2021年中考数学专题复习 专题45 待定系数法（教师版含解析）

这是一份2021年中考数学专题复习 专题45 待定系数法（教师版含解析），共24页。教案主要包含了2+k，y=a等内容，欢迎下载使用。

专题45 待定系数法

1.待定系数法的含义
一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
2. 待定系数法的应用
(1)分解因式
待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。
a.确定所求问题含待定系数的解析式。
b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
(2)求函数解析式
初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，
y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：
a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；
b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。
c.解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式。
(3)解方程
例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．
(4)分式展开
首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。也可以用代值法求系数。

【例题1】(2020•上海)已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　)
A．y=2x B．y=-2x C．y=8x D．y=-8x
【答案】D
【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y=kx，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．
【解析】设反比例函数解析式为y=kx，
将(2，﹣4)代入，得：﹣4=k2，
解得k＝﹣8，
所以这个反比例函数解析式为y=-8x，
【对点练习】(2020乌鲁木齐模拟)如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，=．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是(　　)

A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
【答案】D．
【解析】设OA=3a，则OB=4a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则根据题意得：，
解得：，
则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．
根据题意得：，
解得：
则D的坐标是(，)，
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是(，)，则k=．
∵以CD为边的正方形的面积为，
∴2(﹣)2=，
则a2=，
∴k=×=7．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本题的关键．
设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
【例题2】(2020•遂宁)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，0)，连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx(k≠0)于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
(1)求双曲线y=kx(k≠0)和直线DE的解析式．
(2)求△DEC的面积．

【答案】见解析。
【分析】(1)作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA(AAS)，求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx(k≠0)和直线DE的解析式．
(2)解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，0)，
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA(AAS)，
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D(2，3)，
∵双曲线y═kx(k≠0)经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B(1，0)，D(2，3)代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
(2)连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6，
∴E(﹣1，﹣6)，
∵B(1，0)，D(2，3)，
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．

【对点练习】(2019湖北黄冈)如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A(﹣2，2)，B(﹣2，0)，C(0，2)，D(2，0)四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为t(秒)．
(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
(2)点P在(1)中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
(3)当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
(4)点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析。
【解析】(1)设函数解析式为y＝ax2+bx+c，
将点A(﹣2，2)，C(0，2)，D(2，0)代入解析式可得
，
∴，
∴y＝﹣﹣x+2；
(2)∵△PAM≌△PBM，
∴PA＝PB，MA＝MB，
∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，
∵AB＝2，
∴点P的纵坐标是1，
∴1＝﹣﹣x+2，
∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴P(﹣1﹣，1)或P(﹣1+，1)；
(3)CM＝t﹣2，MG＝CM＝2t﹣4，
MD＝4﹣(BC+CM)＝4﹣(2+t﹣2)＝4﹣t，
MF＝MD＝4﹣t，
∴BF＝4﹣4+t＝t，
∴S＝(GM+BF)×MF＝(2t﹣4+t)×(4﹣t)＝﹣+8t﹣8＝﹣(t﹣)2+；
当t＝时，S最大值为；
(3)设点Q(m，0)，直线BC的解析式y＝﹣x+2，
直线AQ的解析式y＝﹣(x+2)+2，
∴K(0，)，H(，)，
∴OK2＝，OH2＝+，HK2＝+，
①当OK＝OH时，＝+，
∴m2﹣4m﹣8＝0，
∴m＝2+2或m＝2﹣2；
②当OH＝HK时，+＝+，
∴m2﹣8＝0，
∴m＝2或m＝﹣2；
③当OK＝HK时，＝+，不成立；
综上所述：Q(2+2，0)或Q(2﹣2，0)或Q(2，0)或Q(﹣2，0)；
【点拨】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键．

一、选择题
1.(2020•乐山)直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是(　　)

A．x≤﹣2 B．x≤﹣4 C．x≥﹣2 D．x≥﹣4
【答案】C
【分析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后求得函数y＝2时的自变量的值，根据图象即可求得．
【解析】∵直线y＝kx+b与x轴交于点(2，0)，与y轴交于点(0，1)，
∴2k+b=0b=1，解得k=-12b=1
∴直线为y=-12x+1，
当y＝2时，2=-12x+1，解得x＝﹣2，
由图象可知：不等式kx+b≤2的解集是x≥﹣2
2．(2019桂林)如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(﹣4，0)，B(﹣2，﹣1)，C(3，0)，D(0，3)，当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为(　　)

