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2021年中考数学专题复习 专题52 中考数学最值问题（教师版含解析）
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这是一份2021年中考数学专题复习 专题52 中考数学最值问题（教师版含解析），共40页。教案主要包含了解决几何最值问题的要领，解决代数最值问题的方法要领等内容，欢迎下载使用。
在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。
一、解决几何最值问题的要领
(1)两点之间线段最短；
(2)直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
(3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。
二、解决代数最值问题的方法要领
1.二次函数的最值公式
二次函数(a、b、c为常数且)其性质中有
①若当时，y有最小值。；
②若当时，y有最大值。。
2.一次函数的增减性.一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大(小)值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大(小)值。
3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。
6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解.在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。
8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
【例题1】(2020•黑龙江)如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四边形EGCD是平行四边形，得到ED＝GC，于是得到EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．
∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，
∴EG＝AB＝1，EG∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴EG＝CD，EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴ED＝GC，
∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，
∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，
则CM的长度即为EC+DE的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADM＝60°，DH＝MH=12AD=12，
∴DM＝1，
∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2×32CD=3．
【对点练习】(2020•内江)如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
【答案】15．
【解析】作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．
解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．
∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB=ADtan30°=103，
∵A′H⊥AB，
∴AH＝HB＝53，
∴A′H=3AH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H，
∴AM+MN≤15，
∴AM+MN的最小值为15．
【例题2】(2020•襄阳)受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？
(3)若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．
【分析】(1)由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
(2)设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果(100﹣a)千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
(3)根据(2)的结论列不等式解答即可．
【解析】(1)当0≤x≤50是，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，
解得k＝30；
∴y＝30x；
当x＞50时，设y＝k1x+b，
根据题意得，
50k+b=150070k+b=1980，解得k=24b=300，
∴y＝24x+3000．
∴y=30x(0≤x≤50)24x+300(x＞50)，
(2)设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果(100﹣a)千克，
∴40≤a≤60，
当40≤a≤50时，w1＝30a+25(100﹣a)＝5a+2500．
当a＝40 时．wmin＝2700 元，
当50＜a≤60时，w2＝24a+25(100﹣a)＝﹣a+2500．
当a＝60时，wmin＝2440 元，
∵2440＜2700，
∴当a＝60时，总费用最少，最少总费用为2440 元．
此时乙种水果100﹣60＝40(千克)．
答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少．
(3)由题意得：(40﹣24)×35a+(36﹣25)×25a≥1650，
解得a≥11767，
∵a为正整数，
∴a≥118，
∴a的最小值为118．
【对点练习】(2020海南模拟)某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【答案】看解析。
【解析】(1)设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1－x)，第二次降价后的价格为10(1－x)2，进而可得方程；(2)分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“(2)中最大利润－[(8.1－a－4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解．
解答：(1)设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：
10(1－x)2＝8.1．
解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)
答：该种水果每次降价的百分率为10%．
第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%)＝9(元/斤)，
当1≤x＜9时，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352；
当9≤x＜15时，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80，
综上，y与x的函数关系式为：y＝EQ \B\lc\{(\a\al(－17.7x＋352(1≤x＜9，x为整数)，,－3x\S\UP6(2)＋60x＋80(9≤x＜15，x为整数)．))
当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，∴当x＝1时，y最大＝334.3(元)；
当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∴当x＝10时，y最大＝380(元)；
∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大．
(3)设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：
380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，
解得：a≤0.5，
则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．
所以当时，最大利润为1950元。
【例题3】(2020•乐山)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为( )
A．-12B．-32C．﹣2D．-14
【答案】A
【分析】确定OQ是△ABP的中位线，OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2＝32，即可求解．
【解析】点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=12BP最大，
而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
设点B(m，﹣m)，则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2＝32，
解得：m2=12，
∴k＝m(﹣m)=-12
【对点练习】(2019云南)如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
【答案】2．
【解析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，∴=，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2，
