2021届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 课时作业（全国通用） 练习

第2讲 三角恒等变换与解三角形

专题强化训练

1．已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)

A．1　　　　　　　　　　　　 B．－1

C．   D．0

解析：选D.因为sin＝cos，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，即sin α＝－cos α，所以tan α＝＝－1，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.

2．(2020·北京朝阳期末济南高三期末)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

解析：选B.易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.

3．(2020·台州市北京朝阳期末一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acos C，sin C＝，则△ABC的面积为(　　)

A.   B.

C.或   D.或

解析：选C.因为2b－c＝2acos C，

所以由正弦定理可得2sin B－ sin C＝2sin Acos C，

所以2sin(A＋C)－sin C＝2sin Acos C，

所以2cos Asin C＝sin C，

所以cos A＝，所以A＝30°，

因为sin C＝，所以C＝60°或120°.

A＝30°，C＝60°，B＝90°，a＝1，所以△ABC的面积为×1×2×＝，A＝30°，C＝120°，B＝30°，a＝1，所以△ABC的面积为×1×1×＝，故选C.

4．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c＝(　　)

A．2   B．2

C．4   D．3

解析：选B.因为＝＝＝1，所以2cos C＝1，所以C＝.又S△ABC＝2，则absin C＝2，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.

5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)

A．8   B．4

C．2   D．1

解析：选C.因为m＝2sin 18°，

若m2＋n＝4，

则n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，

所以＝＝＝＝2.

6．(2020·杭州市高三期末检测)设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时(　　)

A．λ先变小再变大

B．当M为线段BC中点时，λ最大

C．λ先变大再变小

D．λ是一个定值

解析：选D.设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1，r2，

则2r1＝，2r2＝，

因为∠APB＋∠APC＝180°，

所以sin∠APB＝sin∠APC，

所以＝，

所以λ＝＝.故选D.

7．(2020·福州市综合质量检测)已知m＝，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m＝(　　)

A.   B.

C.   D.2

解析：选D.设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，

则2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B，

因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，

所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，

即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，

即2cos Asin B＝sin Acos B，

所以tan A＝2tan B，

所以m＝＝2，故选D.

8．(2020·咸阳二模)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝2c2，sin A(1－cos C)＝sin Bsin C，b＝6，AB边上的点M满足＝2，过点M的直线与射线CA，CB分别交于P，Q两点，则MP2＋MQ2的最小值是(　　)

A．36   B．37

C．38   D．39

解析：选A.由正弦定理，知＋＝2c2，即2＝2sin2C，所以sin C＝1，C＝，所以sin A(1－cos C)＝sin Bsin C，即sin A＝sin B，所以A＝B＝.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2，4)，设∠MPC＝θ，θ∈，则MP2＋MQ2＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝20＋4tan2θ＋≥36，当且仅当tan θ＝时等号成立，即MP2＋MQ2的最小值为36.

9．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________．

解析：由于2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x

＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1.

答案：　1

10．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________．

解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，

所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，

由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，

因为α∈，

所以cos α＋sin α＝0不满足条件；

由cos α－sin α＝，两边平方得1－sin 2α＝，

所以sin 2α＝.

答案：

11．(2020·金丽衢十二校联考二模)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acos B＝bcos A，4S＝2a2－c2，其中S是△ABC的面积，则C的大小为________．

解析：△ABC中，acos B＝bcos A，

所以sin Acos B＝sin Bcos A，

所以sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，

所以A＝B，所以a＝b；

又△ABC的面积为S＝absin C，

且4S＝2a2－c2，

所以2absin C＝2a2－c2＝a2＋b2－c2，

所以sin C＝＝cos C，

所以C＝.

答案：

12．(2020·绍兴市一中高三期末检测)△ABC中，D为线段BC的中点，AB＝2AC＝2，tan∠CAD＝sin∠BAC，则BC＝________．

解析：由正弦定理可知＝2，又tan∠CAD＝sin∠BAC，则＝sin(∠CAD＋∠BAD)，利用三角恒等变形可化为

cos∠BAC＝，据余弦定理BC＝

＝＝.

答案：

13．(2020·惠州第一次调研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________．

解析：由＝，得＝，所以c＝8cos A，因为16＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因为b∈(4，6)，所以32<c2<40，所以4<c<2.

答案：(4，2)

14．(2020·绍兴市一中期末检测)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acos C－c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝3，求△ABC的周长l的取值范围．

解：(1)由acos C－c＝b得：sin Acos C－sin C＝sin B，

又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，

所以sin C＝－cos Asin C，

因为sin C≠0，

所以cos A＝－，

又0＜A＜π，

所以A＝.

(2)由正弦定理得：b＝＝2sin B，c＝2sin C，

l＝a＋b＋c＝3＋2(sin B＋sin C)

＝3＋2[sin B＋sin(A＋B)]

＝3＋2

＝3＋2sin，

因为A＝，所以B∈，

所以B＋∈，

所以sin∈，

则△ABC的周长l的取值范围为(6，3＋2　]．

15．(2020·湖州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.

(1)求角A的值；

(2)求sin B－cos C的最大值．

解：(1)因为(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)

＝3sin Bsin C，

由正弦定理，得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，

所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由A＝，得B＋C＝，

所以sin B－cos C＝sin B－cos

＝sin B－＝sin.

因为0＜B＜，所以＜B＋＜，

当B＋＝，即B＝时，sin B－cos C的最大值为1.

16．(2020·宁波镇海中学模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝sin B，且满足tan A＋tan C＝.

(1)求角C和边c的大小；

(2)求△ABC面积的最大值．

解：(1)tan A＋tan C＝可得＋＝

＝＝＝，

所以cos C＝，

因为0＜C＜π，

所以C＝，

因为b＝sin B，

由正弦定理可得＝＝，

所以c＝.

(2)由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号．

所以S△ABC＝absin C＝ab≤×＝，

故△ABC面积的最大值为.

17．(2020·成都市第二次诊断性检测)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.

(1)求sin∠BCE的值；

(2)求CD的长．

解：(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝.

因为B＝，BE＝1，CE＝，

所以sin∠BCE＝＝＝.

(2)因为∠CED＝∠B＝，

所以∠DEA＝∠BCE，

所以cos∠DEA＝＝＝＝.

因为A＝，

所以△AED为直角三角形，又AE＝5，

所以ED＝＝＝2.

在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·

cos∠CED＝7＋28－2××2×＝49.

所以CD＝7.