2021届二轮复习 5 三角恒等变换与解三角形 作业 练习
展开课时作业5 三角恒等变换与解三角形
[A·基础达标]
1．已知cos＝－，则cos 2α的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
2．满足条件a＝4，b＝3，A＝45°的三角形的个数是( )
A．1 B．2
C．无数个 D．不存在
3．已知△ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边为a、b、c，若a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
4．已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，则sin β的值为( )
A. B.
C. D.
5.
如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，发现A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测得B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为( )
A．20海里 B．40海里
C．20(1＋)海里 D．40海里
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝2，A＝，则△ABC的面积为________．
7．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
9．[2020·沈阳市教学质量监测]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A＝sin B，sin 2A＝sin A.
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求b，c.
10．[2020·全国卷Ⅱ]△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[B·素养提升]
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为( )
A．(0,4) B．[2,4)
C．[1,4) D．(2,4]
2．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为( )
A. B.
C. D．3
3．[2020·海南模拟]
顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观．如图，△ABC是黄金三角形，AB＝AC，作∠ABC的平分线交AC于点D，易知△BCD也是黄金三角形．若BC＝1，则AB＝________；借助黄金三角形可计算sin 234°＝________.
4．[2020·合肥第一次教学检测]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝________，sin C的最大值为________．
5．[2020·江苏卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.
(1)求sin C的值；
(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值．
6.
如图，我国海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东14海里处．
(1)求此时该外国船只与D岛的距离；
(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．
(参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8)
课时作业5 三角恒等变换与解三角形
[A·基础达标]
1．解析：因为cos＝－，所以sin α＝，则cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.
答案：B
2．解析：由正弦定理得sin B＝＝，∵＜＜，∴45°＜B＜60°或120°＜B＜135°，均满足A＋B＜180°，∴B有两解，满足条件的三角形的个数是2，故选B.
答案：B
3．解析：∵内角A、B、C成等差数列，
∴A＋C＝2B.
又A＋B＋C＝π.∴B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac.
又b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
∴a＝c，
又B＝，∴△ABC为等边三角形；选B.
答案：B
4．解析：∵α是锐角，β是锐角，cos α＝，sin(α－β)＝－，∴sin α＝，cos(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝×－×＝.故选A.
答案：A
5．解析：连接AB.(图略)由题意可知CD＝40海里，∠ADB＝60°，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°.
在△ACD中，由正弦定理，得＝，
∴AD＝20(海里)，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴BD＝CD＝×40＝40(海里)．
在△ABD中，由余弦定理，得AB＝
＝20(海里)．
答案：A
6．解析：由正弦定理得sin B＝＝＝，∵b＜a，∴B＜A，∴cos B＝，∴sin C＝sin(A＋B)＝，∴△ABC的面积为absin C＝.
答案：
7．解析：∵＝＝3，
∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－＝.
答案：
8．解析：因为2bcos B＝acos C＋ccos A，所以由正弦定理得
2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
因为sin B≠0，
所以cos B＝，B∈(0，π)，所以B＝.
答案：
9．解析：(1)∵bsin A＝sin B，及＝，
∴ab＝b，∴a＝.
∵sin 2A＝sin A，∴2sin Acos A＝sin A，
又sin A>0，∴cos A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b2＋c2－bc＝7，
将b＝c＋2，代入b2＋c2－bc＝7，得c2＋2c－3＝0，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，
∴b＝c＋2＝3.
10．解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．②
由①②得cos A＝－.因为0<A<π，所以A＝.
(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.
又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.
[B·素养提升]
1．解析：在△ABC中，由三角函数的定义知acos B＋bcos A＝c，结合正弦定理和已知，得＝，即a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理，得cos C＝＝，则C＝60°.所以c2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－3×2＝＝4，所以c≥2.又c<a＋b＝4，所以c的取值范围是[2,4)，故选B.
答案：B
2．解析：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵·＝|－|＝3，
∴bccos A＝a＝3.
又cos A＝≥1－＝1－，
∴cos A≥，
∴0<sin A≤，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝tan A≤×＝，故△ABC面积的最大值为.
答案：B
3．解析：由题意，得∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36°，∠C＝∠BDC＝72°，所以△ABC∽△BCD，所以＝，且AD＝BD＝BC＝1.设AB＝AC＝x，则CD＝x－1，所以＝，解得x＝(负值已舍去)．因为sin 234°＝sin(180°＋54°)＝－sin 54°＝－cos 36°.在△ABC中，根据余弦定理，得cos 36°＝＝，所以sin 234°＝－.
答案： －
4．解析：由题意结合正弦定理知abcos C＝c2，即cos C＝，又cos C＝，所以a2＋b2－c2＝2c2，得a2＋b2＝3c2，即＝3.故cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，又cos2C＋sin2C＝1，所以sin2C＝1－cos2C≤，sin C≤.
答案：3
5．解析：(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝9＋2－2×3×cos 45°＝5，
所以b＝.
在△ABC中，由正弦定理＝，
得＝，
所以sin C＝.
(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，所以∠ADC为钝角，
而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角．
故cos C＝＝，则tan C＝＝.
因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，
tan∠ADC＝＝－.
从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－＝－＝.
6．解析：(1)依题意，在△ABD中，∠DAB＝45°，由余弦定理得DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos 45°
＝(14)2＋162－2×14×16×＝200，
所以DB＝10，
即此时刻外国船只与D岛的距离为10海里．
(2)过点B作BC⊥AD于点C，在Rt△ABC中，AC＝BC＝8，
所以CD＝AD－AC＝6，以D为圆心，12为半径的圆交BC于点E，连接AE，DE，在Rt△DEC中，CE＝＝6，
所以BE＝2，
又AE＝＝10，
所以sin∠EAC＝＝⇒∠EAC≈36°52′，
外国船只到达点E的时间t＝＝(小时)，
所以海监船的速度v≥＝20(海里/小时)，
故海监船的航向为北偏东90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为20海里/小时．