即PA+PB的最小值2．
【例题4】(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点(﹣1，0)，(2，0)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y＝(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
【答案】见解析。
【分析】(1)由二次函数的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
(2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x=12是函数有最小值-94，进而求得它们的差；
(3)由题意得x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0，因为a＜2＜b，a≠b，△＝(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0，把x＝3代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜-12．
【解析】(1)由二次函数y＝x2+px+q的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点，
∴1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，
∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；
当x=12是函数有最小值：y=14-12-2=-94，
∴的最大值与最小值的差为：4﹣(-94)=254；
(3)∵y＝(2﹣m)x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得
x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0
∵a＜3＜b
∴a≠b
∴△＝(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0
∴m≠5
∵a＜3＜b
当x＝3时，(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，
把x＝3代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜-12
∴m的取值范围为m＜-12．
【对点练习】(2019海南)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(2)①S△PBC＝PG(xC﹣xB)，即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，
即点C(﹣1，0)；
(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，
S△PBC＝PG(xC﹣xB)＝(t+1﹣t2﹣6t﹣5)＝﹣t2﹣t﹣6，
∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为(﹣，﹣)，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点(﹣，﹣)代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，
同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(﹣，﹣)；
当点P(P′)在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(0，5)；
故点P的坐标为P(﹣，﹣)或(0，5)．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中(2)，要主要分类求解，避免遗漏．
【例题5】(2020无锡模拟)如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．
【答案】4
【解析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=x，CD′=(4﹣x)，
根据勾股定理然后用配方法即可求解．
解：设AC=x，BC=4﹣x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，
∴CD=x，CD′=(4﹣x)，
∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE2=CD2+CE2=x2+(4﹣x)2=x2﹣4x+8=(x﹣2)2+4，
∵根据二次函数的最值，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．
【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．
【对点练习】(2019年黑龙江大庆)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B，A重合的情况)，运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x(s)，AE的长为y(cm)．
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
【答案】见解析。
【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
(1)由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式.
动点D运动x秒后，BD＝2x．
又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴y关于x的函数关系式为y＝(0＜x＜4)．
(2)由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
S△BDE＝＝＝(0＜x＜4)．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
一、填空题
1．(2020•扬州)如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
【答案】93．
【解析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．
作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝43，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴EOGO=DOOC=EDGC，
∵DF=14DE，
∴DEEF=45，
∴EDGC=45，
∴EOGO=45，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝43，
∴GO＝53，
∴EG的最小值是93，
2．(2020•凉山州)如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 ．
【答案】10．
【解析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，BE＝3，
∴AE＝5，
∵AD＝12，
∴DE=52+122=13，
由折叠得：EB＝EP＝3，
∵EP+DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10
3．(2020•聊城)如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 ．
【答案】4+25．
【分析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵点A(1，1)，点C的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B(3，3)
∴C(3，1)，
∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，
过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE=EF2+AF2=22+42=25，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+25
4．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
【答案】3
【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．
由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，
连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．
【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．
5.(2020四川绵阳模拟)不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
【答案】5
【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h
因为，所以
又因为，代入
得，所以
又因为，代入
得，所以
所以3
6.(2020齐齐哈尔模拟)设a、b为实数，那么的最小值为_______。
【答案】-1
【解析】
当，，即时，
上式等号成立。故所求的最小值为－1。
二、解答题
7．(2020•达州)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
(1)求表中a的值；
