寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第四讲 相似和圆（教师版）

这是一份寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第四讲 相似和圆（教师版），共46页。教案主要包含了规律方法，涉及知识点等内容，欢迎下载使用。

第四讲 相似和圆
明确目标﹒定位考点
圆”这部分知识是初中数学的难点和重点,是中考必考内容,除要求掌握基本概念外,还要求充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态问题、探索型问题......同时，本内容作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性，在中考中圆的知识点是经常出现的，尤其压轴题经常考察圆和其他内容结合的题型，要求学生能够熟练掌握圆的相关知识并运用。相似三角形的应用十分广泛,尤其以圆巧妙地结合,形成数学中一道亮丽的“风景”,相似三角形借助圆的隐含条件:“直径所对的圆周角是直角”和“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可以构造多对相似三角形而解决问题。

热点聚焦﹒考点突破
考点1 相似与圆简单应用
【例1】23.（本小题满分12分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，BD=BF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=12,AD=8，求弧DE的长.
第1题











【规律方法】（1）注意用多种方法证明切线。（2）根据△AOE∽△ABC可以求出圆的半径，再根据△DOE是等边三角形可以求出弧DE的长.
考点2 相似与圆及作图
【例2】3．（本小题满分12分）
如图7，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.
（1）动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合运用：在你所作的图中，
①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②若AC=12，tan∠OBC=，求⊙O的半径.











【规律方法】第（2）题 ①注意角平分线的性质定理的运用； ②注意解直角三角形及相似和勾股定理的运用。
【例3】23．（12分）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°
（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．





【规律方法】本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一些基本作图是解答本题的关键．另外相似三角形面积的比等于相似比的平方。
考点3 相似与圆及一元二次方程
【例4】（2016年荔湾区一模）（2015年黄埔一模）24.（本小题满分14分）
第24题
如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是弧上的一点（P不与点B、C重合），且，交于E，点F是延长线上的点，，，．
（1）求证≌；
（2）求证；
（3）求和的长．













【规律方法】 求和的长时注意先证明是等边三角形求出PB+PC，再证明∽求出PB.PC，最后可以把和作为一元二次方程的两根求出PB和PC的长。
考点4 相似、圆及四边形
【例5】24．（14分）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8
①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；
②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．






【规律方法】本题考查了菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键，在初中范围内求线段长的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解．
考点5 相似、圆及锐角三角函数
【例6】24．（14分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．












【规律方法】第（2）题可以证明△GKD∽△EGK；第（3）题可以根据勾股定理和解直角三角形得出。
考点6 相似与圆及动点问题
【例7】（2015年海珠区一模）24．（本题满分14分）
如图，AB是⊙O的直径，直线与⊙O相切于点C，AE⊥交直线于点E、
交⊙O于点F，BD⊥交直线于点D．
（1）求证：△AEC∽△CDB；
（2）求证：AE+EF=AB；
（3）若AC=8，BC=6，点P从点A出发沿线段AB向点B以2的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时间为秒，求当为何值时，△BPQ为等腰三角形？
第24题图

















【规律方法】
归纳总结﹒思维升华
圆和相似综合题有关定理
圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。

专题训练﹒对接中考
一、 选择题。
1.如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，切点为，与的延长线交于点，，给出下面个结论：；；；其中正确结论的个数是（ ）．
A． B． C． D．



2.如图4，正方形的边与正方形的边重合，点是的中点，的平分线过点，交于，连接、、与交于，对于下面四个结论：①；②；③点不在正方形的外接圆上；④∽．其中结论正确的个数是（ ）
A． 个 B． C．个 D．个
3.如图，为半圆的直径，、分别切⊙于两点，
切⊙于点，与相交于，与相交于，连结、、，对于下列结论：
① ；②；③；④．
其中结论正确的个数是（ ）．
A． B． C． D．




二、解答题
1.如图7，为的直径，劣弧，，连接并延长交于．
求证：（1）；
（2）．










2..（本小题满分12分）
如图，中，，.
（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①求证：；
② 求点到的距离。










