2021年中考数学专题复习 专题36 一次函数问题（教师版含解析）

这是一份2021年中考数学专题复习 专题36 一次函数问题（教师版含解析），共25页。教案主要包含了一次函数，一象限，y随x的增大而增大；等内容，欢迎下载使用。

专题36 一次函数问题

一、一次函数
1．一次函数的定义
一般地，形如(，是常数，且)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。
2．一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。
3．一次函数的性质
(1)当k>0时，图象主要经过第一、三象限；此时，y随x的增大而增大；
(2)当k<0时，图象主要经过第二、四象限，此时，y随x的增大而减小；
(3)当b>0时，直线交y轴于正半轴；
(4)当b<0时，直线交y轴于负半轴。
二、正比例函数
1．正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2.正比例函数的图像：是经过原点的一条直线。
3．正比例函数的性质
(1)当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，y随x的增大而增大；
(2)当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，y随x的增大而减小．
三、一次函数和正比例函数的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)
四、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
(3)解方程得出未知系数的值；
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.



【例题1】(2020贵州黔西南)如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．

【答案】y＝－2x
【解析】首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．
∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在一次函数y＝－x＋1上，
∴2＝－x＋1，解得x＝－1，
∴点P的坐标为(－1，2)．
设正比例函数解析式为y＝kx，
把P(－1，2)代入得2＝－k，解得k＝－2，
∴正比例函数解析式为y＝－2x
【点拨】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．
【对点练习】(2019广西桂林)如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为　　

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，，，
，，
四边形分成面积，
可求的直线解析式为，
设过的直线为，
将点代入解析式得，
直线与该直线的交点为，，
直线与轴的交点为，，
，
或，
，
直线解析式为
【例题2】(2020•杭州)在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a(a≠0)的图象过点P(1，2)，则该函数的图象可能是(　　)
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】求得解析式即可判断．
【解析】∵函数y＝ax+a(a≠0)的图象过点P(1，2)，
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点(1，2)。
【对点练习】(2019年陕西省)对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正比例函数，所以当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2，故，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加．
【例题3】(2020•上海)小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　 　米．

【答案】350
【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将(8，960)、(20，1800)代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．
【解析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将(8，960)、(20，1800)代入，得：
8k+b=96020k+b=1800，
解得：k=70b=400，
∴s＝70t+400；
当t＝15时，s＝1450，
1800﹣1450＝350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米。
【对点练习】(2019•贵州安顺)安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千元)与每千元降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

【答案】见解析。
【解析】(1)设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
(2)由题意得：
(60﹣40﹣x)(10 x+100)＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1．x2＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【例题4】(2020•北京)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【答案】见解析。
【分析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A(1，2)代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)根据点(1，2)结合图象即可求得．
【解析】(1)∵一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点(1，2)代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
(2)把点(1，2)代入y＝mx求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴m≥2．

【对点练习】(2019•上海)在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A(2，3)，与x轴交于点B．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．

【答案】(1)一次函数的解析式为y＝x+2；
(2)点C的坐标是(0，﹣)．
【解析】设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；
求得一次函数的图形与x轴的解得为B(﹣4，0)，根据两点间的距离公式即可得到结论．
(1)设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线y＝x，
∴k＝，
∵一次函数的图象经过点A(2，3)，
∴3＝+b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
(2)由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B(﹣4，0)，
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为(0，y)，
∵AC＝BC，
∴＝，
∴y＝﹣，
经检验：y＝﹣是原方程的根，
∴点C的坐标是(0，﹣)．

