【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）3实数.教师版

这是一份【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）3实数.教师版，共14页。教案主要包含了平方根、算术平方根，立方根，实数等内容，欢迎下载使用。

实 数







内容
基本要求
略高要求
较高要求
平方根、算数平方根
了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根
会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根

立方根
了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根
会用立方运算的方法，求某些数的立方根
能运用圆的性质解决有关问题
实数
了解实数的概念
会进行简单的实数运算




模块一 平方根、算术平方根
平方根:
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．
也就是说，若，则就叫做的平方根．
一个非负数的平方根可用符号表示为“”．
算术平方根：
一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）
一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则．
平方根的计算：
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．


对定义和性质的考察


【例1】 判断题：
（1）一定是正数． ( )
（2）的算术平方根是． ( )
（3）若，则． ( )
（4）若，则． ( )
（5）的平方根是． ( )
（6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( )
（7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( )
（8）没有平方根． ( )
（9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．


【巩固】若，则的算术平方根是_________．
【难度】2星
【解析】A本身是的算术平方根，故A的算术平方根为．
【答案】


【巩固】设是整数，则使为最小正整数的的值是________．
【难度】2星
【解析】是整数，要使为整数，48a必须是完全平方数， 因为，所以使为最小正整数的整数a为3．
【答案】3


【例2】 x为何值时，下列各式有意义？
（1）； （2）； （3）；
（4） ； （5） ； （6）；
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2）x=0；（3）；（4）x为任意数；（5）x>1；（6）．


对计算的考察

【例3】 求下列等式中的x：
（1）若x2＝1．21，则x＝______； （2）x2＝169，则x＝______；
（3）若，则x＝______； （4）若x2＝，则x＝______．
【难度】1星
【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
【答案】（1）；（2）x=13；（3）；（4）x．


【例4】 求下列各式的值
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【难度】1星
【解析】指的是一个数的算术平方根，具有唯一性．
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．



【巩固】求下列各式中x的值．
（1）； （2）
（3） （4）
【难度】1星
【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．
（1）； （2）；
（3）；或，解得或．
（4）或解得或x=46．
【答案】（1）； （2）；
（3）或； （4）或x=46．


对非负性的考察



【例5】 如果与互为相反数，求的值．
【难度】2星
【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．
有题可知解得，代入，．
【答案】


【例6】 已知，求的平方根．
【难度】2星
【解析】由题可知，，b=2，
【答案】


【巩固】已知x，y，z满足，求的值．
【难度】2星
【解析】
由题可知，解得，．
【答案】


总结：　（1）当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()．
（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
①若，则；②不管为何值，总有
注意二者之间的区别及联系．
（3）若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也
介于、 之间，即：利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．


模块二 立方根


如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根，
一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略．
前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．
读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．


立方根的计算：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．


对立方根定义和性质的考察


【例7】 （1）下列说法中，不正确的是 （ ）
　　A． 8的立方根是2 　　B． 的立方根是
C． 0的立方根是0 　　 D． 的立方根是a
（2） 的立方根是（ ）
　　　A． B． C． D．
（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）
　 　A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
（4）下列说法正确的是（ ）
① 正数都有平方根；② 负数都有平方根，
③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；
　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（5）若a立方比a大，则a满足（ ）
　A． a<0 B． 0< a <1 C． a >1 D． 以上都不对
（6）下列运算中不正确的是（ ）
　　 A． B．
C． D．
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）D；（2）D；（3）C；（4）C；（5）D；（6）B．


【巩固】（1）若x的立方根是4，则x的平方根是______．
（2）中的x的取值范围是______，中的x的取值范围是______．
（3）－27的立方根与的平方根的和是______．
（4）若则x与y的关系是______．
（5）如果那么的值是______．
（6）若则x＝______．
（7）若m＜0，则=______．
（8）若的立方根是4，则的平方根是______．
【难度】2星
【解析】略
【答案】　（1）；（2）任意数； x=1；（3）或；（4）互为相反数；
（5）-；（6）x=1；　　　　 （7）0； 　　（8）．


对计算的考察


【例8】 求下列等式中的x：
（1）若x3＝0．729，则x＝______； （2）x3＝，则x＝______；
（3）若=，则x＝______； （4）若x3＝，则x＝______．
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2．


【例9】 求下列各式的值
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7）

【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）64；（5）；（6）9；（7）．


【巩固】（1）填表：


0．000001
0．001
1
1000
1000000






（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．
（3） 根据你发现的规律填空：
① 已知，则= ，= ；
② 已知，，则= ．
【难度】2星
【解析】略
【答案】（1）； ； 1； 10； 100．
（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍
（3） ①； ； ②．

总结 ：（1） 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍．
（2） ，
（3） 若一个数介于另外两个数、之间，即，它的立方根也介于和之间，
即利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．


综合应用


【例10】 若与互为相反数，求的立方根．
【难度】2星
【解析】由题可知，解得，．
【答案】


【例11】 已知的平方根是±2，的立方根是3，求的平方根．
【难度】2星
【解析】，；，，．
【答案】


总结：平方根与立方根的区别与联系：
　　区别：
（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略．
（2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数．
（3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．
（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1，；
联系：
（5）平方根与立方根相等的数是0．
（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．


模块三 实数


1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率及一些含的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：
设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：

４实数的性质：
（1）任何实数a，都有一个相反数-a．
（2）任何非0实数a，都有倒数．
（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．
５ 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．