A．y＝x+ B．y＝x+ C．y＝x+1 D．y＝x+
【答案】D．
【解析】由A(﹣4，0)，B(﹣2，﹣1)，C(3，0)，D(0，3)，
∴AC＝7，DO＝3，
∴四边形ABCD分成面积＝AC×(|yB|+3)＝＝14，
可求CD的直线解析式为y＝﹣x+3，
设过B的直线l为y＝kx+b，
将点B代入解析式得y＝kx+2k﹣1，
∴直线CD与该直线的交点为(，)，
直线y＝kx+2k﹣1与x轴的交点为(，0)，
∴7＝×(3﹣)×(+1)，
∴k＝或k＝0，
∴k＝，
∴直线解析式为y＝x+
3．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m2)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是(　　)

A．300m2 B．150m2 C．330m2 D．450m2
【答案】B
【解析】根据待定系数法可求直线AB的解析式，再根据函数上点的坐标特征得出当x=2时，y的值，再根据工作效率=工作总量÷工作时间，列出算式求出该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积．如图，
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
，
解得．
故直线AB的解析式为y=450x﹣600，
当x=2时，y=450×2﹣600=300，
300÷2=150(m2)．
答：该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是150m2．
4. 已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则a的取值范围是( )
A.a≤－1 B.a≤－1，且a≠－2 C.a≤1，且a≠－2 D.a≤1
【解析】去分母，得a＋2＝x＋1，
解得x＝a＋1．
∵x≤0．且x＋1≠0，
∴a＋1≤0，且a＋1≠－1，
∴a≤－1，且a≠－2，
∴a≤－1，且a≠2．故选B．
5.(2019•浙江绍兴)若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则a的值等于(　　)
A．﹣1 B．0 C．3 D．4
【答案】C．
【解析】设经过(1，4)，(2，7)两点的直线解析式为y＝kx+b，
∴
∴，
∴y＝3x+1，
将点(a，10)代入解析式，则a＝3
二、填空题
6.(2020年浙江金华模拟)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为(6，8)，则点F的坐标是

【答案】.
【解析】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；菱形的性质；中点坐标；方程思想的应用.
∵菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，点D的坐标为(6，8)，
∴.∴点B的坐标为(10，0)，点C的坐标为(16，8).
∵菱形的对角线的交点为点A，∴点A的坐标为(8，4).
∵反比例函数的图象经过点A，∴.
∴反比例函数为.
设直线的解析式为，∴.
7.若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为(0,－3).则这个二次函数的表达式为________．
【答案】y=﹣x2﹣3
【解析】∵抛物线二次项系数为-1，顶点坐标为(0，-3)，
∴抛物线的顶点式为y=-(x－0)2-3,
即y=-x2-3
故答案为：y=-x2-3。
三、解答题
8．(2020•苏州)某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y(元)与销售量x(kg)之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
(1)截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
(2)求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg(除了促销降价，其他时间售价保持不变)．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．

【答案】见解析。
【分析】(1)由表格信息可知，从6月1日到6月9日，成本价8元/kg，售价10元/kg，一共售出200kg，根据利润＝每千克的利润×销售量列式计算即可；
(2)设B点坐标为(a，400)，根据题意列方程求出点B的坐标，设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可．
【解析】(1)200×(10﹣8)＝400(元)
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；
(2)设点B坐标为(a，400)，根据题意得：
(10﹣8)×(600﹣a)+(10﹣8.5)×200＝1200﹣400，
解这个方程，得a＝350，
∴点B坐标为(350，400)，
设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则：
350k+b=400800k+b=1200，解得k=169b=-20009，
∴线段BC所在直线对应的函数表达式为y=169x-20009．
9．(2020•陕西)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

【分析】(1)分段函数，利用待定系数法解答即可；
(2)利用(1)的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【解析】(1)当0≤x≤15时，设y＝kx(k≠0)，
则：20＝15k，
解得k=43，
∴y=43x；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b(k≠0)，
则：20=15k'+b170=60k'+b，
解得k'=103b=-30，
∴y=103x-30，
∴y=43x(0≤x≤15)103x-30(15＜x≤60)；

(2)当y＝80时，80=103x-30，解得x＝33，
33﹣15＝18(天)，
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
10．(2020•河北)表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．
x
﹣1
0
y
﹣2
1
(1)求直线1的解析式；
(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算)，并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
(3)设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

【分析】(1)根据待定系数法求得即可；
(2)画出直线l，求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
(3)求得两条直线与直线y＝a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．
【解析】(1)∵直线l′：y＝bx+k中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
∴-b+k=-2k=1，解得k=1b=3，
∴直线1′的解析式为y＝3x+1；
∴直线1的解析式为y＝x+3；
(2)如图，解y=x+3y=3x+1得x=1y=4，
∴两直线的交点为(1，4)，
∵直线1′：y＝3x+1与y轴的交点为(0，1)，
∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：12+(4-1)2=10；
(3)把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x=a-13；
把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；
当a﹣3+a-13=0时，a=52，
当12(a﹣3+0)=a-13时，a＝7，
当12(a-13+0)＝a﹣3时，a=175，
∴直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为52或7或175．

