2021届二轮（理科数学） 计数原理 专题卷（全国通用）

专题十七　计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分70分，考试时间45分钟．第Ⅰ卷　(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·岳阳二模)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位．例如：2019＋100＝2119，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是(　　)A．100   B．96  C．60  D．30答案　C解析　值为2019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10＝60.故选C.2．(2019·广州市天河区毕业班综合测试)安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有(　　)A．360种  B．300种  C．150种  D．125种答案　C解析　5名学生分成3组，每组至少1人，有3,1,1和2,2,1两种情况：①3,1,1：分组共有＝10种分法；再分配到3个社区：10A＝60种．②2,2,1：分组共有＝15种分法；再分配到3个社区：15A＝90种．综上所述，共有60＋90＝150种安排方式．故选C.3．(2019·韶关市调研考试)某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)A．720种  B．360种  C．300种  D．600种答案　C解析　先安排好除丙之外的5个节目，有＝60种可能，再安排丙，有5种可能，共300种方案，故选C.4．(2019·合肥二检)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E；任务B、任务C不能相邻．则不同的执行方案共有(　　)A．36种  B．44种  C．48种  D．54种答案　B解析　六项不同的任务分别为A，B，C，D，E，F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好B，C，再在B，C之间的3个空位中插入D，F，此时共有排列方法：AA＝12种；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A，E的两侧，排列方法有CAA＝12种，可能都在A，E的右侧，排列方法有AA＝4种；如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A，E的两侧CCAA＝16种；所以不同的执行方案共有12＋12＋4＋16＝44种．5．(2019·新余市高三期末考试)把1,2,3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？(　　)A．31  B．30  C．28  D．32答案　B解析　该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当6前有1个数字时，有C＝5种，当6前有2个数字时，有C＝10种，当6前有3个数字时，有C＝10种，当6前有4个数字时，有C＝5种，根据分类计数原理，共有5＋10＋10＋5＝30种，故选B.6．(2019·临汾模拟)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为(　　)A．12  B．24  C．36  D．48答案　D解析　根据题意，如图的三棱锥中，设6条棱为1,2,3,4,5,6，分析可得1、4,2、6,3、5不能分到同一组，分2步进行分析：①将6种化工产品分成3组，其中1、4,2、6,3、5不能分到同一组，有－3×2－1＝8种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3个仓库，有A＝6种情况，则安全存放的不同方法种数有8×6＝48种；故选D.7．(2019·洛阳高三统考)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有(　　)A．24种  B．36种  C．48种  D．60种答案　D解析　分两类，第一类有3名被录用，有A＝24种；第二类，4名都被录用，则有一家录取2名，有C·A＝36，根据分类计数原理共有24＋36＝60种．故选D.8．(2019·芜湖一模)某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有(　　)A．96种  B．84种  C．78种  D．16种答案　B解析　恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门共有C＝6种，4名学生选2门课共有24＝16种，排除4名同学全选其中一门课程为16－2＝14种，故有14×6＝84种．故选B.9．(2019·衡水二中检测)用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是(　　)A．12  B．24  C．30  D．36答案　C解析　按顺序涂色，第一个圆有3种选择，第二个圆有2种选择，若前三个圆用了3种颜色，则第三个圆有1种选择，后三个圆也用了3种颜色，共有3×2×1×C×C＝24(种)，若前三个圆用了2种颜色，则后三个圆也用了2种颜色，所以共有3×2＝6(种)．综上可得不同的涂色方案的种数是30.10．(2019·西安市长安一中二模)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为(　　)A．72  B．120  C．192  D．240答案　D解析　由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为CA＝120；末尾是4，不同的偶数个数为A＝120，故共有120＋120＝240个．故选D.第Ⅱ卷　(非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2019·湖北联考)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．答案　10解析　设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成(n－2)个间隔中，故有A种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一个插入到将(n－3)个停车位排放好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A＝AA，解得n＝10.12．(2019·汕头市高三上学期期末)把分别写有1,2,3,4,5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．答案　36解析　先将卡片分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡片，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这5个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有C＝6种情况，再对应到3个人，有A＝6种情况，则共有6×6＝36种情况．13．(2019·衡水中学高三上学期四调)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有________种．答案　120解析　①当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有A×A＝48种；②当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A×A＝36种；③当甲在第三位，前两位分别是丙丁和不是丙丁两种情况，共A×A＋A×A×A＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．14．(2019·广州市天河区高三一模)如果一个三位数abc同时满足a>b且b<c，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是________．答案　285解析　根据题意，按十位数字分类讨论：①十位数字是9时不存在，此时三位“凹数”的个数为0；②十位数字是8，只有989，此时三位“凹数”的个数为1；③十位数字是7，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为2×2＝4；④十位数字是6，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为3×3＝9；⑤十位数字是5，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为4×4＝16；⑥十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为5×5＝25；⑦十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为6×6＝36；⑧十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为7×7＝49；⑨十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为8×8＝64；⑩十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为9×9＝81，所以所有不同的三位“凹数”的个数是1＋4＋…＋81＝285个．