对实数定义的考察


【例12】 判断正误．
（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ）
（2）0属于正实数．（ ）
（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）
（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是1．（ ）
（5）若则．（ ）
【难度】2星
【解析】略
【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．


【例13】 下列说法错误的是（ ）
A．实数都可以表示在数轴上 　　　B．数轴上的点不全是有理数
C．坐标系中的点的坐标都是实数对　 D．是近似值，无法在数轴上表示准确
【难度】1星
【解析】略
【答案】D


【例14】 下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数
C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数
【难度】1星
【解析】略
【答案】A


对实数性质的考察


【例15】 的相反数是________；的倒数是________；的绝对值是________．
【难度】1星
【解析】略
【答案】；；．


【例16】 ＝______；______．
【难度】1星
【解析】略
【答案】；．


【例17】 若，则x＝______；若，则x＝______．
【难度】1星
【解析】略
【答案】；或．


实数的分类


【例18】 把下列各数填入相应的集合：
－1、、、π、、、、、、0、．
（1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝；
（3）整数集合｛ ｝；
（4）正实数集合｛ ｝；
（5）负实数集合｛ ｝．
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）－1、、、、、0、；
（2）、π、、；
（3）－1、、0、；
（4）、、π、、、；
（5）－1、、、．


比较大小


【例19】 估计的大小应在（ ）
A．7～8之间 B．～之间
C．～之间 D．9～10之间
【难度】1星
【解析】略
【答案】C


【例20】 实数，和的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】２星
【解析】略
【答案】B


【例21】 一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在 （ ）
A．4～5cm之间 B．5～6cm之间
C．6～7cm之间 D．7～8cm之间
【难度】1星
【解析】略
【答案】A

【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．
4，，，1．414，，， ，，
【难度】1星
【解析】略
【答案】．


对计算的考察


【例22】 计算题
（1） （2）
【难度】1星
【解析】（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．


综合应用


【例23】 写出符合条件的数．
（1）小于的所有正整数； （2）绝对值小于的所有整数．
【难度】2星
【解析】略
【答案】（1）1，2，3，4；（2），，，，．


【例24】 一个底为正方形的水池的容积是3150m3，池深14m，求这个水底的底边长．
【难度】1星
【解析】设这个水底的底边长为x，则有，解得．
【答案】



【例25】 已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的值．
【难度】2星
【解析】，，的整数部分为，小数部分为，，
．
【答案】


总结：没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；带根号的数不一定是无理数；一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．
无理数大小的比较方法：
（1）比较两个数的平方的大小：
a＞0， b＞0，若＞ ，则；
若＜，则； 若＝＞，则．
（2）比较被开方数的大小：
a＞0， b＞0， 若a＞b，则； 若a＜b， 则；若a＝b，则．
（3）作差法：
若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．
（4）作商法：
a＞0， b＞0，若＞1，则a＞b；若＝1，则a＝b；若＜1，则a＜b．

课堂检测

【练习1】下列说法正确是（ ）　　
A．有理数都是实数 B．实数都是有理数
C．带根号的数都是无理数　 D．无理数包含
【难度】1星
【解析】略
【答案】A


【练习2】下列命题中，真命题是（ ）
A．的平方根是2011 B．的平方根是
C． D．若，则
【难度】1星
【解析】略
【答案】D


【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入为时，输出的是（ ）

A．6 B． C． D．
【难度】２星
【解析】略
【答案】B


【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A与数轴上一点重合，这点表示的实数是 ．
【难度】1星
【解析】略
【答案】2


【练习5】计算：
（1） （2）
【难度】1星
【解析】（1）=；
（2）=．
【答案】（1）；（2）．


【练习6】已知，求的值．
【难度】2星
【解析】利用非负性建立二元一次方程组，解出x，y的值，代入即可解决问题．
【答案】



课后作业


1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）
 　 （1）没有平方根；    （2）100的算术平方根是10，记作 
（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）是最小的无理数．
A．1个       B．2个         C．3个        D．4个
【难度】1星
【解析】错误的有（1），（2），（4）．
【答案】C


2. 若，则下列等式成立的是（ ）
A．        B．         C．      D．
【难度】1星
【解析】略
【答案】D


3. 已知坐标平面内一点A(，3)，将点A先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到，则A′的坐标
为　　　　　　．
【难度】2星
【解析】在坐标平面内点的平移是左减右加，上加下减．
【答案】

4. 已知，则的大小关系是__________________________（用“”连接）．
【难度】1星
【解析】可以采用特殊值法解题，如．
【答案】


5. 计算:
（1） （2）
【难度】1星
【解析】（1） ；
（2）．
【答案】（1） ； （2）．


6. 已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高
各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？
【难度】1星
【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设的应用．
【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；平方分米．


7. 已知实数a，满足，求的值．
【难度】2星
【解析】，，，，
【答案】


8. 先阅读理解，再回答下列问题：
因为，且，所以的整数部分为1；
因为，且，所以的整数部分为2；
因为，且，所以的整数部分为3；
以此类推，我们会发现（n为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．
【难度】2星
【解析】
，又，（n为正整数），
整数部分为．
【答案】


9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与；
（5）= ；
（6）= ．
【难度】2星
【解析】（5）；（6）．
【答案】（5）；（6）．


10. 若为的整数部分，是9的平方根，且，求的算术平方根．
【难度】星
【解析】，或．
又，，，．
【答案】