(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】见解析。
【分析】(1)根据数量＝总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；
(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润＝单件(单套)利润×销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】(1)根据题意得：600a-140=1300a，
解得a＝260，
经检验，a＝260是原分式方程的解．
答：表中a的值为260．
(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，
根据题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
设销售利润为y元，
根据题意得：y＝[940﹣260﹣4×(260﹣140)]×12x+(380﹣260)×12x+[160﹣(260﹣140)]×(5x+20﹣4×12x)＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
8．(2020•泸州)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【答案】见解析。
【分析】(1)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20(30﹣x)＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；
(2)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】(1)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，
根据题意得30x+20(30﹣x)＝800，
解得x＝20，
则30﹣x＝10，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
(2)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，设购买两种奖品的总费用为w元，
根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，
w＝30x+20(30﹣x)＝10x+600，
∵10＞0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
9．(2020•重庆)探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质．
(1)列表，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答)：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
(3)已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2＜-23x-103的解集．
【答案】见解析。
【分析】(1)将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
(2)结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
(3)根据图象求得即可．
【解析】(1)x＝﹣3、0分别代入y=-12x2+2，得a=-129+2=-1211，b=-120+2=-6，
故答案为-1211，﹣6；
画出函数的图象如图：
，
故答案为-1211，﹣6；
(2)根据函数图象：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称，说法正确；
②当x＝0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为﹣6，说法正确；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．
(3)由图象可知：不等式-12x2+2＜-23x-103的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
10．(2020•绥化)如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx(x＞0)的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n(m≠0)．
(1)求反比例函数y1=kx(x＞0)的解析式和直线DE的解析式；
(2)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，△PDE的周长最小值是 ．
【答案】见解析。
【分析】(1)根据线段中点的定义和矩形的性质得到D(1，4)，解方程和方程组即可得到结论；
(2)作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=-23x+103，于是得到结论；
(3)根据勾股定理即可得到结论．
【解析】(1)∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D(1，4)，
∵反比例函数y1=kx(x＞0)的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x(x＞0)，
当x＝2时，y＝2，
∴E(2，2)，
把D(1，4)和E(2，2)代入y2＝mx+n(m≠0)得，2m+n=2m+n=4，
∴m=-2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
(2)作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为(1，4)，
∴D′的坐标为(﹣1，4)，
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=-a+b2=2a+b，解得：a=-23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=-23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为(0，103)；
(3)∵D(1，4)，E(2，2)，
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由(2)知，D′的坐标为(﹣1，4)，
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
11．(2020•临沂)如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
(1)求证：AF＝EF；
(2)求MN+NG的最小值；
(3)当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
【答案】见解析。
【分析】(1)连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF＝EF和CF＝AF即可得证；
(2)连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解；
(3)延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，再由AF＝CF＝EF，得到∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，从而推断出∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FAE+∠CEF，从而可求出∠ABF＝∠CEF＝30°，即可证明．
【解析】(1)连接CF，
∵FG垂直平分CE，
∴CF＝EF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，
∴CF＝AF，
∴AF＝EF；
(2)连接AC，
∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
∴MN=12AF，NG=12CF，即MN+NG=12(AF+CF)，
当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，
AF+CF最小，即此时MN+NG最小，
∵菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝1，
即MN+NG的最小值为12；
(3)不变，理由是：
延长EF，交DC于H，
∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠FAE+∠FEA，
∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，
∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：
∠AFD＝∠CFD=12∠AFC，
∵AF＝CF＝EF，
∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，
∴∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FAE+∠CEF，
∴∠ABF＝∠CEF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．
12．(2020•广元)如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离62千米处是学校B．(参考数据：sin36.5°＝0.6，cs36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75)．
