2020届二轮（理科数学） 点到直线的距离、两条平行直线间的距离 专题卷（全国通用）

2020届二轮（理科数学） 点到直线的距离、两条平行直线间的距离   专题卷（全国通用）

1．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　)

A．－1  B．5

C．－1或5  D．－3或3

答案　C

解析　由点到直线的距离公式得＝，

∴a＝－1或5．

2．已知两点A(1，1)和B(－1，4)到直线x＋my＋3＝0的距离相等，则m为(　　)

A．0或－  B．或－

C．－或  D．0或

答案　B　

解析　由题意知直线x＋my＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－＝或＋m×＋3＝0，∴m＝或m＝－．

3．两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0间的距离是(　　)

A．  B．  C．  D．

答案　A

解析　由两直线平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋＝0，因此两条平行线间的距离d＝＝，故选A．

4．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为________．

答案　2x－y＋1＝0

解析　设所求的直线方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)，分别在l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0上取点A(0，3)和B(0，－1)，则此两点到2x－y＋c＝0的距离相等，即＝，

解得c＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0．

5．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．

答案　

解析　因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝．故答案为．

6．已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程(如图)．

解　∵l1∥l2，可设l2的方程为x＋y－m＝0．

l2与x轴，y轴分别交于B，C，

l1与x轴，y轴分别交于A，D，

得A(1，0)，D(0，1)，B(m，0)，C(0，m)．

∵l2在l1的上方，∴m>1．

∵S梯形ABCD＝S△OBC－S△AOD，∴4＝m2－，

解得m＝3或m＝－3(舍去)．

故所求直线的方程为x＋y－3＝0．

一、选择题

1．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)

A．0或－  B．或－6

C．－或  D．0或

答案　B　

解析　依题意得＝，即|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2，展开合并同类项得8m2＋44m－24＝0，即2m2＋11m－6＝0，解得m＝或m＝－6．

2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)

A．8  B．2  C．  D．16

答案　A　

解析　由题知所求即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，即＝＝8．故选A．

3．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为(　　)

A．x－y－6＝0  B．x＋y＋6＝0

C．x－y＋6＝0  D．x＋y－6＝0

答案　D

解析　由题意，得点M所在的直线与直线l1，l2平行，所以设为x＋y＋n＝0，此直线到直线l1和l2的距离相等，所以＝，解得n＝－6，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0．故选D．

4．直线2x＋3y－4＝0关于点(2，1)对称的直线方程是(　　)

A．3x－2y－4＝0  B．2x＋3y＋6＝0

C．3x－2y－10＝0  D．2x＋3y－10＝0

答案　D

解析　设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知＝．

∴C＝－4(舍)或C＝－10，

故所求直线的方程为2x＋3y－10＝0．

5．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　)

A．3  B．2  C．  D．4

答案　A

解析　由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3．

二、填空题

6．如果已知两点O(0，0)，A(4，－1)到直线mx＋m2y＋6＝0的距离相等，那么m可取不同实数值的个数为________．

答案　3

解析　解方程＝(m≠0)，

得m＝6或m＝－2或m＝4．

7．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．

答案　x－y－1＝0或x＝1

解析　显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1．设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．

∵点A，B到l的距离相等，

∴＝，

∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0．

8．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的有________．

①y＝x＋1　②y＝2　③y＝x　④y＝2x＋1

答案　②③

解析　可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析．①d＝＝3>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝＝4，直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝＝>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③．

三、解答题

9．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0．

(1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；

(2)当b＝3且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离．

解　(1)当b＝0时，l1：ax＋1＝0，

由l1⊥l2知a－2＝0，解得a＝2．

(2)当b＝3时，l1：ax＋3y＋1＝0，

当l1∥l2时，联立解得a＝3，

此时，l1的方程为3x＋3y＋1＝0，

l2的方程为x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0，则

它们之间的距离为d＝＝．

10．过点M(2，4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．

解　设直线AB的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，

∴A(a，0)，B(0，b)．

∵MA⊥MB，

∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0，

即a＝10－2b．

∵a＞0，b＞0，∴0＜b＜5，0＜a＜10．

∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0，

∴点M到直线AB的距离d＝．

∴△MAB的面积S1＝d|AB|＝|2b＋4a－ab|＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20，△OAB的面积S2＝ab＝5b－b2．

∵直线AB平分四边形OAMB的面积，

∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0，

解得或

∴所求直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0．