2＋2＝0，D正确．]
21．(2020·江西红色七校第一次联考)若函数f (x)＝x－－aln x在区间(1，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围为( )
A． B．
C．(0，＋∞) D．
D [法一：由题意知f ′(x)＝1－－＝，当x＞1时，令g(x)＝2x－，则g′(x)＝2－＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)＞1.
当2a≤1，即a≤时，f ′(x)＞0，所以函数f (x)单调递增，又f (1)＝0，所以f (x)在(1，＋∞)上无零点；
当2a＞1，即a＞时，存在x0∈(1，＋∞)，使得f ′(x0)＝0，所以当1＜x＜x0时，f ′(x)＜0，当x＞x0时，f ′(x)＞0，所以函数f (x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，所以f (x0)＜0，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，所以函数f (x)在区间(1，＋∞)上存在零点．
综上，a的取值范围为.
法二：当a＝10时，f (x)＝x－－10ln x，x＝e时，f (e)＜0，x＝100时，f (100)＞0，所以函数f (x)在(1，＋∞)上存在零点，所以A，B不正确；
当a＝时，f (x)＝x－－ln x，f ′(x)＝1－－，当x＞1时，f ′(x)＞0恒成立，函数f (x)单调递增，又f (1)＝0，所以a＝时，f (x)在(1，＋∞)上无零点，所以C不正确，故选D．]
22．(2020·西安模拟)已知函数f (x)＝，g(x)＝f (x)－ax，若g(x)有4个零点，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
B [当x＝0时，g(0)＝f (0)－0＝0，所以x＝0为函数g(x)的1个零点．
当x≠0时，令g(x)＝f (x)－ax＝0，得a＝
则直线y＝a与函数y＝h(x)＝的图象有3个不同的交点．
令φ(x)＝(x＞0)，则φ′(x)＝.
由φ′(x)＝0，得x＝e，所以函数φ(x)在(0，e)上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减，所以φ(x)在x＝e处取得最大值，所以φ(x)max＝.
又φ(1)＝0，x→＋∞时，φ(x)→0，所以可在同一直角坐标系中作出直线y＝a与函数y＝h(x)的大致图象，如图所示．
由图知若直线y＝a与函数y＝h(x)的图象有3个不同的交点，
则0＜a＜，故选B．]
23．(2020·南昌模拟)已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝0，f (0)＝，则f (10)＝________.
－ [因为函数f (x)是偶函数，所以f (2－x)＝－f (x)＝－f (－x)，所以f (x＋2)＝－f (x)＝f (2－x)＝f (x－2)，所以f (x＋4)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，则f (10)＝f (2)＝－f (0)＝－.]
24．(2020·成都模拟)已知f (x)是定义在上的奇函数，其导函数为f ′(x)，f ＝，且当x∈时，f ′(x)sin 2x＋2f (x)cos 2x＞0.则不等式f (x)sin 2x＜1的解集为________．
[设F(x)＝f (x)sin 2x，则F′(x)＝f ′(x)sin 2x＋2f (x)cos 2x.
因为f (x)是定义在上的奇函数，所以F(－x)＝f (－x)sin(－2x)＝F(x)，所以F(x)是定义在上的偶函数．
因为当x∈时，f ′(x)sin 2x＋2f (x)cos 2x＞0，所以F′(x)＞0，所以F(x)在上单调递增，又F(x)是上的偶函数，所以F(x)在上单调递减．
因为F＝f sin＝1，所以不等式f (x)sin 2x＜1等价于F(x)＜F，所以|x|＜，解得x∈.]
25．[一题两空](2020·淄博模拟)已知函数f (x)＝若函数f (x)在R上是单调的，则实数a的取值范围是________；若对任意的实数x1＜a，总存在实数x2≥a，使得f (x1)＋f (x2)＝0，则实数a的取值范围是________．
[2，＋∞) (－∞，－2] [令x2＝x＋2，解得x＝－1或x＝2.
作出函数y＝f (x)的图象如图所示，若函数f (x)在R上单调，只需a≥2.
