2021届二轮复习 平面向量文 作业（全国通用） 练习

专题过关检测（二）  平面向量

1．(2020·乌鲁木齐第一次诊断)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)

A．4　　　　　　　　　 B．3

C．2  D．0

解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.

∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.

2．已知在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，则点C的坐标为(　　)

A．(11,8)  B．(3,2)

C．(－11，－6)  D．(－3,0)

解析：选C　设C(x，y)，∵在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，∴＝＋＝(－11，－7)，∴解得x＝－11，y＝－6，故C(－11，－6)．

3．(2020届高三·广州调研)已知△ABC的边BC上有一点D满足＝4，则可表示为(　　)

A．＝＋   B．＝＋

C．＝＋   D．＝＋

解析：选D　因为＝4，所以＝，故＝＋＝－＝－(－)＝＋，故选D.

4．(2020·广州检测)a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)

A．－  B．－

C.   D.

解析：选B　设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2,4)－(2x,2y)＝(2－2x,4－2y)＝(0,8)，所以解得故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.

5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD为(　　)

A．矩形  B．菱形

C．直角梯形  D．等腰梯形

解析：选B　因为＝即一组对边平行且相等，

·＝0即对角线互相垂直，所以该四边形ABCD为菱形．

6．若向量＝(1,2)，＝(4,5)，且·(λ＋)＝0，则实数λ的值为(　　)

A．3  B．－

C．－3  D．－

解析：选C　∵向量＝(1,2)， ＝(4,5)，

∴＝＋＝－＝(3,3)，

λ＋＝(λ＋4,2λ＋5)．

又·(λ＋)＝0，

∴3(λ＋4)＋3(2λ＋5)＝0，解得λ＝－3.

7．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为(　　)

A．－  B．－3

C.  D．3

解析：选C　因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝.

8．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，若＝a，＝b，则向量＝(　　)

A.a＋b  B．－a－b

C．－a＋b   D.a－b

解析：选C　＝＋＝－＝－(＋)＝－a＋b.

9．若非零向量a，b满足a⊥(2a＋b)，且a与b的夹角为，则＝(　　)

A.  B.

C.  D．2

解析：选B　∵a⊥(2a＋b)，且a与b的夹角为，

∴a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2|a|2－|a||b|＝0.

又|a|≠0，|b|≠0，∴2|a|＝|b|，

∴＝，故选B.

10．(2020·济南高三期末)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)

A.－    B.－

C.＋    D.＋

解析：选A　法一：作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.

法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.故＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,0)－＝，即＝－.

11．(2020届高三·安徽五校联考)已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)

A.  B．3

C．1  D．2

解析：选C　由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||cos ∠BAC＝||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||·sin ∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C.

12．在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　设BC的中点为D，

因为点G是△ABC的重心，

所以＝＝×(＋)＝(＋)，

再令||＝c，||＝b，

则·＝bccos 120°＝－3⇒b·c＝6，

所以||2＝(||2＋2·＋||2)＝(c2＋b2－6)≥(2bc－6)＝，所以||≥，当且仅当b＝c＝时取等号．故选B.

13．(2020·石家庄质检)已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3,2x)，若a⊥b，则|b＋c|＝________.

解析：∵a⊥b，a＝(x,2)，b＝(2,1)，∴2x＋2＝0，∴x＝－1，∴c＝(3，－2)，∴b＋c＝(5，－1)，∴|b＋c|＝.

答案：

14．已知向量a，b满足a＝(1，)，|b|＝1，|a＋b|＝，则a，b的夹角为________．

解析：由题意得|a|＝＝2，

因为|a＋b|＝，所以a2＋2a·b＋b2＝3，

设a，b的夹角为α，

则4＋1＋2×2×1×cos α＝3，

所以cos α＝－，所以α＝.

答案：

15．在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．

解析：如图，因为＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.

答案：

16．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．

解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(x,1)，Q(2，y)，

由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.

∵||＝||，

∴|x|＝|y|，∴x＝－y.

∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，

∴·＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，

∴当x＝时，·取得最小值，为.

答案：