【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）6二元一次方程组的概念及解法．教师版

模块一  二元一次方程（组）的基本概念

☞二元一次方程

1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程.

判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：

①方程两边的代数式都是整式——整式方程；

②含有两个未知数——“二元”；

③含有未知数的项的次数为1——“一次”.

2.二元一次方程的一般形式：(，)

3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

一般情况下，一个二元一次方程有无数个解.

【例1】    下列各式是二元一次方程的是（     ）

A.                       B.

C.                        D.

【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．

【答案】故本题选C．

【巩固】下列方程是二元一次方程的是（     ）

A.               B.

C.                 D.

【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．

【答案】故选D．

【例2】         若是二元一次方程，则求、的值.

【解析】由定义知：，，所以：，.

【答案】见解析

【巩固】已知方程是关于、的二元一次方程，求、的值.

【解析】根据题意可得：，，，所以，.

【答案】见解析

【例3】    已知是方程的解，那么的值是（    ）

A.               B.             C.               D.

【解析】二元一次方程的解

【答案】

【巩固】已知是方程的解，则       

【解析】略

【答案】

【例4】    方程的正整数解有几组？（      ）

A.1组              B.3组             C.4组            D.无数组

【解析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定一个正整数的值，计算的值即可．

【答案】方程可变形为

当时，则；

当时，则；

当时，则．

故方程的正整数解有，，，共3组．

故选B．

【巩固】⑴设、为正整数，求的所有解

⑵设、为非负整数，求的所有解

⑶设为正数，为正整数，求的所有解

【解析】略

【答案】⑴，，，；⑵，，，

⑶，，，，

【例5】    若方程是二元一次方程，则的值为         .

【解析】由二元一次方程的概念可列二元一次方程组，解得，

.

【答案】见解析

【巩固】若是二元一次方程，那么的、值分别是（    ）

A、，   B、，   C、，   D、，

【解析】本题考查二元一次方程的定义，由二元一次方程的定义可得到关于,的方程组。

【答案】，解得，

☞二元一次方程组：

1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.

二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）.

如也是二元一次方程组.

2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数.

【例6】    下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ）（多选）

A.       B.             C.       D.

E.        F.         G.      H.

【解析】区别二元一次方程组的方式，只需要抓住以下几点：①包含个未知数；②最高次项为次；整式方程；与方程的个数，字母的选择没有任何关系。因此、、、、均为二元一次方程组，很多同学易在、、出错。

【答案】、、、、

【巩固】下列方程组中，①；②；③；④是二元一次方程组的序号是         

【解析】略

【答案】①④

【例7】    如图，射线的端点在直线上，的度数比的度数的倍多，则可列正确的方程组为（    ）

A.      B.      C.      D.

【解析】略

【答案】B

【巩固】一副三角板如图方式摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ）

A.       B.        C.       D.

【解析】略

【答案】D

【巩固】某校初三⑵班名同学为“希望工程”捐款，共捐款元，捐款情况如下表：

表格中捐款元和元的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，若设捐款元的有名同学，捐款元的有名同学，根据题意得，可列方程组（    ）

A.   B.  C.    D.

【解析】略

【答案】A

【例8】    下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？

⑴  ；   ⑵  ；   ⑶ 

【解析】判断一组数是不是方程的解，必须要看它是不是方程组中每个方程的解，如果是，则是方程组的解，否则，不是方程组的解

【答案】⑴将代入方程组中的第二个方程：左边，右边，左边右边，∴不是第二个方程的解，从而不是方程组的解

⑵将方程组中的第一个方程：左边，右边，左边右边，∴不是第一个方程的解，从而不是方程组的解

⑶将代入方程组中的第一个方程：左边，右边，左边右边，∴是第一个方程的解；将代入方程组中的第二个方程：左边，右边，左边右边，∴是第二个方程的解；

∴是原方程组的解

【巩固】下列四组数对中①，②，③，④是方程组的解的序号

是       

【解析】将数对代入方程组检验

【答案】②

【巩固】在①，②，③，④，⑤这五对数值中，是方程的解是            ，的解是             ，的解是          

【解析】二元一次方程（组）解的检验

【答案】②⑤、②③④、②

【例9】    请以为解，构造一个二元一次方程组                 

【解析】本题答案不唯一，很多学生对类似的问题都无从下手，其实此类问题非常简单，构造的方式也多样，完全可以转化为代数式求值有关的问题，如，，，因此只需要将分别代入求值，填入数值即可

【答案】参考答案，其他答案符合条件即可

【巩固】请以为解，构造一个二元一次方程组                 

【解析】略

【答案】参考答案，答案不唯一

【例10】 若是方程的一个解，则．

【解析】       把方程的解代入方程，把关于和的方程转化为关于和的方程，再根据系数的关系来求解．

【答案】把代入方程，得

所以

即的值为．

模块二  二元一次方程组的解法

☞代入消元法

代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法.