3.如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.
C
P
D
O
B
A
E



4.如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M。经过B,M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰好为⊙O的直径。
（1） 求证：AE与⊙O相切。
（2） 当BC=6，cosC=，求⊙O的直径。


作业：
1.如图，在Rt△ABC中，，AB=AC.
（1）利用尺规，以AB为直径作⊙O，交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，求证：
第1题












2.如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，
（1）动手操作：利用尺规作以BC为直径的⊙O，⊙O交AB于点D，⊙O交AC于点E，并且过点D作DF⊥AC交AC于点F.
（2）求证：直线DF是⊙O的切线；
（3），连接DE，记△ADE的面积为，四边形DECB的面积为，求的值。










3.如图圆O内接三角形.把以点O为旋转中心，顺时针方向旋转的度数得到.
（1） 利用尺规作出（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2） 连接，设与，分别交于点和，求证：















4. 正方形ABCD的边长是2a，H是以BC为直径的半圆上一点，过H与半圆相切的直线交AB于E，交CD于F．
（1）当点H在半圆上移动时，切线EF与AB、CD的两个交点E、F也分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合）．问：四边形AEFD的周长是否在变化？证明你的结论；
（2）若∠BOE=60°，求四边形BEFC的周长；
（3）设△BOE的面积为，△COF的面积为，正方形的面积为S，已知，求BE、CF的长．






5.如图12：△ABC中，∠C＝45°，点D在AC上，且∠ADB＝60°，AB为△BCD外接圆的切线．
（１）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；
A
B
C
D
图12
（２）求∠A的度数；
（３）求的值．









参考答案：
热点聚焦﹒考点突破
【例1】
解：（1）证法1：连接OE ----1分 证法2：连接OE ------1分
∵BD=BF ∵BD=BF ∴∠BDF=∠F
∴∠BDF=∠F ∵OD=OE ∴∠ODE=∠0ED
∵OD=OE ∴∠OED=∠F ----------3分
∴∠ODE=∠0ED ∵∠BCA=90°∴∠F+∠FEC=90°
∴∠OED=∠F ----------3分 ∵∠FEC=∠AED, ∠OED=∠F
∴OE∥BF ∴∠OED+∠AED=90°
∴∠OEA=∠BCA=90° ∴AC是⊙O的切线 --------5分
∴AC是⊙O的切线 ----------5分
（2）设⊙O的半径为r,
∵OE∥BF ∴△AOE∽△ABC ------6分
∴
∵AB=12,AD=8 ∴
解得：r=8 r=-6(舍去) -------9分
∴AD=OD=8
∵△AOE是Rt△ ∴DE=OD=8
∴DE=OD=OE ∴∠DOE=60°
∴ ---------12分
【例2】
解：（1）如图，⊙O为所求…………………………3分
（2）与⊙O相切，理由如下…………………………4分
过点作，垂足为，
∵∠ACB=90°，是∠ABC的平分线 ………5分
即是⊙O的半径，经过⊙O的半径的外端，并且垂直于半径，
与⊙O相切。…………………………6分
（3）在中，tan∠OBC=，
，………………7分
又∵∠ADO=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴Rt△ADO∽Rt△ACB，………………8分
∴，
∴，
∴，………………9分
在Rt△ADO中，设，
∴，………………10分
解得， ∴⊙O的半径是………………12分

【例3】（1）如图所示；
（2）如图2，连接OD，设⊙O的半径为r，
∵∠BAE=∠CDE，
∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=AC=r，
∵∠ABD=∠ACD=45°，
∵OD=OC，
∴∠ABD=∠ACD=45°，
∴∠DOC=90°，
在Rt△ODC中，DC==r，
∴===．


