2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷 （全国通用）

 2021届二轮（理科数学） 立体几何   专题卷 （全国通用）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、过点A(-2,1,3),且与面xoy垂直的直线上点的坐标满足（   ）(A) x=-2  (B)y=1  (C) x=-2或y=1    (D) x=-2且y=12、如图所示，正方体的棱长为1，则的坐标是    （   ）A．        B．         C．         D．3、已知点B是点A（3，4，-2）在平面上的投影，则等于（    ）A．       B．       C．5       D．4、在空间直角坐标系中，点，，则（   ）A．3    B．4    C．5    D．65、以下命题中,不正确的命题个数为(　　)①已知A、B、C、D是空间任意四点,则A＋B＋C＋D＝0②若{a,b,c}为空间一个基底,则{a＋b,b＋c,c＋a}构成空间的另一个基底;③对空间任意一点O和不共线三点A、B、C,若O＝x＋y＋z(其中x,y,z∈R),则P、A、B、C四点共面.A.0 B.1  C.2 D.36、已知，则（   ）A．            B．     C．．           D7、
某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）。A．     B．     C．     D． 8、在平行六面体中，，，则对角线的长度为  A．        B． 4        C．       D． 9、在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=,则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为(　　)A． 1    B．     C．     D． 10、已知,则下列向量中是平面ABC的法向量的是                                              （  ）A.    B.    C.    D.11、如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ）A．    B．    C．    D．12、已知，且A，B，C三点在同一条直线上，则实数分别等于（   ）A．   B．  C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.14、四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，，E为PC中点，则向量__________15、已知向量，则=__________；16、已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是　　　.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本小题满分10分）已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若,求点D的坐标;(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.18、（本小题满分12分）如图,在多面体ABCDEF中,ABCD为菱形,ABC=60,EC面ABCD,FA面ABCD,G为BF的中点,若EG//面ABCD．(I)求证:EG面ABF;(Ⅱ)若AF=AB,求二面角B—EF—D的余弦值．19、（本小题满分12分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的单位法向量.20、（本小题满分12分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.21、（本小题满分12分）如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．(1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值；(2)当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．22、（本小题满分12分）已知直三棱柱，底面是边长为2的等边三角形，，在棱上，且，为棱的中点．（1）证明：面；（2）求二面角的平面角的余弦值．
参考答案1、答案D2、答案C 由空间直角坐标系和棱长为1，可得则的坐标是。3、答案C4、答案A由两点间距离公式，可直接求得的值。详解根据空间两点间距离公式可得所以选A5、答案B6、答案C 7、答案C详解:由三视图得几何体如图所示，所以故几何体的表面积为.故答案为：C8、答案D9、答案A设线段A1B1,AB的中点分别为O,D,则OC1⊥平面ABB1A1,以的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线AB1和BC1所成角的正弦值.详解设线段A1B1,AB的中点分别为O,D,则OC1⊥平面ABB1A1,以的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(-1,0,),B1(1,0,0),B(1,0,),C1(0,,0),所以=(2,0,-),=(-1,,-).因为=(2,0,-)·(-1,,-)=0,所以,即异面直线AB1和BC1所成角为直角,则其正弦值为1.故答案为：A10、答案C设平面ABC的法向量为，那么,那么，那么，满足条件的只有C,故选C.11、答案C，故选C。12、答案B13、答案详解：以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以D为z轴，建立空间直角坐标系.则点P(2,y,z),,所以.因为C(0，2，0),M(2，0，1),所以,因为.因为B(2，2，0)，所以，所以因为0≤y≤2，所以当y=时，.因为BC⊥BP,所以.故填.14、答案15、答案-516、答案17、答案（1）；（2）详解(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).因为,所以解得即D(-1,1,2).(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.18、答案(Ⅰ)取AB的中点M,连结GM,MC,G为BF的中点,所以GM //FA,又EC面ABCD, FA面ABCD,∵CE//AF,∴CE//GM,∵面CEGM面ABCD=CM,EG// 面ABCD,∴EG//CM,∵在正三角形ABC中,CMAB,又AFCM∴EGAB, EGAF,∴EG面ABF（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2,则B（）E(0,1,1) F（0,-1,2）=(0,-2,1) , =(,-1,-1),    =(,1, 1),设平面BEF的法向量=（）则      令,则,∴=（）同理,可求平面DEF的法向量  =（-）设所求二面角的平面角为,则=.19、答案n=.详解解=(4,2,-2),=(2,4,-2),设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,则有取z>0,得x=y=,z=.故平面ABC的单位法向量为20、答案：：如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),求出n1，n2，利用n1·n2=0，即可求出a，从而确定P点位置.详解如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1).∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=，故P.21、答案(1)(2)点P的坐标为(),最小值为.详解(1)因为正方体的棱长为1，P是AB的中点，所以P().因为2|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝，所以Q(0,1,).由两点间的距离公式得：|PQ|＝＝.(2)如图，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x.由正方体的棱长为1，得|AE|＝(1－x)．因为，所以|PE|＝＝1－x，所以P(x，x,1－x)．又因为Q(0,1,)，所以|PQ|＝所以当x＝时，|PQ|min＝，即当点P的坐标为()，即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为.22、答案（1）；（2）见，得到，利用线面垂直的判定定理，即可作出证明；（2）由（1）分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，求解求解二面角的平面角的余弦值为.详解：（1）取中点，连接，则，以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则则故，所以，又所以，（2）由（1）知，设面的法向量为则，面的法向量为，所以的二面角为,所以二面角的平面角的余弦值为.