2021届二轮复习 平面向量与复数 课时作业（全国通用） 练习

第3讲 平面向量与复数
专题强化训练
1．(2020·绍兴诸暨北京朝阳期末二模)已知复数z满足z(1＋i)＝2i，则z的共轭复数等于(　　)
A．1＋i　　　　　　　　　 B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选B.由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝1＋i，
则z的共轭复数＝1－i.故选B.
2．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选B.因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，
所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故选B.
3．(2020·嘉兴一中北京朝阳期末模拟)复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，则复数||＝(　　)
A. B.2
C. D.
解析：选D.复数z满足z·(2－i)＝3－4i(其中i为虚数单位)，所以z·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z＝10－5i，可得z＝2－i.则复数||＝＝＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝＝.故选D.
4.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，则·＝(　　)
A．－ B．
C．－4 D．－2
解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，以A为坐标原点，AB，AD为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，F(1，2)．所以＝(2，－1)，＝(－1，2)，所以·＝－4.
5．(2020·台州市书生中学检测)已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零实数x、y，使得＝x＋y，且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.设线段AC的中点为点D，则直线OD⊥AC.因为＝x＋y，所以＝x＋2y.又因为x＋2y＝1，所以点O、B、D三点共线，即点B在线段AC的中垂线上，则AB＝BC＝3.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝.故选A.
6．在△ABC中，AB＝，BC＝2，∠A＝，如果不等式|－t|≥||恒成立，则实数t的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C．∪[1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选C.在直角三角形ABC中，易知AC＝1，cos∠ABC＝，由|－t|≥||，得2－2t·＋t22≥2，即2t2－3t＋1≥0，解得t≥1或t≤.
7．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)
A．a⊥b B．b⊥(a－b)
C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
解析：选B.由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)．
8．(2020·温州市北京朝阳期末模拟)记max{a，b}＝，已知向量a，b，c 满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c＝λa＋μb(λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c·a，c·b}取最小值时，|c|＝(　　)
A. B.
C.1 D.
解析：选A.如图，
设＝a，OB＝b，则a＝(1，0)，b＝(0，2)，
因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1.
又c＝λa＋μb，
所以c·a＝(λa＋b－λb)·a＝λ；
c·b＝(λa＋b－λb)·b＝4－4λ.
由λ＝4－4λ，得λ＝.
所以max{c·a，c·b}＝.
令f(λ)＝.
则f(λ)∈.
所以f(λ)min＝，此时λ＝，μ＝，
所以c＝a＋b＝.
所以|c|＝＝.故选A.
9．(2020·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝3，|c|＝2，b·c＝3，则(a－b)2(a－c)2－[(a－b)·(a－c)]2的最大值为(　　)
A．4＋3 B．4＋3
C．(4＋3)2 D．(4＋3)2
解析：选D.设＝a，＝b，＝c，a－b与a－c所成夹角为θ，
则(a－b)2(a－c)2－[(a－b)·(a－c)]2
＝|AB|2|AC|2－|AB|2|AC|2cos2θ
＝|AB|2|AC|2sin2θ＝|AB|2|AC|2sin2∠CAB＝4S，
因为|b|＝3，|c|＝2，b·c＝3，所以b，c的夹角为60°，
设B(3，0)，C(1，)，则|BC|＝，
所以S△OBC＝×3×2×sin 60°＝，设O到BC的距离为h，
则·BC·h＝S△OBC＝，
所以h＝，
因为|a|＝4，所以A点落在以O为圆心，以4为半径的圆上，
所以A到BC的距离最大值为4＋h＝4＋.
所以S△ABC的最大值为
××
＝2＋，
所以(a－b)2(a－c)2－[(a－b)·(a－c)]2最大值为4＝(4＋3)2.故选D.
10．(2020·金华市东阳二中高三月考)若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，则b与a－b的夹角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，
不妨设|a＋b|＝1，则|a|＝|b|＝λ.
令＝a，＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，
则平行四边形OACB为菱形．故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB＝∠OBA＝θ，且0