11.已知：，求A、B、C的值。
【答案】A＝、B＝、C＝．
【解析】去分母，得
x2－x＋2＝ A(x－3)(x＋2)＋Bx(x＋2)＋Cx(x－3)．
根据恒等式定义，选择x的适当特定值，带入恒等式可直接求出A，B，C的值，
当x＝0时，有2＝－6A，得A＝；
当x＝3时，有8＝15B，得B＝；
当x＝－2时，有8＝10C，得C＝．
12．〔2020上海模拟〕某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y〔万元/吨〕与生产数量x〔吨〕的函数关系式如下图、
〔1〕求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
〔2〕当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量。
〔注：总成本=每吨的成本×生产数量〕

【答案】(1)y=﹣x/10+11〔10≤x≤50〕
(2)该产品的生产数量为40吨.
【解析】〔1〕利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将〔10，10〕〔50，6〕代入解析式得：

解得：

y=﹣x/10+11〔10≤x≤50〕
〔2〕当生产这种产品的总成本为280万元时，
x〔﹣x/10+11〕=280，
解得：x1=40，x2=70〔不合题意舍去〕，
故该产品的生产数量为40吨.
13．(2019辽宁抚顺)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n交于B(0，4)，C(3，1)两点．直线y＝mx+n与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO．
(1)求抛物线的解析式
(2)如图1，连接PC，OC，△OPC和△OPB面积之比为1：2，求点P的坐标；
(3)如图2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，PA，当MN∥PA时，直接写出点P的坐标．

【答案】见解析。
【解析】(1)直接将B(0，4)，C(3，1)代入y＝﹣x2+bx+c，解方程组即可；
(2)待定系数法求BC解析式：y＝﹣x+4，OC解析式：y＝x，设P(m，﹣m2+2m+4)，由△OPC和△OPB面积之比为1：2，可得：2m＝2(﹣+m+6)，求解即可得点P的坐标；
(3)过点P作PD⊥y轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，设点P(m，﹣m2+2m+4)，根据相似三角形性质可得方程求解即可．
解：(1)B(0，4)，C(3，1)代入y＝﹣x2+bx+c，
可得b＝2，c＝4，
∴y＝﹣x2+2x+4；
(2)B(0，4)，C(3，1)代入y＝mx+n，
可得m＝﹣1，n＝4， ∴y＝﹣x+4，
易求直线OC解析式为：y＝x
∵P为直线AB上方的抛物线上一点，
设P(m，﹣m2+2m+4)，则0＜m＜3，过点P作PD⊥y轴于D，作PF⊥x轴于F，交OC于G，过C作CE⊥x轴于E，
∴G(m，m)，E(3，0)，
∴PD＝m，PG＝(﹣m2+2m+4)﹣m＝﹣m2+m+4，OE＝3
S△OBP＝OB•PD＝2m，
S△OPC＝OE•PG＝﹣+m+6，
∵△OPC和△OPB面积之比为1：2，
∴2m＝2(﹣+m+6)，解得：m1＝，m2＝(舍去)；
∴P(，)；
(3)∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣(x﹣1)2+5
∴抛物线对称轴为：直线x＝1
如图2，过点P作PD⊥y轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，
设点P(m，﹣m2+2m+4)，则PE＝m﹣1，DE＝1，DP＝m
易得直线OP解析式为：y＝x，联立方程组
解得：，∴FN＝，
∵MN∥PA ∴＝
∵ME∥y轴， ∴＝，
∵FN∥x轴， ∴＝，
∴＝，即：DE•OA＝FN•DP，1×4＝×m，
解得：(舍去)，，
∴P(，)．

14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1(m＞0)与x轴的交点为A，B．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

【答案】见解析。
【解析】(1)∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(x﹣1)2﹣1，
∴抛物线顶点坐标(1，﹣1)．
(2)①∵m=1，
∴抛物线为y=x2﹣2x，
令y=0，得x=0或2，不妨设A(0，0)，B(2，0)，
∴线段AB上整点的个数为3个．
②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，
∴点A在(﹣1，0)与(﹣2，0)之间(包括(﹣1，0))，
当抛物线经过(﹣1，0)时，m=，
当抛物线经过点(﹣2，0)时，m=，
∴m的取值范围为＜m≤．

【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．