2021年石景山区高三第一学期期末考试数学试题（Word版，含答案）
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数 学
本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（ 1 ）已知集合，，则
（A） （B） （C）{2,3} （D）
（ 2 ）复数
（A） （B） （C） （D）
（ 3 ）的展开式中的系数为
（A） 1 （B）5 （C）10 （D）15
（ 4 ）某三棱锥的三视图如图所示，
则该三棱锥的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（ 5 ）若抛物线上的点A到焦点的距离为10，则点A到y轴的距离是
（A） 6 （B）7 （C）8 （D）9
（ 6 ）“”是“函数为奇函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（ 7 ）直线与圆的位置关系是
（A） 相切 （B）相交 （C）相离 （D）不确定
（ 8 ）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前5项的和为
（A） （B） （C） （D）
（ 9 ）已知函数 则函数的零点个数是
（A） （B） （C） （D）
（10）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法
画出：如图，在黄金矩形（）中作正方形，以为圆心，
长为半径作圆弧；然后在矩形中作正方形，以为圆心，长 为半径作圆弧；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．
记圆弧，，的长度分别为，对于以下四个命题：
①
②
③
④
其中正确的是
（A） ①② （B）①④ （C）②③ （D）③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）函数的定义域为__________．
（12）已知平面向量，，且，则实数__________．
（13）已知双曲线的两个焦点为，一个顶点是，则的标准方程
为__________；的焦点到其渐近线的距离是__________．
（14）若函数的一个周期是，则常数的一个取值可以为__________．
（15）从4G到5G通信，网络速度提升了40倍．其中，香农公式是
被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最
大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高
斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．
根据香农公式，以下说法正确的是__________．（参考数据：）
①若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，则增加一倍；
②若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低
为原来的一半，则增加一倍；
③若不改变带宽，而将信噪比从255提升至1023，增加了；
④若不改变带宽，而将信噪比从999提升至4999，大约增加了．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）（本小题13分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，
分别为棱的中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
（17）（本小题13分）
在中，，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题14分）
在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
分数区间 | 频数 |
[50, 60） | 3 |
[60, 70） | 3 |
[70, 80） | 16 |
[80, 90） | 38 |
[90, 100] | 20 |
|
|
男生评分结果的频数分布表 | |
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数 | [50, 60） | [60, 70） | [70, 80） | [80, 90） | [90, 100] |
满意度情况 | 不满意 | 一般 | 比较满意 | 满意 | 非常满意 |
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50,70）的男生中随机抽取3人进行座谈，
记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．
（19）（本小题15分）
已知椭圆的离心率，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点和点，过点的动直线交椭圆于两点（在左侧），试讨论与的大小关系，并说明理由．
（20）（本小题15分）
设函数．
（Ⅰ）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；
（Ⅱ）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围．
（21）（本小题15分）
对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列．
（Ⅰ）数列为，数列为．判断数列，是否为数列， 并说明理由；
（Ⅱ）设数列是首项为的P数列，其前项和为（）．
求证：当时，；
（Ⅲ）设无穷数列是首项为a（a>0），公比为q的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，．
若．判断是否为数列，并说明理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
石景山区2020—2021学年第一学期高三期末
数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | D | B | C | D | A | B | B | C | A |
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
（11）； （12）； （13），；
（14）2；（答案不唯一） （15）①③④．
三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）在四棱锥中，
取的中点，连接、，
因为 是的中点，
所以 ，且.
又因为 底面是正方形，是的中点，
所以 ，且.
所以 .
所以 四边形是平行四边形.
所以 .
由于 平面，
平面，
所以 平面.
（II）因为 底面是正方形，所以 .
又因为 平面.
所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，
如图建立空间直角坐标系.
，，,，,.
设平面的法向量为.
有：即 令，则， 所以.
.
设直线与平面所成角为.
有：
.
所以 直线与平面所成角的正弦值为.
（17）（本小题13分）
选择条件①：
解：（Ⅰ）在中，
因为，
所以.
因为,.
根据余弦定理：，得，
整理，得，
由于，
所以 .
（Ⅱ）由（I）可知，.
因为，，
所以.
所以.
因此，是直角三角形.
所以.
选择条件②：.
解：（Ⅰ）在中，
因为 ,,.
根据正弦定理： ，
所以 .
（Ⅱ）在中，
因为.
所以.
所以.
选择条件③：不给分
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 .
（Ⅱ）依题意，随机变量的所有可能取值为.
； ；
； .
所以随机变量的分布列为：
（Ⅲ）设事件“随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”.
因为样本人数人，其中男生共有人，
所以样本中女生共有人.
由频率分布直方图可知，
女生对食堂“比较满意”的人数共有：人.
由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有人,
.
所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为.
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由已知，，
又，解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）依题意设直线的方程为，设.
联立消去，得，
则，解得. （*）
则，.
若，则，与（*）式矛盾，所以.
同理.
所以直线和的斜率存在，分别设为和.
因为
所以.
所以.
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当时，，，
设图象上任意一点，
切线斜率为.
过点的切线方程为.
令，解得；令，解得.
切线与坐标轴围成的三角形面积为.
所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.
（Ⅱ）由题意，函数的定义域为.
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
即当，恒成立，
所以
因为当，，当且仅当时取等号.
所以当时，
所以.
所以的取值范围为.
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）数列不是数列，数列是数列.
对于数列，，所以数列不是数列；
对于数列，，所以数列是数列.
（Ⅱ）由题意知，，即，即.
又因为，
所以 .
所以 当时，
命题得证.
（Ⅲ）数列不是数列.
假设数列是数列，则得，
所以数列是单调递增数列，且，.
⑴若数列中的元素都在数列中，则；
⑵若数列中的元素都在数列中，则；
⑶若数列和数列有部分公共元素，将数列和的公共元素去掉得到新的数列和，
不妨设数列和中的最大元素在数列中，
则数列的前项和.
因为，，
所以数列中的所有项和小于等于.
所以数列中的所有项和小于.
所以.
综上⑴⑵⑶知.与已知矛盾，所以数列不是数列.
【若有不同解法，请酌情给分】