(1)求学校A，B两点之间的距离；
(2)要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
【答案】见解析。
【分析】(1)过点A作CD∥MN，BE⊥MN，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△MBE中求出BE，ME，继而得出AD，BD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理可得出AB的长度．
(2)作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，点P即为站点，求出AG的长度即可．
【解析】(1)过点A作CD∥MN，BE⊥MN，如图：
在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，
∵sin36.5°=CA5=0.6，
∴CA＝3，MC＝4km，
在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB=62km，
∵sin45°=BE62=22，
∴BE＝6，ME＝6km，
∴AD＝CD﹣CA＝ME﹣CA＝3km，BD＝BE﹣DE＝BE﹣CM＝2km，
在Rt△ABD中，AB=13km．
(2)作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为站点，
此时PA+PB＝PA+PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长
在Rt△ADG中，AD＝3，DG＝DE+EG＝DE+BE＝4+6＝10，∠ADG＝90°，
∴AG=AD2+DG2=32+102=109km．
答：最短距离为109km．
13．(2020•武威)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若PC∥AB，求点P的坐标；
(3)连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】见解析。
【分析】(1)抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB=12，确定点A、B、C的坐标；即可求解；
(2)抛物线的对称轴为x=-74，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；
(3)△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA，即可求解．
【解析】(1)抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB=12，
故点A、B、C的坐标分别为(﹣4，0)、(12，0)、(0，﹣2)；
则y＝a(x+4)(x-12)＝a(x2+72x﹣2)＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+72x﹣2；
(2)抛物线的对称轴为x=-74，
当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P(-74，﹣2)；
(3)过点P作PH∥y轴交AC于点H，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-12x﹣2，
则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA=12×4×(-12x﹣2﹣x2-72x+2)＝﹣2(x+2)2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．
14．(2020•枣庄)如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【分析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
(2)PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m)=-26(m﹣2)2+223，即可求解；
(3)分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．
【解析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-13b=13，
故抛物线的表达式为：y=-13x2+13x+4；
(2)由抛物线的表达式知，点C(0，4)，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
设点M(m，0)，则点P(m，-13m2+13m+4)，点Q(m，﹣m+4)，
∴PQ=-13m2+13m+4+m﹣4=-13m2+43m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m)=-26(m﹣2)2+223，
∵-26＜0，故当m＝2时，PN有最大值为223；
(3)存在，理由：
点A、C的坐标分别为(﹣3，0)、(0，4)，则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，
则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣(﹣m+4)]2＝25，
解得：m＝±522(舍去负值)，
故点Q(522，8-522)；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2＝25，解得：m＝1或0(舍去0)，
故点Q(1，3)；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝(﹣3)]2+(﹣m+4)2，解得：m=252(舍去)；
综上，点Q的坐标为(1，3)或(522，8-522)．
15．(2020•天津)已知点A(1，0)是抛物线y＝ax2+bx+m(a，b，m为常数，a≠0，m＜0)与x轴的一个交点．
(Ⅰ)当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m，0)，与y轴的交点为C，过点C作直线1平行于x轴，E是直线1上的动点，F是y轴上的动点，EF＝22．
①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是22？
【答案】见解析。
【分析】(Ⅰ)将A(1，0)代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；
(Ⅱ)①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣(m+1)x+m．则点C(0，m)，点E(m+1，m)，过点A作AH⊥l于点H，由点A(1，0)，得点H(1，m)．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；
②得出CN=12EF=2．求出MC=-2m，当MC≥2，即m≤﹣1时，当MC＜2，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．
【解析】(Ⅰ)当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．
∵抛物线经过点A(1，0)，
∴0＝1+b﹣3，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣1，﹣4)．
(Ⅱ)①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A(1，0)和M(m，0)，m＜0，
∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．
∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣(m+1)x+m．
根据题意得，点C(0，m)，点E(m+1，m)，
过点A作AH⊥l于点H，由点A(1，0)，得点H(1，m)．
在Rt△EAH中，EH＝1﹣(m+1)＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，
∴AE=EH2+HA2=-2m，
∵AE＝EF＝22，
∴-2m＝22，解得m＝﹣2．
此时，点E(﹣1，﹣2)，点C(0，﹣2)，有EC＝1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．
∴点F的坐标为(0，﹣2-7)或(0，﹣2+7)．
②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．
根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上，
由点M(m，0)，点C(0，m)，得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．
当MC≥2，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为MC﹣NC=-2m-2=22，解得m=-32；
当MC＜2，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC=2-(-2m)=22，
解得m=-12．
∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．
时间(天)
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价(元/斤)
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量(斤)
80－3x
120－x
储存和损耗费用(元)
40＋3x
3x2－64x＋400
原进价(元/张)
零售价(元/张)
成套售价(元/套)
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