【例4】
解：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，
又∠ACP+∠ACF=180°，
∴∠ABP=∠ACF ……1分
在和中，
∵AB=AC，∠ABP=∠ACF，
∴≌． ……3分
(2)在和中，
∵∠APC=∠ABC，
而是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，
∴∠ACE =∠APC .
又∠CAE =∠PAC ，
∴∽
∴,即. ……6分
第23题
（3） 由（1）知≌，
∴∠BAP=∠CAF，
∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC
∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC＝∠ABC＝60°.
∴是等边三角形
∴AP=PF
∴
在与中，
∵∠BAP=∠ECP ，
又∠APB=∠EPC=60°，
∴∽
∴,即
由（2），
∴
∴
因此PB和PC的长是方程x2-4x+3=0的解．
解这个方程，得，．
∵PB ∴PB和PC的长分别是1和3. ……14分

【例5】
解：（1）MN⊥OT，且OT平分MN．
理由是：连接MN、OT相交于点P．
在△OMT和△ONT中，
，
∴△OMT≌△ONT，
∴∠MOT=∠NPT，
∴在△OMP和△ONP中，
，
∴△OMP≌△ONP，
∴MP=NP，∠OPM=∠OPN=90°，即MN⊥OT；
（2）①经过A，B，C，D四个点的圆不一定存在，
理由是：若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC和BD的中垂线的交点，根据（1）可得AC垂直平分BD，而垂足不一定是AC的中点；
②作FM⊥AB，作EG⊥AB于G．
∵四边形ABED是菱形，
∴AE⊥BD，且BN=BD=4，
∴AN=NE===3，AE=6．
∴S菱形ABED=AE•BD=×6×8=24，
又∵S菱形ABED=AB•EG，
∴EG=．
∵∠DBF=∠DBF，∠BNE=∠BFD，
∴△BNE∽△BFD，
∴，即，
∴BF=．
∵GE⊥AB，FM⊥AB，
∴GE∥FM，
∴△BEG∽△BFM，
∴，即，
解得：FM=．


考点：四边形综合题
分析：（1）证明△OMP≌△ONP，即可证得MN⊥OT，且OT平分MN；
（2）①若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC和BD的中垂线的交点，即AC和BD互相平分，据此即可判断；
②已知FM⊥AB，作EG⊥AB于G，根据菱形的面积公式求得GE的长，然后根据△BNE∽△BFD求得BF的长，再根据△BEG∽△BFM求得FM的长．

【例6】








解：（1）如答图1，连接OG．

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．---------------------------------------3分
（2）AC∥EF，-----------------------------------4分
连接GD，如答图2所示．

∵KG2=KD•GE，即=，------------------------------5分
∴=，又∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，------------6分
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；-----------------------------------------7分
（3）连接OG，OC，如答图3所示．

sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，-----------------------------8分
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．--------------------9分
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即（3t）2+t2=（）2，解得t=．------------------------------------10分
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，-----------------11分
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．----------------------------12分
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，-------------------13分
∴FG===．---------------------------------------------------14分
【例7】第24题图

（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=900
∴∠BCD+∠ACE=1800-∠ACB=900
∵AE⊥DE，BD⊥DE
∴∠AEC=∠BDC=900
∴∠ACE +∠EAC=900
∴∠BCD =∠EAC
∴△AEC∽△CDB
（2）连结BF、OC
∵DE切⊙O于点C
∴OC⊥DE
又∵AE⊥DE，BD⊥DE
∴OC∥BD∥AE
又∵O是AB的中点
∴OC是梯形ABDE的中位线
∴OC=
∵AB是⊙O的直径
∴∠AFB=900
∴∠BFE=900
又∵∠AED=∠BDE=900
∴四边形BDEF是矩形
∴BD=FE
∴AE+EF=AE+BD
∴OC=
∵OC=
∴AE+EF=AB
（3）由题意可知：AP=2t，BQ=t，0＜t≤5
∵∠ACB=900 ,AC=8,BC=6
∴AB=
∴BP=10-2t
当BP=BQ时
10-2t=t
t=
②当PB=PQ时，过点P作PG⊥BC于点G
∵PB=PQ，PG⊥BC
∴BG==，∠PGB=900
∴∠ACB=∠PGB =900
又∵∠PBG=∠ABC
∴△BPG∽△BAC
∴
∴
∴t=
③当BQ=PQ时，过点Q作QH⊥AB于点H
同理可求得：BH==，△QHB∽△ACB
∴
∴
∴t=
综上所述，当t=或t=或t=时，△BPQ为等腰三角形.

