.2.3.5三垂线定理（1）教案 新人教A版必修2
展开课题：2.2.3.5三垂线定理（尖刀班）（1）
课 型：新授课
一、课题：三垂线定理
二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；
2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问题。
三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系．
四、教学过程：
（一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：
（二）新课讲解：
1．射影的有关概念：
（1）点的射影：自一点向平面引垂线，垂足叫做在平面内的正射影（简称射影）。
（2）图形的射影：如果图形上所有点在一个平面内的射影构成图形，则叫做在
这个平面内的射影．
2．斜线的有关概念：
（1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线；
（2）斜足：斜线和平面的交点；
（3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段．
由此，斜线段在平面内的射影仍为线段，
即为线段．
3．三垂线定理：
定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直。
已知：分别是平面的垂线和斜线，是在平面内的射影，，且
求证：；
证明：∵∴，又∵
∴平面， ∴．
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
（2）推理模式：．
4．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（证明
略）
推理模式： ．
练习：在平面内，于点，请指出图形中的直角三角形。
三．例题分析：
例1．已知：点是的垂心，，垂足为，
求证：．
证明：∵点是的垂心，
∴
又∵，垂足为，
所以，由三垂线定理知，．
例2． 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的角平分线上．
已知：在平面内，点，垂足分别为，
求证：．
证明：∵，
∴（三垂线定理逆定理）
∵，∴，
∴，又∵， ∴
∴．
例3．如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔，高，只有量角器和
尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？
解：在道路边取点，使与道路边所成的水平角等于，
再在道路边取一点，使水平角，
测得的距离等于，
∵是在平面上的射影，且 ∴（三垂线定理）
因此斜线段的长度就是塔顶与道路的距离，
∵，∴，
在中得，
答：电塔顶与道路距离是．
四、课堂小结：
1．射影和斜线的有关概念；
2．三垂线定理及其逆定理．
五、作业：
1．在正方体中，求证：正方体的对角线垂直于平面．
2．如图，是矩形，平面，点
分别是的中点，
求证：．
3．已知：如图若直角的一边平面，另一边和平面斜交于点，求证：在平面上的射影仍为直角。
课后记：