代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.

☞用代入法解二元一次方程组的一般步骤：

①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如，用另一个未知数如的代数式表示出来，即写成的形式；

②代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出的值；

④回代求解：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解.

⑤把这个方程组的解写成的形式.

【例11】 把方程改写成用含的代数式表示的形式，则（     ）

A.     B.      C.       D.

【解析】       先去括号，再移项，合并同类项，整理后分析选项可得答案．

【答案】选A．

【巩固】已知关于、的二元一次方程（、均为常数），将其改写为用含的代数式表示的形式         

【解析】略

【答案】

【例12】 用代入消元法求解下列二元一次方程组

⑴   ，                     ⑵  

【解析】学生初学时，注意要求格式

【答案】⑴由①得，  ③

将③代入②得，，解得，代入③得

∴原方程组的解为

⑵由①得，  ③

将③代入②得，解得，代入③得

∴原方程组的解为

【巩固】用代入法解下列方程组

⑴     ⑵   ⑶   ⑷

⑸    ⑹    ⑺

【解析】略

【答案】⑴，⑵，⑶，⑷，⑸，⑹，⑺

【例13】 已知与是同类项，那么（     ）

A.         B.         C.         D.

【解析】由同类项的定义，列出关于，的二元一次方程组，从而得到，的值．

【答案】D

【巩固】单项式与是同类项，则

【解析】略

【答案】

☞加减消元法

加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.

☞用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；

②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；

⑤把这个方程组的解写成的形式.

☞加减消元方法的选择：

①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；

②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；

③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；

④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解.

【例14】 用加减消元法、解下列方程

⑴                       ⑵

【解析】学生初学时，注意格式上的要求

【答案】⑴①+②得，，解得

将代入①得，

∴原方程的解为

⑵ ①得， ③

③②得，，解得

将代入①得

∴原方程的解为

【巩固】用加减消元法解下列方程

⑴     ⑵     ⑶     ⑷

【解析】略

【解析】⑴；⑵；⑶；⑷；

☞选用恰当的方法解下列方程组

【例15】 选择合适方式解下列方程：

【解析】首先要确定消去哪个未知数，根据每个方程中未知数的系数特点，先消去较简单，系数的绝对值、的最小公倍数是，对两个方程进行适当变形.

【答案】①，得③

②，得④

③④，得，解得

将代入①，得

故原方程组的解为

【巩固】解下列方程组：

(1)；(2)；

(3)；(4)

【解析】(1)；(2)；(3)；(4).

【答案】见解析

【例16】 已知、满足方程组，则的值为_________．

【解析】观察方程组的系数，显然用减法即可整体求得的值．

【答案】

【巩固】在方程组中，若未知数、满足，则的取值范围为（   ）

A.             B.            C.            D.

【解析】已知，因此只需构造出的整体即可

【答案】，①+②得，，∴，∴

【例17】 已知关于、的方程组，则

【解析】先用含的代数式表示、，再求的值．

【答案】两方程相加得：

解得

将代入得：．

则．

【巩固】已知满足方程组，且，求：的值.

【解析】此题为求解未知数比值的问题.可以先把其中的一个未知数看作常数，解方程组，然后再求比值.

【答案】  ，①+②得，，所以

将代入①式，得，即

∵，∴

【例18】 二元一次方程组的解为,

【解析】由于未知数的系数为无理数，所以最好找到某个未知数系数的最小公倍数，用加减法解答．

【答案】

【例19】 解方程组：

【解析】解复杂的方程组时，应先化简为整系数的二元一次方程组，再求解.

【答案】原方程组可以简为  ，得，把代入②中，解得

故原方程组的解为：

1．               已知方程是二元一次方程，则，

【解析】根据二元一次方程的定义列出方程，求出、的值即可．

【答案】，

2．               已知，都是方程的解，则，

【解析】根据方程解的定义，解此题时可以把两组解分别代入原方程，列出关于，的方程，即可求出，的值．

【答案】，

3．               用代入法解方程组

【解析】略

【答案】  由①式可得③，

把③式代入①式中，得，整理，得

把代入③中，可得

这个方程组的解是

4．               解二元一次方程组： 

【解析】略

【答案】

1．     已知是二元一次方程，那么的值是（     ）

A.         B.        C.       D.

【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的次数为1这一方面解答．

【答案】C

2．     解下列方程组：

⑴ ⑵   ⑶ ⑷

【解析】⑴；⑵ ；⑶；⑷ .

【答案】见解析

3．     已知方程组:()，求：

【解析】把看作已知数，解关于、的方程组，解得，，所以.

【答案】见解析