若对任意的实数x1＜a，总存在实数x2≥a，使得f (x1)＝－f (x2)，则函数y＝x＋2在(－∞，a)上的值域是函数y＝－x2在[a，＋∞)上的值域的子集．
易知y＝x＋2在(－∞，a)上的值域为(－∞，a＋2)．
当a≤0时，函数y＝－x2在[a，＋∞)上的值域为(－∞，0]，则a＋2≤0，即a≤－2；
当a＞0时，函数y＝－x2在[a，＋∞)上的值域为(－∞，－a2]，
则a＋2≤－a2，无解．
综上，若对任意的实数x1＜a，总存在实数x2≥a，使得f (x1)＋f (x2)＝0，则实数a的取值范围是(－∞，－2]．]
1．已知a＝ln 3，b＝log310，c＝lg 3，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
B [1＝ln e＜a＝ln 3＜ln e2＝2，b＝log310＞log39＝2，0＝lg 1＜c＝lg 3＜lg 10＝1，所以c＜a＜b，故选B．]
2．已知a＞b＞0，且a＋b＝1，x＝，y＝logab，z＝logb，则x，y，z的大小关系是( )
A．x＞z＞y B．x＞y＞z
C．z＞y＞x D．z＞x＞y
A [法一：因为a＞b＞0，且a＋b＝1，所以0＜b＜＜a＜1，所以1＜＜，所以x＝＞＝1，y＝logab＝logab＝－1，z＝logb＞logb＝－logbb＝－1，且logb＜logb1＝0，所以x＞z＞y，故选A．
法二：由题意不妨令a＝，b＝，则x＝＞＝1，y＝log＝－1，z＝log＞log3＝－1，且z＝log＜log1＝0，所以x＞z＞y，故选A．]
3．直线x＝a(a＞0)分别与直线y＝2x＋1，曲线y＝x＋ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C． D．
B [根据题意，设f (x)＝2x＋1－x－ln x＝x＋1－ln x，则f ′(x)＝1－＝(x＞0)，所以函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x)min＝f (1)＝2－ln 1＝2，所以|AB|min＝2.]
4．函数f (x)＝的图象大致为( )
D [因为f (x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f (－x)＝f (x)，所以f (x)是偶函数，排除选项B，C．
当x＞0时，f (x)＝＝x－在(0，＋∞)上单调递增，排除选项A，故选D．]
5．若函数f (x)＝x2－kex在(0，＋∞)上单调递减，则k的取值范围为( )
A． B．
C． D．
C [因为f (x)＝x2－kex，所以f ′(x)＝2x－kex，又函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x)≤0恒成立，即k≥恒成立．
令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝，故函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，函数g(x)的最大值为g(1)＝，所以k≥，即k∈.故选C．]
6．函数f (x)＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( )
A B C D
A [法一：当x＞0时，ex＞1，则f (x)＜0；
当x＜0时，0＜ex＜1，则f (x)＜0.
所以f (x)的图象恒在x轴下方，故选A．
法二：依题意x≠0，f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)是偶函数，排除选项C，D．
当x＝1时，f (x)＝＜0，排除选项B，故选A．]
7．[多选]已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)·e－|x|(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则Aω的取值可能为( )
A．4π B．π C．3π D．2π
BC [由题图知，函数f (x)为偶函数，因为函数y＝e－|x|为偶函数，所以函数y＝sin(ωx＋φ)为偶函数，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．
因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以f (x)＝Asin·e－|x|＝Acos(ωx)·e－|x|.
由题图知即
所以
所以Aω＝(2k＋1)π(k∈Z)，故选BC．]
8．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)－f (－x)＝0，且当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
①f (x)的图象关于直线x＝1对称；②f (x)是周期函数，且2是其一个周期；③f ＜f ；④关于x的方程f (x)－t＝0(0＜t＜1)在区间(－2，7)上的所有实根之和是12.
A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③
A [由题意可知f (x)的图象关于直线x＝1对称，①正确；
因为f (x)是奇函数，所以f (x＋2)＝f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是f (x)的周期，故②错误；
由f (x)的周期性和对称性可得f ＝f ＝f ＝f ，又当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，所以f (x)在x∈[0，1]时单调递增，所以f ＜f ，即f ＞f ，③错误；
又x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，则可画出f (x)在区间[－2，8]上对应的函数，如图．
易得f (x)－t＝0(0＜t＜1)，即f (x)＝t(0＜t＜1)在区间(－2，7)上的根分别关于1，5对称，故零点之和为2×(1＋5)＝12，④正确．
故选A．]
9．函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且f (x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，若f (－2)＝1，则满足f (x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．[0，4]
D [依题意得，函数f (x)是偶函数，则f (x－2)≤1，即f (|x－2|)≤f (|－2|)．
由函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增得|x－2|≤2，即－2≤x－2≤2，0≤x≤4.
