2021届二轮（理科数学） 数列 专题卷（全国通用）
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2021届二轮（理科数学） 数列 专题卷（全国通用）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a、b、c成等比数列且c＝2a，则cos B＝ ( )
A． B． C． D．
2、
数列{an}中，若存在ak，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），ak则称为{an}的一个H值．现有如下数列：
①an=1﹣2n
②an=sinn
③an=
④an=lnn﹣n
则存在H值的数列的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
3、设等比数列前项和为，若,，则（ ）
A．8 B．16 C．32 D．79
4、等差数列的前项和为（ ）
A．54 B．45 C．36 D．27
5、在等比数列{}中，a2=8，a5=64．则公比q为（ ）
A．2 B． 3 C． 4 D． 8
6、下列说法正确的是 （ ）
数列1，3，5，7可表示为
数列1，0，与数列是相同的数列
数列的第项是
D． 数列可以看做是一个定义域为正整数集的函数
7、已知数列是等比数列，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8、等差数列共有项，若前项的和为200，前项的和为225，则中间项的和为（ ）
A．50 B．75 C．100 D．125
9、
已知等差数列的公差为，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
10、
在数列中， ，则（ ）
A． 2 B． C． D．
11、
已知等差数列中，，前5项和 ，则数列的公差为（ ）。
A． B． C． D．
12、已知一列数按如下规律排列，-1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是（ ）
A. 50 B. 42 C. -50 D. -42
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、
数列满足，则__________．
14、已知为等差数列的前项和，已知，.若，，成等比数列，则__________．
15、数列中，已知（为常数）且，则________．
16、设为等差数列的前项之和，若，则
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题满分10分）已知在等比数列中，若 求的值
18、（本小题满分12分）在等差数列中, 求的值。
19、（本小题满分12分）在等比数列中,,公比,且,又与的等比中项为2.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求数列的通项公式;
(3)设,求.
20、（本小题满分12分）已知数列{}中,,数列中,其中 .
(Ⅰ)求证:数列{}是等差数列;
(Ⅱ)设是数列{}的前n项和,求;
(Ⅲ)设是数列的前n项和,求证:.
21、（本小题满分12分）一个正项等比数列前n项和为S，前n项的倒数的和为T，求这个数列的前n项之积（用及n表示）.
22、（本小题满分12分）已知数列中，，当时，其前项和满足
（1）求的表达式
（2）设，求的前项和
参考答案
1、答案A
cosB＝，故选A．考查目的：1．余弦定理；2．等比数列．
2、答案B
解：由新定义可知，若数列{an}有H值，则数列不是单调数列，且存在k（k≥2，k∈N*），使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立．
对于①an=1﹣2n，该数列为递减数列，不合题意；
对于②an=sinn，取k=2，则sin2＞sin1，且sin2＞sin3，数列存在H值；
对于③an=，令f（x）=，f′（x）=，由f′（x）=0，得x=3．
当x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，当x＞3时，f′（x）＜0，函数为减函数，∴x=3时函数取得极大值，也就是最大值，
则对于数列an=，有a3＞a2，且a3＞a4，数列存在H值；
对于④an=lnn﹣n，令g（x）=lnx﹣x，g′（x）=，当x≥1时，g′（x）≤0，数列为递减数列，不合题意．
∴存在H值的数列为②③．
故选：B．
3、答案B
根据等比数列的性质可知成等比数列，通过这个数列的前项求得公比，进而求得即的值.
详解
由于数列是等比数列，故有成等比数列，而，故这个数列的公比为，首项为，所以，故选B.
名师点评
本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.若一个数列是等比数列，则也成等比数列.同样，如果一个数列是等差数列，则也成等差数列.要熟练记忆一些有关等差数列和等比数列的性质，对于解题有很大的帮助.
4、答案A
5、答案A
6、答案C
7、答案A
8、答案B
设等差数列前m项的和为x，由等差数列的性质可得，中间的m项的和可设为x+d，后m项的和设为x+2d，
由题意得2x+d=200，3x+3d=225，
解得x=125，d=﹣50，
故中间的m项的和为75，
故选B．
9、答案C
因为，所以
，选C.
10、答案A
∵
∴， ，
∴数列是周期为3的数列
∴
故选A
11、答案C
设等差数列的首项为，公差为，
由，所以，解得，故选C.
12、答案C
详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：
，，
则.
本题选择C选项.
名师点评：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13、答案
分析
求出数列的周期，然后求解数列的项．
详解
数列{an}满足，，
可得a2=，a3=﹣1，a4=，所以数列的周期为3，
，
故答案为：．
名师点评
本题考查数列的递推关系式的应用，求解数列的周期是解题的关键．
14、答案15
设等差数列的公差为，则已知条件可转为的方程组，解出后利用可求出．
详解
设等差数列的公差为，则 ，故，
所以，因，故，所以 即，填．
名师点评
等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
15、答案
，，，那么，解得：，所以．
考查目的：数列的通项公式
16、答案1
17、答案∵ 是等比数列
∴
又∵
∴ =6
在等比数列，若，则有，由可得出的值。
18、答案
∴
19、答案(1)∵的等比中项为2,∴,又∵,且
∴,∴,∴ .
(2)由(1),得,∴,是以1为首项和公差的等差数列,∴,这就是数列的通项公式.
(3)由(2)知,
∴.
20、答案(Ⅰ), 而 ,
∴.
∴{}是首项为,公差为1的等差数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
于是 =
故有
=6.
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)可知 ,
则
.
则 +…+ ,
∴ .
21、答案
详解：若，则，则；
若，则.
.
则.
又.
前n项之积为.
名师点评
本题主要考查了等比数列的求和公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.
22、答案（1）∵
∴， 既
又∵
∴
∴是首项，公差的等差数列，
∴
∴
（2）∵
=
∴
=
=
