寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第二讲 解直角三角形（学生版）

第二讲   解直角三角形

明确目标﹒定位考点

锐角三角函数是沟通代数与几何知识的桥梁，它剥去代数知识的外表转化为解直角三角形的问题，或以锐角三角函数知识为工具将几何知识转化为解代数问题，从而将平面几何中对直角三角形的研究转化为定量研究，达到化难为易的目的，在中考中的考察较为频繁，在综合性的大题中通常与其他知识点相结合考查，所占的分值在10-12分左右。

热点聚焦﹒考点突破

考点1  仰角与俯角

【例1】 为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）

【规律方法】此题是在两个直角三角形中，运用三角函数列出边角关系，设两个未知数列两个方程求解的。但是它也可以设一个未知数，在两个直角三角形中，运用边角关系（三角函数）分别把AD、BD用含h的代数式表示出来，代入等量关系：AD—BD=AB，得到一个方程，进行求解。

【例2】在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）

【规律方法】（1）根据题意构造直角三角形，利用其公共边构造方程求解．

（2）根据题目中的情景，结合解三角形的知识设计测量方法．

【变式训练1】

1．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为60 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：）

2．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为__________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)

3．如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子点处距离海面的深度？（精确到米，参考数据：，，）

考点2  坡度与坡比

【例3】如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．

【规律方法】本题先要过C作CE垂直于AD于E。由“坡度i=tanCAD=1：”求出∠CAE=30° ，再分别在Rt△AEC和Rt△AEB中运用边角关系和三边关系求解的。

【例4】如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i′=1：2.5，（有关数据在图上已注明）．求加高后的坝底HD的长为多少？

【规律方法】此题严格按照“坡度i=”，在两个直角三角形中列式计算的，它把梯形分割成了两个直角三角形和一个矩形。

【变式训练2】

1．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度

2．同学们对公园的滑梯很熟悉吧？如图，是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2米，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4米．

（1）求滑梯AB的长（精确到0.1米）；

（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°，属于安全．通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？

3．我市某区为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长96m 的一堤段（原海堤的横断面如图中的梯形ABCD）的堤面加宽1.6m，背水坡度由原来的1:1改成1:2，已知原背水坡长AD=8.0m，求完成这一工程所需的土方。（精确到百位）

（注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值；提供数据:）

考点3  方向角

【例5】海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．

【规律方法】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线，构造直角三角形．

【变式训练3】

1．如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．

（1）求观测点B到航线的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）

2．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区．取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°．已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区．

3．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图11，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

归纳总结﹒思维升华

1．仰角、俯角的定义

如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠2就是仰角，∠1就是俯角．

2．坡角、坡度的定义

坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝，坡度通常用1:m的形式，例如上图的1:2的形式。坡面与水平面的夹角叫做

坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

3.在解答三角函数应用题时，通常都能把它们化归到以下几个几何模型：

通过作高，把一般三角形或梯形构造出两个直角三角形，在两个三角形中分别运用三角函数的知识进行解答。

专题训练﹒对接中考

解答题。

1．如图，小山岗的斜坡的坡度是，

在与山脚距离200米的处，测得山顶的仰角为，求小山岗的高．

2．为测山高，在点A处测得山顶D的仰角为31°，从点A向山方向前进140米到达点B，在B处测得山顶D的仰角为62°（如图）．

（1）在所给的图②中尺规作图：过点D作DC⊥AB，交AB的延长线于点C；

（2）山高DC是多少（结果取整数）？

3．如图，AB是高为60米的铁塔，分别在河边D处测得塔顶A的仰角为60°，在与B.D同一直线上的河对岸C处测得塔顶A的仰角为40°.

（1）求D点到铁塔距离DB的长；（结果保留根号）

（2）求河岸间CD的宽度.（结果取整数）

4.如图，某无人机于空中处探测到目标的俯角分别是,此时无人机的飞行高度为，随后无人机从处继续水平飞行m到达处.

(1)求之间的距离.

(2)求从无人机上看目标的俯角的正切值.

5.如图10， 在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里.

（1）       求船P到海岸线MN的距离（精确到0.1海里）；

（2）       若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.

作业：

一、  选择题。

1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是（    ）

   A．200米    B．200米    C．220米    D．100(＋1)米

二、填空题。

1．如图，两建筑物AB和CD的水平距离为24米，从A点测得D点的俯角为

30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为______米．（结果保留根号）

2.（2015年番禺区一模.16,3分）如图，从一运输船的点A处观测海岸

上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），

测得灯塔顶部B的仰角为35°，则点A到灯塔BC的距离约为

        （精确到1）．

3．如图，有A 、B 两艘船在大海中航行， B 船在A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时刻这两艘船同时测得在A 的东北方向，B的北偏东150方向有另一艘船C ，那么此时船C 与船B的距离是________海里．（结果保留根号)

三．解答题：

1.如图，两座建筑物AB及CD，其中A，C距离为50米，在AB的顶点B处测得CD的顶部D的仰角β＝30°，测得其底部C的俯角α＝60°，求两座建筑物AB及CD的高度(精确到0.1米)．

2.“地震无情人有情”，雅安地震牵动了全国人民的心．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点、相距2，探测线与地面的夹角分别是30º和60º，试确定生命所在点的深度．（结果保留到0.1）

[来源:Zxxk.Com]

3.为方便市民低碳生活绿色出行，市政府计划改造如图所示的人行天桥：天桥的高是10米，原坡面倾斜角∠CAB=45°．

（1）若新坡面倾斜角∠CDB=28°，则新坡面的长CD长是多少？（精确到0.1米）

（2）若新坡角顶点D前留3米的人行道，要使离原坡角顶点A处10米的建筑物不拆除，新坡面的倾斜角∠CDB度数的最小值是多少 ？（精确到1°）

4．如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．

（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于_***_度；

   （2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米）．

5．目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；

（2）求大楼的高度CD（精确到1米）