-23
a
﹣2
﹣4
b
﹣4
﹣2
-1211
-23
…
在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。
一、解决几何最值问题的要领
(1)两点之间线段最短；
(2)直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
(3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。
二、解决代数最值问题的方法要领
1.二次函数的最值公式
二次函数(a、b、c为常数且)其性质中有
①若当时，y有最小值。；
②若当时，y有最大值。。
2.一次函数的增减性.一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大(小)值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大(小)值。
3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。
6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解.在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。
8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
【例题1】(2020•黑龙江)如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四边形EGCD是平行四边形，得到ED＝GC，于是得到EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．
∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，
∴EG＝AB＝1，EG∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴EG＝CD，EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴ED＝GC，
∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，
∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，
则CM的长度即为EC+DE的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADM＝60°，DH＝MH=12AD=12，
∴DM＝1，
∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2×32CD=3．
【对点练习】(2020•内江)如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
【答案】15．
【解析】作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．
解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．
∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB=ADtan30°=103，
∵A′H⊥AB，
∴AH＝HB＝53，
∴A′H=3AH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H，
∴AM+MN≤15，
∴AM+MN的最小值为15．
【例题2】(2020•襄阳)受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？
(3)若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．
【分析】(1)由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
(2)设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果(100﹣a)千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
(3)根据(2)的结论列不等式解答即可．
【解析】(1)当0≤x≤50是，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，
解得k＝30；
∴y＝30x；
当x＞50时，设y＝k1x+b，
根据题意得，
50k+b=150070k+b=1980，解得k=24b=300，
∴y＝24x+3000．
∴y=30x(0≤x≤50)24x+300(x＞50)，
(2)设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果(100﹣a)千克，
∴40≤a≤60，
当40≤a≤50时，w1＝30a+25(100﹣a)＝5a+2500．
当a＝40 时．wmin＝2700 元，
当50＜a≤60时，w2＝24a+25(100﹣a)＝﹣a+2500．
当a＝60时，wmin＝2440 元，
∵2440＜2700，
∴当a＝60时，总费用最少，最少总费用为2440 元．
此时乙种水果100﹣60＝40(千克)．
答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少．
(3)由题意得：(40﹣24)×35a+(36﹣25)×25a≥1650，
解得a≥11767，
∵a为正整数，
∴a≥118，
∴a的最小值为118．
【对点练习】(2020海南模拟)某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【答案】看解析。
【解析】(1)设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1－x)，第二次降价后的价格为10(1－x)2，进而可得方程；(2)分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“(2)中最大利润－[(8.1－a－4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解．
解答：(1)设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：
10(1－x)2＝8.1．
解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)
答：该种水果每次降价的百分率为10%．
第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%)＝9(元/斤)，
当1≤x＜9时，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352；
当9≤x＜15时，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80，
综上，y与x的函数关系式为：y＝EQ \B\lc\{(\a\al(－17.7x＋352(1≤x＜9，x为整数)，,－3x\S\UP6(2)＋60x＋80(9≤x＜15，x为整数)．))
当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，∴当x＝1时，y最大＝334.3(元)；
当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∴当x＝10时，y最大＝380(元)；
∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大．
(3)设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：
380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，
解得：a≤0.5，
则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．
所以当时，最大利润为1950元。
【例题3】(2020•乐山)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为( )
A．-12B．-32C．﹣2D．-14
【答案】A
【分析】确定OQ是△ABP的中位线，OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2＝32，即可求解．
【解析】点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=12BP最大，
而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，
则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
设点B(m，﹣m)，则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2＝32，
解得：m2=12，
∴k＝m(﹣m)=-12
【对点练习】(2019云南)如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
【答案】2．
【解析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，∴=，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2，
即PA+PB的最小值2．
