2021届二轮复习 解三角形的综合问题文 作业（全国通用）
展开专题过关检测（十二） 解三角形的综合问题
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2－2cos 2C＝7.
(1)求tan C的值；
(2)若c＝，sin B＝2sin A，求a，b的值．
解：(1)在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，
所以＝－，则sin＝cos.
由8sin2－2cos 2C＝7，得8cos2－2cos 2C＝7，
所以4(1＋cos C)－2(2cos2C－1)＝7，
即(2cos C－1)2＝0，所以cos C＝.
因为0＜C＜π，所以C＝，
于是tan C＝tan＝.
(2)由sin B＝2sin A，得b＝2a.①
又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，
即a2＋b2－ab＝3.②
联立①②，解得a＝1，b＝2.
2．(2020·济南高三期末)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB<90°，
所以cos ∠ADB＝ ＝.
(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25，
所以BC＝5.
3．(2020·长春质监)如图，在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，cos∠ACB＝.
(1)求AC的长；
(2)作CD⊥BC，连接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面积．
解：(1)因为cos∠ACB＝，所以sin∠ACB＝，
由正弦定理得AC＝sin∠ABC＝2.
(2)因为CD⊥BC，所以∠ACD＝90°－∠ACB，
所以cos∠ACD＝sin∠ACB＝.
设AD＝2m，则CD＝3m.
由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD·cos∠ACD，即4m2＝4＋9m2－2×2×3m×，解得m＝1或m＝.
当m＝1时，CD＝3，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.
当m＝时，CD＝，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.
综上，△ACD的面积为或.
4．设函数f(x)＝sin x(cos x＋sin x)－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若f(B)＝1，b＝2，且b(2－cos A)＝a(cos B＋1)，求△ABC的面积．
解：(1)由已知得，f(x)＝sin 2x＋－＝sin 2x－cos 2x＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(B)＝1，所以sin＝1，
因为B是三角形的内角，
所以2B－＝，B＝，
又因为b(2－cos A)＝a(cos B＋1)，
由正弦定理得sin B(2－cos A)＝sin A(cos B＋1)，
所以2sin B＝sin A＋sin Acos B＋cos Asin B
＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋sin C，
所以2b＝a＋c，
因为b＝2，B＝，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－ac⇒b2＝(a＋c)2－3ac⇒ac＝b2＝4.
所以S＝acsin B＝×4×sin ＝，
故△ABC的面积为.
5．(2020届高三·石家庄摸底)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C.
(1)求C；
(2)若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．
解：(1)因为asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C，
所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.
由余弦定理得cos C＝＝－，
又0<C<π，所以C＝.
(2)由(1)知C＝，
根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋(2)2－2×2×2×＝20，
所以c＝2.
由正弦定理＝，得＝，
解得sin B＝，从而cos B＝.
设BC的中垂线交BC于点E，
因为在Rt△BDE中，cos B＝，
所以BD＝＝＝，
因为点D在线段BC的中垂线上，所以CD＝BD＝.
6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝accos B.
(1)若c＝2a，求角A，B，C的大小；
(2)若a＝2，且≤A≤，求边c的取值范围．
解：由已知及三角形面积公式得
S＝acsin B＝accos B，化简得sin B＝cos B，
即tan B＝，又0<B<π，∴B＝.
(1)法一：由c＝2a及正弦定理得，sin C＝2sin A，
又∵A＋C＝，∴sin＝2sin A，
化简可得tan A＝，而0<A<，
∴A＝，C＝.
法二：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝3a2，∴b＝a，
∴a∶b∶c＝1∶∶2，∴A＝，C＝.
(2)由正弦定理得，＝＝，
即c＝＝，
由C＝－A，得
c＝＝
＝＝＋1.
又由≤A≤，知1≤tan A≤，
∴2≤c≤＋1，故边c的取值范围为[2，＋1]．