一、 选择题
1．(2020•甘孜州)函数y=1x+3中，自变量x的取值范围是(　　)
A．x＞﹣3 B．x＜3 C．x≠﹣3 D．x≠3
【答案】C
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解析】由题意得x+3≠0，
解得x≠﹣3．
2．(2020•内江)将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为(　　)
A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+3
【答案】C
【分析】根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案．
【解析】直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，
3．(2020•凉山州)若一次函数y＝(2m+1)x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是(　　)
A．m＞-12 B．m＜3 C．-12＜m＜3 D．-12＜m≤3
【答案】D
【分析】根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可．
【解析】根据题意得2m+1＞0m-3≤0，
解得-12＜m≤3．
4.(2020•菏泽)函数y=x-2x-5的自变量x的取值范围是(　　)
A．x≠5 B．x＞2且x≠5 C．x≥2 D．x≥2且x≠5
【答案】D
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解析】由题意得x﹣2≥0且x﹣5≠0，
解得x≥2且x≠5．
5．(2020•安徽)如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为(　　)

A． B．
C． D．

【答案】A
【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
【解析】如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．

∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH=32EJ=32x，
∴y=12EJ•GH=34x2．
当x＝2时，y=3，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．

y=12FJ•GH=34(4﹣x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
6.(2019•江苏扬州)若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】坐标系中，一次函数经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限。
7.(2019贵州省毕节市)已知一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是(　　)
A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0
【答案】B．
【解析】y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴kb＜0；故选：B．
8.(2019广西梧州)直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是：．
9.(2019湖南邵阳)一次函数的图象如图所示，将直线向下平移若干个单位后得直线，的函数表达式为．下列说法中错误的是　　

A． B．
C． D．当时，
【答案】B
【解析】将直线向下平移若干个单位后得直线，
直线直线，
，
直线向下平移若干个单位后得直线，
，
当时，
10.(2019•浙江杭州)已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a(a≠b)，函数y1和y2的图象可能是(　　)

A B C D
【答案】A
【解析】根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．
A.由①可知：a＞0，b＞0．
∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；
B.由①可知：a＜0，b＞0．
∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；
C.由①可知：a＜0，b＞0．
∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；
D.由①可知：a＜0，b＜0，
∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．
二、填空题
11．(2020•黑龙江)在函数y=12x-3中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x＞1.5．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解析】由题意得2x﹣3＞0，
解得x＞1.5．
12．(2020•上海)已知f(x)=2x-1，那么f(3)的值是　 　．
【答案】1
【分析】根据f(x)=2x-1，可以求得f(3)的值，本题得以解决．
【解析】∵f(x)=2x-1，
∴f(3)=23-1=1
13．(2020•黔东南州)把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为　 　．
【答案】y＝2x+3．
【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
【解析】把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2(x+1)﹣1＝2x+1，
再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．
14．(2020•遵义)如图，直线y＝kx+b(k、b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx+b＜2的解集为　 　．

【答案】x＜4．
【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+2在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．
【解析】∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A(4，2)，
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为x＜4．
15.(2020•绥化)黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y(km)与行驶时间x(h)的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是　　km/h．

【答案】65
【分析】根据函数图象得出2小时后货车的解析式后解答即可．
【解析】由图象可得：货车行驶的路程y(km)与行驶时间x(h)的函数关系为y＝78x(x≤2)，和x＞2时设其解析式为：y＝kx+b，
把(2，156)和(3，221)代入解析式，可得：2k+b=1563k+b=221，
解得：k=65b=26，
所以解析式为：y＝65x+26(x＞2)，
所以2小时后货车的速度是65km/h。
16.(2019•江苏无锡)已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解
集为　 　．

【答案】x＜2．
【解析】直接利用图象把(﹣6，0)代入，进而得出k，b之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．
∵图象过(﹣6，0)，则0＝﹣6k+b，
则b＝6k，
故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，
∵k＜0，
∴x﹣2＜0，
解得：x＜2．
17.(2019•贵阳)在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是　 　．

【答案】．
【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为(2，1)，
∴关于x，y的方程组的解是．
18.(2019贵州黔西南州)如图所示，一次函数y＝ax+b(a、b为常数，且a＞0)的图象经过点A(4，1)，则不等式ax+b＜1的解集为　 　．