所以满足f (x－2)≤1的x的取值范围是[0，4]，选D．]
10．定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，若对任意实数x，都有f (x)＞f ′(x)，且f (x)＋2 019为奇函数，则不等式f (x)＋2 019ex＜0的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C． D．
B [令g(x)＝，因为f (x)＞f ′(x)，所以g′(x)＝＜0，所以g(x)在R上单调递减．
因为f (x)＋2 019是奇函数，所以f (0)＋2 019＝0，即f (0)＝－2 019，则g(0)＝－2 019.
不等式f (x)＋2 019ex＜0可转化为＜－2 019，即g(x)＜g(0)，又g(x)在R上单调递减，所以x＞0，则不等式f (x)＋2 019ex＜0的解集为(0，＋∞)，故选B．]
11．已知函数f (x)的图象在点(x0，f (x0))处的切线为l：y＝g(x)，若函数f (x)满足∀x∈I(其中I为函数f (x)的定义域)，当x≠x0时，[f (x)－g(x)](x－x0)＞0恒成立，则称x0为函数f (x)的“转折点”．已知函数f (x)＝ex－ax2－2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范围是( )
A．[0，e] B．[1，e]
C．[1，＋∞) D．(－∞，e]
B [根据定义，函数f (x)满足∀x∈I(其中I为函数f (x)的定义域)，当x≠x0时，[f (x)－g(x)](x－x0)＞0恒成立，f ′(x)＝ex－ax－2.
令h(x)＝ex－ax－2，则h′(x)＝ex－a，令h′(x)＝ex－a＝0，则其解就是“转折点”，故ex＝a，x＝ln a，x∈[0，1]，则0≤ln a≤1，解得1≤a≤e，选B．]
12．[多选]已知x，y均大于0，ex＋x＝ey＋2y，则下列结论正确的是( )
A．log3x＜log3y B．x－＜y－
C．sin x＞sin y D．＜
BD [因为x，y均大于0，所以ex＋x＝ey＋2y＝ey＋y＋y＞ey＋y.
易知函数m＝en＋n在(0，＋∞)上单调递增，故x＞y.
根据对数函数的性质得log3x＞log3y，选项A错误．
因为x＞y＞0，函数m＝n在(0，＋∞)上单调递减，所以x＜y，选项B正确．函数m＝sin n在(0，＋∞)上的单调性不确定，因此sin x＞sin y不一定成立，选项C错误．因为x＞y＞0，所以x2＞y2，所以＜，选项D正确．]
13．[多选]已知a＞b＞0，则下列不等式中正确的是( )
A．a2＞ab＞b2 B．a＋ln a＞b＋ln b
C．＋2a＜＋2b D．＋a2＞＋b2
ABD [选项A，因为a＞b＞0，所以由不等式的性质可得a2＞ab，ab＞b2，所以a2＞ab＞b2.故该选项正确．
选项B，因为a＞b＞0，函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln a＞ln b，所以a＋ln a＞b＋ln b．故该选项正确．
选项C，因为a＞b＞0，函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以＞＞0.易知2a＞2b，所以＋2a＞＋2b.故该选项不正确．
选项D，因为函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，且a＞b＞0，所以a2＞b2，且＞.由不等式的性质可得＋a2＞＋b2.故该选项正确．]
14．[多选]若函数f (x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f (x1)＋f (x2)＞2f ，则称函数f (x)具有H性质．下列函数具有H性质的是( )
A．f (x)＝ B．f (x)＝ln x
C．f (x)＝x2(x≥0) D．f (x)＝tan x
ACD [若对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，均有f (x1)＋f (x2)＞2f ，则点(x1，f (x1))，(x2，f (x2))所连线段的中点在点的上方，作出示意图如图所示其中a＝，b＝f .