【例题4】(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点(﹣1，0)，(2，0)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y＝(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
【答案】见解析。
【分析】(1)由二次函数的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
(2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x=12是函数有最小值-94，进而求得它们的差；
(3)由题意得x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0，因为a＜2＜b，a≠b，△＝(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0，把x＝3代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜-12．
【解析】(1)由二次函数y＝x2+px+q的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点，
∴1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，
∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；
当x=12是函数有最小值：y=14-12-2=-94，
∴的最大值与最小值的差为：4﹣(-94)=254；
(3)∵y＝(2﹣m)x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得
x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0
∵a＜3＜b
∴a≠b
∴△＝(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0
∴m≠5
∵a＜3＜b
当x＝3时，(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，
把x＝3代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜-12
∴m的取值范围为m＜-12．
【对点练习】(2019海南)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(2)①S△PBC＝PG(xC﹣xB)，即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，
即点C(﹣1，0)；
(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，
S△PBC＝PG(xC﹣xB)＝(t+1﹣t2﹣6t﹣5)＝﹣t2﹣t﹣6，
∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为(﹣，﹣)，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点(﹣，﹣)代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，
同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(﹣，﹣)；
当点P(P′)在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)，
故点P(0，5)；
故点P的坐标为P(﹣，﹣)或(0，5)．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中(2)，要主要分类求解，避免遗漏．
【例题5】(2020无锡模拟)如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．
【答案】4
【解析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=x，CD′=(4﹣x)，
根据勾股定理然后用配方法即可求解．
解：设AC=x，BC=4﹣x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，
∴CD=x，CD′=(4﹣x)，
∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE2=CD2+CE2=x2+(4﹣x)2=x2﹣4x+8=(x﹣2)2+4，
∵根据二次函数的最值，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．
【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．
【对点练习】(2019年黑龙江大庆)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B，A重合的情况)，运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x(s)，AE的长为y(cm)．
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
【答案】见解析。
【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
(1)由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式.
动点D运动x秒后，BD＝2x．
又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴y关于x的函数关系式为y＝(0＜x＜4)．
(2)由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
S△BDE＝＝＝(0＜x＜4)．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
一、填空题
1．(2020•扬州)如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
【答案】93．
【解析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．
作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝43，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴EOGO=DOOC=EDGC，
∵DF=14DE，
∴DEEF=45，
∴EDGC=45，
∴EOGO=45，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝43，
∴GO＝53，
∴EG的最小值是93，
2．(2020•凉山州)如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 ．
【答案】10．
【解析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，BE＝3，
∴AE＝5，
∵AD＝12，
∴DE=52+122=13，
由折叠得：EB＝EP＝3，
∵EP+DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10
3．(2020•聊城)如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 ．
【答案】4+25．
【分析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵点A(1，1)，点C的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B(3，3)
∴C(3，1)，
∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，
过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE=EF2+AF2=22+42=25，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+25
4．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
【答案】3
【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．
由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，
连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．
【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．
5.(2020四川绵阳模拟)不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
【答案】5
【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h
因为，所以
又因为，代入
得，所以
又因为，代入
得，所以
所以3
6.(2020齐齐哈尔模拟)设a、b为实数，那么的最小值为_______。
【答案】-1
【解析】
当，，即时，
上式等号成立。故所求的最小值为－1。
二、解答题
7．(2020•达州)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
(1)求表中a的值；
(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】见解析。
【分析】(1)根据数量＝总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；
