2020届二轮（理科数学） 数列通项与求和 专题卷（全国通用）

2020届二轮（理科数学）   数列通项与求和  专题卷（全国通用）1.数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2 019＝(　　)A．1 B．－2C．3 D．－3解析：选A.因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3)．所以an＋3＝－an(n∈N*)，所以an＋6＝－an＋3＝an，故{an}是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3，所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故选A.2.(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}满足2an＋1＋an＝3(n≥1)，且a3＝，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是(　　)A．8 B．9C．10 D．11解析：选C.由2an＋1＋an＝3，得2(an＋1－1)＋(an－1)＝0，即＝－(*)，又a3＝，所以a3－1＝，代入(*)式，有a2－1＝－，a1－1＝9，所以数列{an－1}是首项为9，公比为－的等比数列．所以|Sn－n－6|＝|(a1－1)＋(a2－1)＋…＋(an－1)－6|＝＝<，又n∈N*，所以n的最小值为8.故选C.3.(2019·江西省五校协作体试题)设Sn是数列{an}的前n项和，若an＋Sn＝2n，2bn＝2an＋2－an＋1，则＋＋…＋＝(　　)A． B．C． D．解析：选D.因为an＋Sn＝2n①，所以an＋1＋Sn＋1＝2n＋1②，②－①得2an＋1－an＝2n，所以2an＋2－an＋1＝2n＋1，又2bn＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以bn＝n＋1，＝＝－，则＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选D.4.(多选)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　　)A．Sn<500  B．Sn≤500C．Sn的最小值为  D．Sn的最大值为400解析：选AC.第一次着地时，共经过了100 m，第二次着地时，共经过了m，第三次着地时，共经过了m，…，以此类推，第n次着地时，共经过了m.所以Sn＝100＋＝100＋400.Sn是关于n的增函数，所以当n≥2时，Sn的最小值为S2，且S2＝.又Sn＝100＋400<100＋400＝500.故选AC.二、填空题5.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为________．解析：设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以该女子前3天所织布的总尺数为＝.答案：6.(一题多解)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝________．解析：法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，则数列{an}是公差为3的等差数列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，所以a1＝1，S8＝8a1＋d＝92.法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，则数列{an}是公差为3的等差数列，S8＝＝＝92.答案：927.(2019·江西九江统考改编)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Sn＝an＋1，bn＝(－1)n·(log3an)2，则an＝________，数列{bn}的前2n项和为________．　解析：根据题意，数列{an}满足2Sn＝an＋1①，则当n≥2时，有2Sn－1＝an②，由①－②可得(an＋1－3an)＝0，所以an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)．由2Sn＝an＋1，可求得a2＝3，a2＝3a1，则数列{an}的首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，bn＝(－1)n·(log3an)2＝(－1)n·(log33n－1)2＝(－1)n(n－1)2，则b2n－1＋b2n＝－(2n－2)2＋(2n－1)2＝4n－1.所以数列{bn}的前2n项和T2n＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝＝2n2－n.答案：3n－1　2n2－n三、解答题8.(2019·广州市综合检测(一))已知{an}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和．解：(1)因为lg a1＝0，lg a4＝1，所以a1＝1，a4＝8.设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝1.所以an＝a1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由(1)知a1＝1，a6＝16，因为a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，所以a＝a1a6＝14.又an＝3n－2>0，所以ak＝2.因为ak＝3k－2，所以3k－2＝4，得k＝2.所以等比数列{bn}的公比q＝＝＝2.所以bn＝4n－1.所以an＋bn＝3n－2＋4n－1.所以数列{an＋bn}的前n项和为Sn＝＋＝n2－n＋(4n－1)．11．(2019·江西八所重点中学联考)设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn＝－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)证明：因为an＋1＝，所以－＝－＝－＝＝－.又a1＝1，所以＝－1，所以数列是以－1为首项，－为公差的等差数列．(2)由(1)知＝－1＋(n－1)＝－，所以an＝2－＝，所以bn＝－1＝－1＝－1＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＝＝，所以数列{bn}的前n项和Tn＝.8.(2019·福建省质量检查)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.(1)求证数列{an＋1}是等比数列，并求an；(2)若数列{bn}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列{anbn}的前n项和．解：(1)当n＝1时，S1＝2a1－1，所以a1＝1.因为Sn＝2an－n①，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)②，　①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以＝＝＝2.所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝5.设{bn}的公差为d，则b7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1.所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n.所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n.设数列{n·2n}的前n项和为Kn，数列{n}的前n项和为Tn，则Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n③，2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1④，③－④得，－Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2.又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝，所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－＋2，所以数列{anbn}的前n项和为(n－1)·2n＋1－＋2.[B组　大题增分专练]1．(2019·江西七校第一次联考)数列{an}满足a1＝1，＝an＋1(n∈N*)．(1)求证：数列{a}是等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和．解：(1)由＝an＋1得a－a＝2，且a＝1，所以数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又由已知易得an>0，所以an＝(n∈N*)．(2)bn＝＝＝－，故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.2．(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值．解：(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，所以数列为等差数列，又＝＝1，所以＝n，即Sn＝n2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，bn＝＝，所以Tn＝＝＝.由Tn≥得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5，所以n的最小值为3.1.(2019·河北省九校第二次联考)已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)由题意知，2Sn＝an＋，即2Snan－a＝1，①当n＝1时，由①式可得S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入①式，得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，整理得S－S＝1.所以{S}是首项为1，公差为1的等差数列，S＝1＋n－1＝n.因为{an}的各项都为正数，所以Sn＝，所以an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，又a1＝S1＝1，所以an＝－.(2)bn＝＝＝(－1)n(＋)，当n为奇数时，Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－；当n为偶数时，Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝.所以{bn}的前n项和Tn＝(－1)n.2.(2019·高考天津卷)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋2.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足c1＝1，cn＝其中k∈N*.①求数列{a2n(c2n－1)}的通项公式；②求 aici（n∈N*）.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.依题意得解得故an＝4＋（n－1）×3＝3n＋1，bn＝6×2n－1＝3×2n.,所以，{an}的通项公式为an＝3n＋1，{bn}的通项公式为bn＝3×2n.（2）①a2n（c2n－1）＝a2n（bn－1）＝（3×2n＋1）（3×2n－1）＝9×4n－1.,所以，数列{a2n（c2n－1）}的通项公式为a2n（c2n－1）＝9×4n－1.② aici＝ [ai＋ai（ci－1）]＝ ai＋ a2i（ci－1）＝[2n×4＋×3]＋(9×4i－1)＝(3×22n－1＋5×2n－1)＋9×－n＝27×22n－1＋5×2n－1－n－10(n∈N*)．