根据函数f (x)＝，f (x)＝ln x，f (x)＝x2(x≥0)，f (x)＝tan x的图象可知，函数f (x)＝，f (x)＝x2(x≥0)，f (x)＝tan x具有H性质，函数f (x)＝ln x不具有H性质，故选ACD．]
15．关于函数f (x)＝＋ln x，有下列几个命题：①x＝2是f (x)的极大值点；②函数y＝f (x)－x有且只有1个零点；③存在正实数k，使得f (x)＞kx恒成立；④对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2，若f (x1)＝f (x2)，则x1＋x2＞4.其中正确的命题有( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
C [f ′(x)＝，当0＜x＜2时，f ′(x)＜0；
当x＞2时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，x＝2是f (x)的极小值点，故①错误．
根据函数f (x)的单调性及极值点，作出函数f (x)的大致图象，如图所示，作出直线y＝x，易知直线y＝x与f (x)的图象有且只有1个交点，即函数y＝f (x)－x有且只有1个零点，故②正确．
若f (x)＞kx，则k＜＋，令g(x)＝＋，则g′(x)＝，令F(x)＝－4＋x－xln x，则F′(x)＝－ln x，所以F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，F(x)≤F(1)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，g(x)无最小值，不存在正实数k，使得f (x)＞kx恒成立，故③错误．
由x1＞x2，f (x1)＝f (x2)可知x1＞2，0＜x2＜2，要证x1＋x2＞4，即证x1＞4－x2，且x1＞4－x2＞2，f (x)在(2，＋∞)上单调递增，即证f (x1)＞f (4－x2)，又f (x1)＝f (x2)，所以证f (x2)＞f (4－x2)，即证f (x)＞f (4－x) ，x∈(0，2)．
令h(x)＝f (x)－f (4－x)＝ln x－ln(4－x)＋－，x∈(0，2)，则h′(x)＝＜0，所以h(x)在(0，2)上单调递减，所以h(x)＞0，所以x1＋x2＞4，故④正确．故选C．]
16．[多选]设函数f (x)＝，则下列选项正确的是( )
A．f (x)为奇函数
B．f (x)的图象关于点(0，1)对称
C．f (x)的最大值为＋1
D．f (x)的最小值为－＋1
BCD [f (x)＝＋1，不满足f (x)＝－f (x)，故A错误．
令g(x)＝，则g(－x)＝＝＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，则f (x)的图象关于点(0，1)对称，B正确．
设f (x)＝＋1的最大值为M，则g(x)的最大值为M－1.设f (x)＝＋1的最小值为N，则g(x)的最小值为N－1.
当x＞0时，g(x)＝，∴g′(x)＝.
当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，∴当x∈(0，1)时，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g(x)单调递减，∴g(x)在x＝1处取得最大值，最大值g(1)＝，由于g(x)为奇函数，∴g(x)在x＝－1处取得最小值，最小值g(－1)＝－，∴f (x)的最大值为M＝＋1，最小值为N＝－＋1，故C，D正确，故选BCD．]
17．[多选]如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f (x)，则下列说法正确的是( )
A．函数y＝f (x)是偶函数
B．对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝f (x－2)
C．函数y＝f (x)在区间[2，3]上单调递减
D．函数y＝f (x)的值域是[0，1]
AB [当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A(即(－1，0))为圆心，1 为半径的圆；
当－1＜x≤1时，P的轨迹是以B(即(0，0))为圆心，为半径的圆；
当1＜x≤2时，P的轨迹是以C(即(1，0))为圆心，1为半径的圆；
当2＜x≤3时，P的轨迹是以A(即(3，0))为圆心，1为半径的圆．
所以函数f (x)的周期为4，图象如图所示，根据图象的对称性可知y＝f (x)是偶函数，所以A正确；因为f (x)的周期为4，所以B正确；
函数f (x)在[2，3]上单调递增，所以C不正确；函数f (x)的值域为[0，]，所以D不正确．]
18. 若关于x的不等式xln x－kx＋2k＋1＞0在(2，＋∞)上恒成立，则满足条件的整数k的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A [当x∈(2，＋∞)时，不等式xln x－kx＋2k＋1＞0恒成立等价于k＜恒成立，令f (x)＝(x＞2)，则f ′(x)＝，令g(x)＝x－2ln x－3(x＞2)，则g′(x)＝1－，函数g(x)在(2，＋∞)上单调递增．
又g(e)＝e－5＜0，g(e2)＝e2－7＞0，所以在(e，e2)上存在x0，使g(x0)＝0，即x0－2ln x0－3＝0，且1＜ln x0＜2，所以x0＝2ln x0＋3，且2＜ln x0＋1＜3.