(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润＝单件(单套)利润×销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】(1)根据题意得：600a-140=1300a，
解得a＝260，
经检验，a＝260是原分式方程的解．
答：表中a的值为260．
(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，
根据题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
设销售利润为y元，
根据题意得：y＝[940﹣260﹣4×(260﹣140)]×12x+(380﹣260)×12x+[160﹣(260﹣140)]×(5x+20﹣4×12x)＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
8．(2020•泸州)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【答案】见解析。
【分析】(1)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20(30﹣x)＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；
(2)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】(1)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，
根据题意得30x+20(30﹣x)＝800，
解得x＝20，
则30﹣x＝10，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
(2)设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了(30﹣x)件，设购买两种奖品的总费用为w元，
根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，
w＝30x+20(30﹣x)＝10x+600，
∵10＞0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
9．(2020•重庆)探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质．
(1)列表，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答)：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
(3)已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2＜-23x-103的解集．
【答案】见解析。
【分析】(1)将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
(2)结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
(3)根据图象求得即可．
【解析】(1)x＝﹣3、0分别代入y=-12x2+2，得a=-129+2=-1211，b=-120+2=-6，
故答案为-1211，﹣6；
画出函数的图象如图：
，
故答案为-1211，﹣6；
(2)根据函数图象：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称，说法正确；
②当x＝0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为﹣6，说法正确；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．
(3)由图象可知：不等式-12x2+2＜-23x-103的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
10．(2020•绥化)如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx(x＞0)的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n(m≠0)．
(1)求反比例函数y1=kx(x＞0)的解析式和直线DE的解析式；
(2)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，△PDE的周长最小值是 ．
【答案】见解析。
【分析】(1)根据线段中点的定义和矩形的性质得到D(1，4)，解方程和方程组即可得到结论；
(2)作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=-23x+103，于是得到结论；
(3)根据勾股定理即可得到结论．
【解析】(1)∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D(1，4)，
∵反比例函数y1=kx(x＞0)的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x(x＞0)，
当x＝2时，y＝2，
∴E(2，2)，
把D(1，4)和E(2，2)代入y2＝mx+n(m≠0)得，2m+n=2m+n=4，
∴m=-2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
(2)作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为(1，4)，
∴D′的坐标为(﹣1，4)，
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=-a+b2=2a+b，解得：a=-23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=-23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为(0，103)；
(3)∵D(1，4)，E(2，2)，
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由(2)知，D′的坐标为(﹣1，4)，
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
11．(2020•临沂)如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
(1)求证：AF＝EF；
(2)求MN+NG的最小值；
(3)当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
【答案】见解析。
【分析】(1)连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF＝EF和CF＝AF即可得证；
(2)连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解；
(3)延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，再由AF＝CF＝EF，得到∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，从而推断出∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FAE+∠CEF，从而可求出∠ABF＝∠CEF＝30°，即可证明．
【解析】(1)连接CF，
∵FG垂直平分CE，
∴CF＝EF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴A和C关于对角线BD对称，
∴CF＝AF，
∴AF＝EF；
(2)连接AC，
∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，
∴MN=12AF，NG=12CF，即MN+NG=12(AF+CF)，
当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，
AF+CF最小，即此时MN+NG最小，
∵菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝1，
即MN+NG的最小值为12；
(3)不变，理由是：
延长EF，交DC于H，
∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠FAE+∠FEA，
∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，
∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：
∠AFD＝∠CFD=12∠AFC，
∵AF＝CF＝EF，
∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，
∴∠AFD＝∠FAE+∠ABF＝∠FAE+∠CEF，
∴∠ABF＝∠CEF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．
12．(2020•广元)如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离62千米处是学校B．(参考数据：sin36.5°＝0.6，cs36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75)．
(1)求学校A，B两点之间的距离；
(2)要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
【答案】见解析。
