寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第十讲 抛物线的对称平移问题（教师版）

                第十讲   抛物线的对称平移问题

明确目标﹒定位考点

    在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容，也是中考常考的知识点。掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便，也能为我们从中节省很多时间。

热点聚焦﹒考点突破

考点1  抛物线关于x轴、y轴、原点、顶点对称的抛物线的解析式。

二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达

 1. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

  2. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

  3. 关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是；

  4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是

注：    对于以上四种对称要在结合开个方向、对称轴的位置以及与y轴的交点三个方面结合图像理解记忆。而对于抛物线关于定点对称问题我们一般都是化成顶点式再变换.

【例1】二次函数关于Y轴的对称图象的解析式为　　　　       　　　，关于X轴的对称图象的解析式为　　　　       　　　，关于原点的对称图象的解析式为　　　　       　　　，关于顶点旋转180度的图象的解析式为　　　　　　　　　　　　。

【例2】将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（     ）．

 A．       B．

C．       D．

【变式训练1】

1.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（    ）

A．　B． C．　  D．

【规律方法】掌握抛物线的四种对称方式，理解公式的推导过程。

考点2  求抛物线上、下、左、右平移的抛物线的解析式。

   二次函数图象平移

①二次函数图象平移的本质是点的平移，关键在坐标．

②图象平移口诀：左加右减、上加下减．

平移口诀主要针对二次函数顶点式．

【例1】把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为（   ）

A．        B．

   C．       D．

【例2】抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为（   ）

A . b=2， c=2       B.  b=2，c=0      C . b= -2，c=-1         D.  b= -3， c=2

【变式训练2】

1.将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__________________．

2.抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（    ）

A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

3.抛物线的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b，c的值为（    ）

A．b=2，c=3    B．b=2，c=6

C．b=-2，c=-1    D．b=-3，c=2

4.如图，将抛物线沿x轴平移，若平移后的抛物线经过点P(2，2)，则平移后的抛物线解析式为（    ）

A．

B．或

C．

D．或

【规律方法】掌握 二次函数图象平移口诀和方法。

考点3  与抛物线平移有关的压轴题。

【例1】如图，已知抛物线经过点,顶点为．

(1)求b的值；

(2)将该抛物线沿它的对称轴向下平移n个单位长度，平移后的抛物线经过点，分别与x轴、y轴交于点．

①试求n的值；

②在第二象限内的抛物线上找一个点，使得，并求出点的坐标．

【规律方法】

（1）把点（4，0）代入抛物线的解析式即可求出b的值；

（2）①把（1）中的解析式化成顶点式，把A(6,0)代入平移后的解析式求出n的值即可；

     ②通过同底等高三角形面积相等这一性质，再利用平行线所夹高相等，算出BC解析式，利用平行线

       k值相等设出过点M的直线，再代M点坐标可求出直线解析式，通过直线与抛物线联立即可求出交

       点P的坐标。

【例2】已知二次函数的图象如图.

（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.

【规律方法】

(1)考察对称轴公式代入直接求解；

(2)①假设出平移之后的解析式即可得出图像与X轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；

   ②表示出各点坐标，利用射影定理求解.

【变式训练3】

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y＝x 2从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点M的横坐标为m．

①用m的代数式表示点P的坐标；

②当m为何值时，线段PB最短；

（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，已知点A（－2，4）和点B（1，0）都在抛物线y＝mx 2＋2mx＋n上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）向右平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，四边形AA′B′B为菱形．

①求平移后抛物线的解析式；

②记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与相似．

专题训练﹒对接中考

1.把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则有（    ）

A．b=10，c=24                  B．b=2，c=4

C．b=10，c=28                  D．b=2，c=0

2. 抛物线向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线               

3. 二次函数由向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到。

4. 抛物线可由抛物线向     平移     个单位得到．

5.将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为

A．1 B．2 C．3  D．4 

6.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为

A．  B．

C．  D．

7.要得到二次函数的图象，需将的图象（    ）．

A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位

B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位

C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位

D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位

8.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（    ）

A．　　B．  c.　　D．

9.如图，已知经过原点的抛物线y＝－2x 2＋4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m

（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．

（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；

（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；

（3）设△PCD的面积为S，求S关于m的关系式．

作业：

1.抛物线的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则b，c的值为（    ）

A．b=2，c=2              B．b=2，c=0

C．b=-2，c=-1          D．b=-3，c=2

2.把二次函数用配方法化成的形式 （    ）  

A.            B.

C.            D.

3.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（     ）

A．       B．   

C．      D．

4.将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（　　）

A．  B．  C．  D．

5. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是      

6. 把抛物线是由抛物线向     平移     个单位，再向_____平移_______个单位得到。

7. 把抛物线y＝ax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x－3x+5，则a+b+c=__________

8.抛物线y＝x－5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式           

9.如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y＝ax 2＋bx＋c恰好经过x轴上A、B两点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？

答案：

考点1 ：

【例1】；；；.

【例2】 D

【变式训练1】

1. C

考点2：

【例1】  D   

【例2】 B

【变式训练2】

1．  2．B   3．B         4．D  

考点3：

【例1】

【例2】

【变式训练3】

1.

2.

专题训练﹒对接中考

1.   B                 2.        3.  左，4，下，2                4. 下，5 

5.  B               6.  D             7.  D                      8.  C

9.

作业：

1.  B                                 2. C              

3.  B                                4. D

5.                  6. 右，3，上，1

7.   11                              8.  y＝x－11x+25

9.