专题训练﹒对接中考
一．选择题。
1. D 2. C 3. C
2.分析（1）如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，

BC=CD,
∠DCG=∠BCE
CE=CG
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
（2）∵GH是∠EGC的平分线，
∴∠BGH=∠EGH，
易证△BGH≌△EGH（ASA），
∴BH=EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO是△EBG的中位线，
∴HO∥BG,HO=
故②正确；
（3）由（1）得△EHG是直角三角形，
∵O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
故③错误；
（4）如图2，连接CF，

由（3）可得点H在正方形CGFE的外接圆上，
∴∠HFC=∠CGH，
∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，
∴∠FMG=∠GBE，
又∵∠EGB=∠FGM=45°，
∴△GBE∽△GMF．
故④正确，
故选：C．
二、解答题
1. （本题满分10分）
O
A
E
D
B
C
1
2
证明：（1）∵，
∴=………………………………………………………2分
∴………………………………………………………3分
（2）连结．
∵，
∴，………………………………………………………4分
是的直径，
∴ ……………………………………………………5分
∵
∴
∴ …………………………………………6分
是的直径，

∴……………………………………………7分
∴∽………………………………………………8分
……………………………………………………………………9分
∴ ………………………………………………………………10分
2.
【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理； ②勾股定理，等面积法
【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画
（2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.
②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.
【答案】（1）如图所示，圆为所求
（2）①如图连接，设,
又

则

②连接,过作于,过作于
cosC=, 又
,
又为直径

设，则，
在和中，
有
即
解得：
即
又
即

3. 【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G

（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝3，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为24．
【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．
在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴
＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．
∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝3，
∴△ABC的周长为24．
【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积
【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题
4.【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．
【分析】（1）连接OM．根据OB=OM，得∠1=∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1=∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=3，再根据解直角三角形的知识求得AB=12，则OA=12﹣r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】（1）证明：连接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；

（2）解：设圆的半径是r．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=，
∴AB=BE÷cosB=12，则OA=12﹣r．
∵OM∥BE，
∴，
即，
解得r=2.4．
则圆的直径是4.8．

【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．
　
作业：
1.解:（1）作图略（中点必须用尺规作出，否则扣2分） ------3分
(2) 证明：连接AD ------4分
∵AB是直径 ∴ ∠ADB=90° ------6分
∴∠ADB=∠CAB
∵∠C=∠C
∴ ------9分
∴ ∴ ------12分
2.
解：（1）如右图所示，图形为所求。 ………4分
注：尺规作图，作出圆给2分，作出垂线DF给2分（不用尺规作垂线扣1分）
（2）证明：连接OD
∵DF⊥AC，∴∠AFD=90° ………5分
∵AC=BC，∴∠A=∠B
∵OB=OD，∴∠B=∠ODB
∴∠A=∠ODB
∴OD∥AC ………6分
∴∠ODF=∠AFD=90°
∴直线DF是⊙O的切线 ………7分
（3）连接DE
∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB
∵AC=BC，CD⊥AB，∴（三线合一）………8分
∵四边形DECB是圆内接四边形
∴∠BDE+∠C=180°
∵∠BDE+∠ADE=180°
∴∠C=∠ADE
∵在△ADE和△ACB中，∠ADE =∠C，∠DAE=∠CAB
∴△ADE∽△ACB ………9分
∴
∴ ………10分
∵
∴
∴，即 ………12分
(注：此题也可以直接求出两个图形的面积，请参照本解法按步骤给分)

