2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷 （全国通用）

这是一份2021届二轮（理科数学） 立体几何 专题卷 （全国通用），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、在空间直角坐标系中，点，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2、点P（1,3,-5）关于原点的对称点的坐标是（ ）
（A）（-1,-3,-5）
（B）（-1,-3,5）
（C）（5,-3,-1）
（D）（-3,1,5）
3、在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4、点位于（ ）
A. B. C. D.
5、以下命题中,不正确的命题个数为( )
①已知A、B、C、D是空间任意四点,则A＋B＋C＋D＝0
②若{a,b,c}为空间一个基底,则{a＋b,b＋c,c＋a}构成空间的另一个基底;
③对空间任意一点O和不共线三点A、B、C,若O＝x＋y＋z(其中x,y,z∈R),则P、A、B、C四点共面.
A.0B.1 C.2D.3
6、已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于（ ）
A．3B．6C．－9D．9
7、若平面的一个法向量为 ，则点到平面的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
8、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为( )
9、如图，在长方体中， ， 为中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
10、设两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则下列推理
①；②；③；④
其中正确的命题序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
11、在空间直角坐标系中，到轴和轴距离相等的点的轨迹为（ ）
A. 一个平面 B. 两个平面 C. 一条直线 D. 两条直线
12、如图，在平行六面体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为_____.
14、已知，，则____．
15、在矩形中，，，沿对角线把矩形折成二面角的平面角为时，则__________.
16、在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到A与B的距离相等，则点M的坐标是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题满分10分）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
18、（本小题满分12分）在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且。求直线与平面所成角的正弦值的大小；
19、（本小题满分12分）△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC上任一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
20、（本小题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
求证:CD⊥平面PAE.
21、（本小题满分12分）已知为原点，向量∥，求．
22、（本小题满分12分）如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1、答案A
由两点间距离公式，可直接求得的值。
详解
根据空间两点间距离公式可得
所以选A
2、答案B
3、答案C
通过题干条件得到面的法向量，，求法向量和的夹角即可.
详解
由题知，为平面的一个法向量，又因为，所以.
故答案为：C.
4、答案C
5、答案B
6、答案C
由题意可得，可得，即可得出．
详解
由题意可得，
，
解得．
故选：．
7、答案C
详解： ，，，，
AB为平面的一条斜线，且
点A到平面的距离：
故选C.
8、答案C
如图，＝＋＝＋＝＋ (＋)，
所以x＝，y＝.
9、答案C
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设
平面的一个法向量为
取 ，所以点到平面的距离为 ,选C.
10、答案B
两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，，故①错，所以答案为B
11、答案B
到轴和轴距离相等的点的轨迹为如图所示的两个平面，故选.
12、答案B
根据空间向量的运算，用为基底表示出.
详解：依题意可知是平行四边形对角线的交点，所以
.
故选:B
13、答案
建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,利用向量法求平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值.
详解
建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则=(2,0,-2),=(0,2,-1).
设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),
则
则
令y=1,得n=(2,1,2).
易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),
则cs=.
故答案为：
14、答案
cs，，由此能求出结果．
详解
∵向量，，
∴cs，．
故答案为．
15、答案
画出图形，分别过两点作，，垂足为,利用勾股定理求出相应线段的长，再利用空间向量的线性关系表示求出，求出它的模。
详解
分别过两点作，，垂足为,如下图所示：
根据勾股定理可求出：，
沿对角线把矩形折成二面角的平面角为时，
则，
.
16、答案(0，－1,0)
17、答案：：（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.
详解
(1)模为1的向量有,共8个单位向量.
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为
.
(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.
(4)向量的相反向量为.
18、答案
详解
分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以．，
设平面的一个法向量为，
由解得取，则，
因为，，，
所以,
因为，所以是锐角，是直线与平面所成角的余角，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19、答案(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)，
∵＝(2，4，－1)，＝(2，2，1)，
∴，∴.
故可取n＝(－3，2，2)．
∴平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2)．
(2)∵点M(x，y，z)是平面ABC上任一点，
∴－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0.
∴3x－2y－2z－1＝0.
这就是所求的x、y、z满足的关系式．
20、答案：：如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
则利用空间向量证明CD⊥AE,CD⊥A.即可.
详解
证明：如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).
∵=-8+8+0=0,=0,∴CD⊥AE,CD⊥AP.
∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.
21、答案设，
∵∥，∴，，
∴，即
解此方程组，得。
∴，。
22、答案（1）见；（2）
试题（1）证明：连结．
∵为等边三角形，为的中点，
∴．
∵和为等边三角形，为的中点，，
∴．
在中，∵,∴，即．
∵，∴平面．
（2）以O为原点，OB，OC，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，，，
设平面ACD法向量为
由，可得，令，可得
又
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为