【分析】(1)过点A作CD∥MN，BE⊥MN，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△MBE中求出BE，ME，继而得出AD，BD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理可得出AB的长度．
(2)作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，点P即为站点，求出AG的长度即可．
【解析】(1)过点A作CD∥MN，BE⊥MN，如图：
在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，
∵sin36.5°=CA5=0.6，
∴CA＝3，MC＝4km，
在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB=62km，
∵sin45°=BE62=22，
∴BE＝6，ME＝6km，
∴AD＝CD﹣CA＝ME﹣CA＝3km，BD＝BE﹣DE＝BE﹣CM＝2km，
在Rt△ABD中，AB=13km．
(2)作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为站点，
此时PA+PB＝PA+PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长
在Rt△ADG中，AD＝3，DG＝DE+EG＝DE+BE＝4+6＝10，∠ADG＝90°，
∴AG=AD2+DG2=32+102=109km．
答：最短距离为109km．
13．(2020•武威)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若PC∥AB，求点P的坐标；
(3)连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】见解析。
【分析】(1)抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB=12，确定点A、B、C的坐标；即可求解；
(2)抛物线的对称轴为x=-74，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；
(3)△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA，即可求解．
【解析】(1)抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB=12，
故点A、B、C的坐标分别为(﹣4，0)、(12，0)、(0，﹣2)；
则y＝a(x+4)(x-12)＝a(x2+72x﹣2)＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+72x﹣2；
(2)抛物线的对称轴为x=-74，
当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P(-74，﹣2)；
(3)过点P作PH∥y轴交AC于点H，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-12x﹣2，
则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA=12×4×(-12x﹣2﹣x2-72x+2)＝﹣2(x+2)2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．
14．(2020•枣庄)如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【分析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
(2)PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m)=-26(m﹣2)2+223，即可求解；
(3)分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．
【解析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-13b=13，
故抛物线的表达式为：y=-13x2+13x+4；
(2)由抛物线的表达式知，点C(0，4)，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
设点M(m，0)，则点P(m，-13m2+13m+4)，点Q(m，﹣m+4)，
∴PQ=-13m2+13m+4+m﹣4=-13m2+43m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°=22(-13m2+43m)=-26(m﹣2)2+223，
∵-26＜0，故当m＝2时，PN有最大值为223；
(3)存在，理由：
点A、C的坐标分别为(﹣3，0)、(0，4)，则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，
则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣(﹣m+4)]2＝25，
解得：m＝±522(舍去负值)，
故点Q(522，8-522)；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣(﹣3)]2+(﹣m+4)2＝25，解得：m＝1或0(舍去0)，
故点Q(1，3)；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝(﹣3)]2+(﹣m+4)2，解得：m=252(舍去)；
综上，点Q的坐标为(1，3)或(522，8-522)．
15．(2020•天津)已知点A(1，0)是抛物线y＝ax2+bx+m(a，b，m为常数，a≠0，m＜0)与x轴的一个交点．
(Ⅰ)当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m，0)，与y轴的交点为C，过点C作直线1平行于x轴，E是直线1上的动点，F是y轴上的动点，EF＝22．
①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是22？
【答案】见解析。
【分析】(Ⅰ)将A(1，0)代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；
(Ⅱ)①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣(m+1)x+m．则点C(0，m)，点E(m+1，m)，过点A作AH⊥l于点H，由点A(1，0)，得点H(1，m)．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；
②得出CN=12EF=2．求出MC=-2m，当MC≥2，即m≤﹣1时，当MC＜2，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．
【解析】(Ⅰ)当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．
∵抛物线经过点A(1，0)，
∴0＝1+b﹣3，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣1，﹣4)．
(Ⅱ)①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A(1，0)和M(m，0)，m＜0，
∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．
∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣(m+1)x+m．
根据题意得，点C(0，m)，点E(m+1，m)，
过点A作AH⊥l于点H，由点A(1，0)，得点H(1，m)．
在Rt△EAH中，EH＝1﹣(m+1)＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，
∴AE=EH2+HA2=-2m，
∵AE＝EF＝22，
∴-2m＝22，解得m＝﹣2．
此时，点E(﹣1，﹣2)，点C(0，﹣2)，有EC＝1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．
∴点F的坐标为(0，﹣2-7)或(0，﹣2+7)．
②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．
根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上，
由点M(m，0)，点C(0，m)，得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．
当MC≥2，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为MC﹣NC=-2m-2=22，解得m=-32；
当MC＜2，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC=2-(-2m)=22，
解得m=-12．
∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．
时间(天)
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价(元/斤)
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量(斤)
80－3x
120－x
储存和损耗费用(元)
40＋3x
3x2－64x＋400
原进价(元/张)
零售价(元/张)
成套售价(元/套)
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
-23
a
﹣2
﹣4
b
﹣4
﹣2
-1211
-23
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