.2.4立体几何复习小结（2）教案 新人教A版必修2

课题：4.2必修(2)立体几何复习小结(2)

一、复习目标：

 1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．

 2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．

3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；

4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。

二、例题分析：

 例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中．

 (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

 (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，

 ∴B1D1∥BD，

 又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，

 ∴BD∥平面B1D1C．

 同理A1D∥平面B1D1C．

 而A1D∩BD＝D，

 ∴平面A1BD∥平面B1CD．

 (2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．

 ∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．

 ∴平面EB1D1∥平面FBD．

 说明  要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．

小结：

例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．

求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．

∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．

∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．

∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．

(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．

 否则，若ACα，

 由A∈α，M∈α，得B∈α；

 由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，

 与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．

 又∵MNα，∴AC∥α，

 又AC α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．

 同理可证BD∥平面MNP．

例3．四面体中，分别为的中点，且，

 ，求证：平面

 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴

 ，又∴，∴在中，

 ∴，∴，又，即，

 ∴平面

例2．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，

（1）求证：；（2）当，时，求的长。

（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，

∴，∵ 平面 ，∴  平面                          

∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 ，∵∴，又，∴

 ∴，∴，由三垂线定理得

 （2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴

课后作业：

1．在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为              ．（平行四边形）

2．如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

 证明：∵ A，B，C，D四点在内的射影A2，B2，C2，D2

 在一条直线上，

 ∴A，B，C，D四点共面．

 又A，B，C，D四点在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，

 ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．

 ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．

 ∴AB∥CD，同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．

3．已知直线a、b和平面M、N，且，那么（    ）

 （A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M

 （C）N⊥Ma∥N （D）

4．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，

（1）求证：平面；     

（2）求证：

（3）若，求证：平面

5．如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，，求证：

课后记：