易知当x∈(2，x0)时，g(x)＜0，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增，所以f (x)min＝f (x0)＝＝ln x0＋1∈(2，3)，则满足条件的整数k的最大值为2，故选A．]
19．已知函数f (x)＝－a.若f (x)没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．[0，e) B．(0，1)
C．(0，e) D．[0，1)
A [因为f (x)没有零点，所以关于x的方程f (x)＝0，即a＝无实数解．
令g(x)＝，h(x)＝a，则函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象无公共点．
g′(x)＝，令g′(x)＝0，则x＝1，当x＜0时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，且g(x)＜0；
当0＜x＜1时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减；
当x＞1时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增．
所以函数g(x)有极小值g(1)＝e，作出g(x)的图象如图所示，结合图象可得0≤a＜e，选A．]
20．函数f (x)＝(x2－ax)ex－ax＋a2(e为自然对数的底数，a∈R，a为常数)有三个不同的零点，则a的取值范围是( )
A． B．(－∞，0)
C． D．(0，＋∞)
A [因为f (x)有三个不同的零点，所以f (x)＝0有三个不同的解．
f (x)＝(x2－ax)ex－ax＋a2＝(x－a)(xex－a)，令f (x)＝0，则x＝a或xex＝a，所以xex＝a有两个不为a的解，可知a≠0，所以y＝xex与y＝a的图象有两个不同的交点，令g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
故x＝－1时，g(x)取得最小值，g(x)的最小值为－.
当x→－∞时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，作出g(x)＝xex及y＝a的图象，如图所示．
结合图象，可知a∈.]
21．[多选]设函数f (x)＝若函数g(x)＝[f (x)]2＋bf (x)＋c有三个零点x1，x2，x3，则下列说法正确的是( )
A．b的值为－2 B．c的值为1
C．a的值无法确定 D．x1x2＋x2x3＋x1x3＝10
ABC [作出函数f (x)的大致图象如图所示，
由图可得关于x的方程f (x)＝t的根有两个或三个(t＝1时有三个，t≠1时有两个)，所以关于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有一个根t＝1(若有两个根，则关于x的方程[f (x)]2＋bf (x)＋c＝0有四个或五个根)，由根与系数的关系得－b＝1＋1，c＝1×1＝1，得b＝－2，所以A，B正确；不妨设x1＜x2＜x3，令f (x)＝1，可得x1，x2，x3的值分别为1，2，3，则x1x2＋x2x3＋x1x3＝1×2＋2×3＋1×3＝11，由loga|1－2|＋1＝1，得a0＝1(a＞1)，故a的值无法确定，所以C正确，D错误．故选ABC．]
22．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex－2的切线，则k＝________.
1或 [法一：设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)，则曲线y＝ln x在点(x1，ln x1)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x－1＋ln x1.①
设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－2相切于点(x2，e)，则曲线y＝ex－2在点(x2，e)处的切线方程为y－e＝e (x－x2)，即y＝ex＋(1－x2)e.②
由题意知①②表示同一直线，所以＝e，且－1＋ln x1＝(1－x2)e.
所以－1＋ln x1＝＝＝，解得x1＝1或x1＝e.
所以k＝1或.
法二：直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x相切，则存在x1，使得k＝，且ln x1＝kx1＋b，
消去x1，得－ln k＝1＋b.①
直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－2相切，则存在x2，使得k＝e，且e＝kx2＋b，
消去x2，得k＝k(ln k＋2)＋b.②
由①②得k＝kln k＋2k－ln k－1，即(k－1)(ln k＋1)＝0，解得k＝1或.]
23．[一题两空](2020·福州模拟)在实数集R中定义一种运算“*”，具有如下性质：
(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a；
(2)对任意a∈R，a*0＝a；
(3)对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－5c.
则对于函数f (x)＝x*(x＞0)，f ＝________，函数f (x)的最小值为________．
3 [令c＝0，得(a*b)*0＝0]1，x)＝1＋x＋，所以f ＝，由基本不等式知x＋≥2，则f (x)≥3，当且仅当x＝1时等号成立，故f (x)min＝3.]
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