3.解：（1）如图：为所求．
（2）由（1）作图可知
∴
而

∴
∴
4.
解：（1）∵AB、CD、EF都与半圆相切
∴EH=EB，HF=CF
∴四边形AEFD的周长为
AE+EH+HF+DF+AD=AE+ED+FC+DF+AD=AB+CD+AD=6°
故周长不变 ……2分
（2）∵AB∥CD ∴∠BEF+∠CFE=180°
又∵EB切⊙O于B，EF切⊙O于H，FE切⊙O于H ，FC切⊙O于C
∴∠BEO=∠FEO，∠EFO=∠OFC
∴∠OEF+∠EFO=90° ∴∠EOF=90 ° ∴∠OEF+∠OEF=90°
∵∠BOE=60°，∴∠FOC=30°
∴EFG中，

∴四边形EBFC的周长为：
第24题
……6分
（3）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH
∴FO⊥EO，因此可知△EBO∽△OCF
∴，∴ ①……8分
又，即
∴
5.
解：（１）作图略；（作图正确）……………………………………………………2分
（２）解法一：设⊙Ｏ为△BCD的外接圆，
连结ＯＢ、ＯＤ（如图3）．…………………………………………………………3分
由切线性质，知∠ＡＢＯ＝９０°．
∵∠ＡＣＢ＝４５°，∴∠ＢＯＤ＝９０°………………………………………4分
（同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∵ＯＢ＝ＯＤ，∴∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢ＝４５°，………………………………5分
由∠ＡＢＯ＝９０°，得∠ＡＢＤ＝４５°，……………………………………6分
∴∠Ａ＝１８０°－∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ
＝１８０°－４５°－６０°＝７５°；…………………………………………7分
解法二：设⊙Ｏ为△ＢＣＤ的外接圆，
连结ＯＢ、ＯＣ（如图３）．…………………………………………………………3分
由切线性质，知∠ＡＢＯ＝９０°．
∵∠ＡＤＢ＝６０°，∴∠ＣＤＢ＝１２０°，
∵∠ＣＤＢ为圆周角，∴其所对的圆心角为２４０°，……………………………4分
∴∠ＢＯＣ＝３６０°－２４０°＝１２０°．……………………………………5分
∵ＯＢ＝ＯＣ，∴∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ
＝（１８０°－１２０°）＝３０°，……………………………………………6分
∴∠ＡＢＣ＝９０°－３０°＝６０°，
∴∠Ａ＝１８０°－４５°－６０°＝７５°；……………………………………7分
（３）过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ，垂足为点Ｅ（图３）．…………………………………8分
在Ｒt△ＢＣＥ中，∵∠ＡＣＢ＝４５°，
∴∠ＥＢＣ＝４５°，∴ＢＥ＝ＣＥ．
在Ｒt△ＢＤＥ中，∵∠ＤＢＥ＝９０°－∠ＥＤＢ＝３０°，……………………9分
∴ＢＤ＝２ＤＥ．……………………………………………………………………10分
设ＤＥ＝x，则ＢＤ＝２x，ＢＥ＝＝x．……………………11分
ＤＣ＝ＣＥ－ＤＥ＝ＢＥ－ＤＥ＝（－１）x．
ＡＥ＝ＡＤ－ＤＥ＝ＡＤ－x．
在△ＡＢＣ和△ＡＤＢ中，
∵∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＢ＝４５°，∠Ａ为公共角，
∴△ＡＢＣ∽△ＡＤＢ，………………………………………………………………12分
图3
∴，
即ＡＢ２＝ＡＣ·ＡＤ，即
ＡＢ２＝（ＡＤ＋ＤＣ）·ＡＤ
＝ＡＤ２＋ＡＤ·（－１）x　　　　　　　　　　　　①．
在Ｒt△ＡＢＥ中，由勾股定理，
得ＡＢ２＝ＡＥ２＋ＢＥ２＝（ＡＤ－x）２＋（x）２　　②．
综合①、②，得ＡＤ２＋ＡＤ·（－１）x
＝（ＡＤ－x）２＋（x）２，………………………………13分
化简整理，解得ＡＤ＝２（－１）x．
∴＝＝２，
∴＝２．………………………………………14分