【答案】x＜4
【解析】函数y＝ax+b的图象如图所示，图象经过点A(4，1)，且函数值y随x的增大而增大，
故不等式ax+b＜1的解集是x＜4．
19. (2019山东东营)如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=－x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1(1，)作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为____________．

【答案】－31009
【解析】从简单的入手，分别求出A2到A9的横坐标，找出循环，依此规律结合2019=504×4+3即可找出点A2019的坐标．
当x=1时，y=－x=－，∴A2(1，－)；当y=x=－，x=－3，∴A3(－3，－)；当x=－3时，y=－x=3，∴A4(－3，3)；当y=x=3时，x=9，∴A5(9，3)；同理可得A6(9，－9)，A7(－27，－9)，A8(－27，27)，A9(81，27)，…，∴A4n+1(32n，32n×)，A4n+2(32n，－32n×)，A4n+3(－32n+1，－32n+1×)，A4n+4(－32n+1，32n+1×)，(n为自然数)．∵2019=504×4+3，∴点A2019的横坐标为－32×504+1=－31009．
20.(2019江苏徐州)函数y＝x＋1的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有_________个.
【答案】4
【解析】本题解答时要分类讨论.作AB的垂直平分线，交于坐标原点，△OAB为等腰三角形；以B为圆心BA长为半径交x轴于C2，△C2AB为等腰三角形，以A为圆心，AB长为半径，交x轴于C3，C4，则△C3AB，△C4AB为等腰三角形，所以满足条件的C点的有4个.

三、解答题
21．(2020•嘉兴)经过实验获得两个变量x(x＞0)，y(y＞0)的一组对应值如下表．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
(1)请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．

【答案】见解析。
【分析】(1)利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式．
(2)根据反比例函数的性质解答即可．
【解析】(1)函数图象如图所示，设函数表达式为y=kx(k≠0)，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，
∴函数表达式为y=6x(x＞0)；

(2)∵k＝6＞0，
∴在第一象限，y随x的增大而减小，
∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．
22.(2020浙江绍兴)我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x(厘米)
1
2
4
7
11
12
y(斤)
0.75
1.00
1.50[来源:Zxxk.Com]
2.75
3.25
3.50
(1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
(2)根据(1)的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？

【分析】(1)利用描点法画出图形即可判断．
(2)设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：(1)观察图象可知：x＝7，y＝2.75这组数据错误．

(2)设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75，x＝2，y＝1代入可得，
解得，
∴y＝x+，
当x＝16时，y＝4.5，
答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．
23.(2020•武威)通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
3
2
1.5
1.2
1
…
(1)当x＝　 　时，y＝1.5；
(2)根据表中数值描点(x，y)，并画出函数图象；
(3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：　 　．

【答案】见解析。
【分析】(1)观察函数的自变量x与函数值y的部分对应值表可得当x＝3时，y＝1.5；
(2)根据表中数值描点(x，y)，即可画出函数图象；
(3)观察画出的图象，即可写出这个函数的一条性质．
【解析】(1)当x＝3时，y＝1.5；
故答案为：3；
（2） 函数图象如图所示：

(3)观察画出的图象，这个函数的一条性质：
函数y随x的增大而减小．
故答案为：函数y随x的增大而减小．
24．(2020•贵阳)第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

(1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
(2)学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
【答案】见解析。
【解析】(1)设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了(100﹣x)支，根据题意，得：
6x+10(100﹣x)＝1300﹣378，
解得x＝19.5，
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；
(2)设笔记本的单价为a元，根据题意，得：
6x+10(100﹣x)+a＝1300﹣378，
整理，得：x=14a+392，
因为0＜a＜10，x随a的增大而增大，所以19.5＜x＜22，
∵x取整数，
∴x＝20，21．
当x＝20时，a＝4×20﹣78＝2；
当x＝21时，a＝4×21﹣78＝6，
所以笔记本的单价可能是2元或6元．