2021届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 课时作业（全国通用） 练习
展开第2讲 三角恒等变换与解三角形
限时50分钟 满分76分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2020·河北省六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( )
A. B.
C. D.
解析：B [∵α∈(0，π)，tan α＝2，∴α在第一象限，cos α＝，cos 2α＋cos α＝2cos2α－1＋cos α＝2×2－1＋＝－＋＝，选B.]
2．(2020·日照模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
解析：C [∵sin 2α＝cos＝2cos2－1＝，∴cos2＝.]
3．(组合型选择题)下列式子的运算结果为的是( )
①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；
②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；
③； ④.
A．①②④ B．③④
C．①②③ D．②③④
解析：C [对于①，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝；
对于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝；
对于③，＝＝tan 60°＝；
对于④，＝×＝×tan＝.
综上，式子的运算结果为的是①②③.故选C.]
4．(2020·沈阳质检)已知△ABC的内角分别为A，B，C，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边的高为( )
A. B.
C. D.
解析：B [由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得7＝AB2＋4－4ABcos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，则BC边上的高为ABsin 60°＝，故选B.]
5．(2020·广西南宁、玉林、贵港等市摸底)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，C＝，sin B＝2sin A，则△ABC的周长是( )
A．3 B．2＋
C．3＋ D．4＋
解析：C [在△ABC中，sin B＝2sin A，∴由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝，∴a＝1，b＝2.∴△ABC的周长是a＋b＋c＝1＋2＋＝3＋.故选C.]
6.
(2020·保定二模)已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B处后再次观察帐篷C，D，此时C，D分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C，D之间的距离为( )
A．10米 B．10米
C．5米 D．5米
解析：C [由题意可得∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∠DBA＝30°，在△ABD中，∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，AB＝30，所以∠ADB＝90°，sin∠DAB＝sin 60°＝，解得BD＝15.在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝60°，＝，解得BC＝10.在△BCD中，∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝45°，则由余弦定理得cos∠CBD＝cos 45°＝，即＝，得CD＝5.故选C.]
二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
7．(2020·沈阳质检省质量检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝1－，且b＝5，·＝5，则△ABC的面积是________．
解析：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝1－，
所以＝1－，化简可得：b2＝a2＋bc－c2，可得cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝.
又b＝5，·＝5，∴bccos A＝5，∴bc＝10.
S＝·bcsin A＝×10×＝.
答案：
8．(2020·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
解析：解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征．
在ΔABD中，有：＝，而AB＝4，∠ADB＝，AC＝＝5，sin∠BAC＝＝，cos∠BAC＝＝，所以BD＝.
cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC)＝coscos∠BAC＋sinsin∠BAC＝.
答案：，
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
9．(2020·卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；
(2)若＝，求sin的值．
解：(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，
由余弦定理，得cos B＝，
得＝，即c2＝.所以c＝.
(2)因为＝，
由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B.
从而cos2 B＝(2sin B)2，即cos2 B＝4(1－cos2 B)，故cos2 B＝.
因为sin B＞0，所以cos B＝2sin B＞0，从而cos B＝.
因此sin＝cos B＝.
10．(2020·辽宁三市调研)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，即sin Acos B＝sin A.
因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得
6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
即△ABC面积的最大值为.
11.
(2020·广东六校联考)某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝ km.
(1)求道路BE的长度．
(2)求生活区△ABE面积的最大值．
解析：
(1)如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝，所以BD＝，因为BC＝CD，所以∠CDB＝∠CBD＝＝，又∠CDE＝，所以∠BDE＝.
在Rt△BDE中，BE＝＝.
(2)设∠ABE＝α，因为∠BAE＝，
所以∠AEB＝－α.在△ABE中，由正弦定理，得
＝＝＝＝，
所以AB＝sin，AE＝sin α.
所以S△ABE＝|AB||AE|sin
＝
＝≤＝，
因为0＜α＜，所以当2α－＝，即α＝时，S△ABE取得最大值为，即生活区△ABE面积的最大值为.
