2021年中考数学专题复习 专题37 二次函数问题（学生版）

专题37  二次函数问题

1.二次函数的概念：

一般地，自变量x和y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质

(1)对称轴：

(2)顶点坐标：

(3)与y轴交点坐标(0，c)

(4)增减性：

当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；

当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式

(1)一般式  y=ax2 +bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式 

  .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

(3)交点式  .已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c的符号

(1)a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

(2)b ——对称轴与a 左同右异。

(3)抛物线与y轴交点坐标(0，c)

5．二次函数与一元二次方程的关系

 抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根。

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

6．函数平移规律：左加右减、上加下减.

【例题1】(2020贵州黔西南)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是(    )

A. 点B坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ D. OC•OD＝16

【对点练习】(2020湖北天门模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(﹣1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有(    )

A．3个      B．2个      C．1个      D．0个

【例题2】(2020•无锡)二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A(6，0)，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为　          　．

【对点练习】已知抛物线y=ax2﹣3x+c(a≠0)经过点(﹣2，4)，则4a+c﹣1=　   　．

【例题3】(2020•河南)如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；

(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．

【对点练习】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴

是x=2．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一、选择题

1．(2020•鄂州)如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．(2020•株洲)二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则(　　)

A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 

C．y1＜y2 D．y1、y2的大小无法确定

3．(2020•襄阳)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．

其中正确的有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4．(2020•广东)把函数y＝(x﹣1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为(　　)

A．y＝x2+2 B．y＝(x﹣1)2+1 C．y＝(x﹣2)2+2 D．y＝(x﹣1)2﹣3

5．(2020•菏泽)一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

A．  B．  C．   D．

6．(2020•天津)已知抛物线y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0，c＞1)经过点(2，0)，其对称轴是直线x．有下列结论：

①abc＞0；

②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；

③a．

其中，正确结论的个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

7．(2020•陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣(m﹣1)x+m(m＞1)沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8.(2019哈尔滨)将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线

为(    )

A．        B．

C．        D．

9.(2019年陕西省)已知抛物线，当时，，且当时， y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是(     )．

A．         B．     C．  D．

10.(2019广西梧州)已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

二、填空题

11．(2020•南京)下列关于二次函数y＝﹣(x﹣m)2+m2+1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是　   　．

12．(2020•连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为　  　min．

13．(2020•泰安)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：

下列结论：

①a＞0；

②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；

③若点(﹣8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则y1＜y2；

④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是　    　．(把所有正确结论的序号都填上)

14．(2020•哈尔滨)抛物线y＝3(x﹣1)2+8的顶点坐标为　    　．

15．(2020•无锡)请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　     　．

16．(2020•上海)如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　   　．

17．(2020•黔东南州)抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(﹣3，0)，对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　    　．

18．(2020•灌南县一模)二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为　    　．

19.(2019黑龙江哈尔滨)二次函数的最大值是           ．

20.(2019江苏镇江)已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是               ．

21.(2019内蒙古赤峰)二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是　   　．(填上所有正确结论的序号)

三、解答题

22．(2020•陕西)如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点(3，12)和(﹣2，﹣3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

23．(2020•凉山州)如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O(0，0)、A(1，0)、B(，)三点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；

(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．

24．(2020•黑龙江)如图，已知二次函数y＝﹣x2+(a+1)x﹣a与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．

(1)求a的值；

(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．

25．(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点(﹣1，0)，(2，0)．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；

(3)一次函数y＝(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．

26．(2020•甘孜州)某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．

(1)求k，b的值；

(2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．

27．(2020•安徽)在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．

(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；

(2)求a，b的值；

(3)平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．

28．(2020•上海)在平面直角坐标系xOy中，直线yx+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y＝ax2+bx(a≠0)经过点A．

(1)求线段AB的长；

(2)如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC，求这条抛物线的表达式；

(3)如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

29．(2020•苏州)如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点(点B位于点C左侧)，与抛物线对称轴交于点D(2，﹣3)．

(1)求b的值；

(2)设P、Q是x轴上的点(点P位于点Q左侧)，四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'(x1，y1)、Q'(x2，y2)．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．

30．(2020•台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1)．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系式为s2＝4h(H﹣h)．

应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．

(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？

(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；

(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．

31．(2020•滨州)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？

(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

32．(2019贵州贵阳)如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为(﹣1，0)．

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；

(3)当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．