【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）3实数.学生版

模块一 平方根、算术平方根

平方根:

如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．

也就是说，若，则就叫做的平方根．

一个非负数的平方根可用符号表示为“”．

算术平方根：

一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）

一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则．

平方根的计算：

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．

开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．

对定义和性质的考察

【例1】         判断题：

（1）一定是正数．                       (    )

（2）的算术平方根是．                                                (    )

（3）若，则．                        (    )

（4）若，则．                    (    )

（5）的平方根是．                         (    )

（6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．                          (    )

（7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数．              (    )

（8）没有平方根．                            (    )

（9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等．              (    )

【巩固】若，则的算术平方根是_________．

【巩固】设是整数，则使为最小正整数的的值是________．

【例2】         x为何值时，下列各式有意义？

（1）；                   （2）；              （3）；

（4） ；                  （5）   ；          （6）；

对计算的考察

【例3】         求下列等式中的x：

（1）若x2＝1．21，则x＝______；   （2）x2＝169，则x＝______；

（3）若，则x＝______；      （4）若x2＝，则x＝______．

【例4】         求下列各式的值

（1）                          （2）

（3）                   （4） 

（5）                      （6） 

【巩固】求下列各式中x的值．

（1）；                    （2）  

（3）                  （4）

对非负性的考察

【例5】         如果与互为相反数，求的值．

【例6】         已知，求的平方根．

【巩固】已知x，y，z满足，求的值．

模块二 立方根

如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根，

一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略．

前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．

读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”．

任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，

正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．

立方根的计算：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．

对立方根定义和性质的考察

【例7】         （1）下列说法中，不正确的是 （    ）   

          　　A． 8的立方根是2    　　B． 的立方根是

C．  0的立方根是0  　　 D． 的立方根是a

（2） 的立方根是（    ）

  　　　A．     B．    C．     D．

（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（    ）

   　 　A． 1个    B． 2个     C． 3个     D． 4个

（4）下列说法正确的是（    ）

① 正数都有平方根；② 负数都有平方根，

③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；

           　　 A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

（5）若a立方比a大，则a满足（    ）

    　A． a<0    B． 0< a <1     C． a >1     D． 以上都不对

（6）下列运算中不正确的是（    ）

 　　 A．          B．

C．         D．

【巩固】（1）若x的立方根是4，则x的平方根是______．

（2）中的x的取值范围是______，中的x的取值范围是______．

（3）－27的立方根与的平方根的和是______．

（4）若则x与y的关系是______．

（5）如果那么的值是______．

（6）若则x＝______．

（7）若m＜0，则=______．

（8）若的立方根是4，则的平方根是______．

对计算的考察

【例8】         求下列等式中的x：

（1）若x3＝0．729，则x＝______；   （2）x3＝，则x＝______；

（3）若=，则x＝______；     （4）若x3＝，则x＝______．

【例9】         求下列各式的值

（1）                       （2）

（3）                     （4） 

（5）                      （6）

（7）

【巩固】（1）填表：

（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．

（3） 根据你发现的规律填空：

① 已知，则=          ，=        ；

② 已知，，则=         ．

综合应用

【例10】     若与互为相反数，求的立方根．

【例11】     已知的平方根是±2，的立方根是3，求的平方根．

模块三 实数

1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．

注意：

（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．

（2）圆周率及一些含的数是无理数．

（3）不循环的无限小数是无理数．

（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．

2 无理数的性质：

设a为有理数，b为无理数，则a+b，a-b是无理数；

3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．

实数的分类：

４实数的性质：

（1）任何实数a，都有一个相反数-a．

（2）任何非0实数a，都有倒数．

（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．

５ 实数与数轴上的点一一对应：

即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．

对实数定义的考察

【例12】     判断正误．

（1）实数是由正实数和负实数组成．（    ）

（2）0属于正实数．（    ）

（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（    ） 

（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是1．（    ）

（5）若则．（    ） 

【例13】     下列说法错误的是（    ）

A．实数都可以表示在数轴上   　　　B．数轴上的点不全是有理数

C．坐标系中的点的坐标都是实数对　 D．是近似值，无法在数轴上表示准确

【例14】     下列说法正确的是（   ）   

A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数

C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数

对实数性质的考察

【例15】     的相反数是________；的倒数是________；的绝对值是________．

【例16】     ＝______；______．

【例17】     若，则x＝______；若，则x＝______．

实数的分类

【例18】     把下列各数填入相应的集合：

－1、、、π、、、、、、0、．

（1）有理数集合｛                  ｝；

（2）无理数集合｛                  ｝；

（3）整数集合｛                  ｝；

（4）正实数集合｛                  ｝；

（5）负实数集合｛                  ｝．

比较大小

【例19】     估计的大小应在（    ）  

A．7～8之间  B．～之间

C．～之间  D．9～10之间

【例20】     实数，和的大小关系是 （    ）   

A．  B．

C．  D．

【例21】     一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在    （    ）

A．4～5cm之间  B．5～6cm之间

C．6～7cm之间  D．7～8cm之间

【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．

4，，，1．414，，， ，，

对计算的考察

【例22】     计算题

（1）                   （2）                 

综合应用

【例23】     写出符合条件的数．

（1）小于的所有正整数；     （2）绝对值小于的所有整数．

【例24】     一个底为正方形的水池的容积是3150m3，池深14m，求这个水底的底边长．

【例25】     已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的值．

【练习1】下列说法正确是（    ）　　

A．有理数都是实数            B．实数都是有理数

C．带根号的数都是无理数　    D．无理数包含

【练习2】下列命题中，真命题是（    ）   

A．的平方根是2011      B．的平方根是

C．                  D．若，则

【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入为时，输出的是（    ）   

A．6       B．      C．       D． 

【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A与数轴上一点重合，这点表示的实数是           ．

【练习5】计算：

（1）               （2）

【练习6】已知，求的值．

1.  下列命题中，错误的命题个数是（    ）

 　 （1）没有平方根；        （2）100的算术平方根是10，记作 

（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；    （4）是最小的无理数．

A．1个       B．2个         C．3个        D．4个

2.   若，则下列等式成立的是（    ）      

A．        B．         C．      D．

3.  已知坐标平面内一点A(，3)，将点A先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到，则A′的坐标

为　　　　　　．

4. 已知，则的大小关系是__________________________（用“”连接）．
5. 计算:

（1）                     （2）

6. 已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高

各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？

7. 已知实数a，满足，求的值．

8. 先阅读理解，再回答下列问题：

因为，且，所以的整数部分为1；

因为，且，所以的整数部分为2；

因为，且，所以的整数部分为3；

以此类推，我们会发现（n为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．

9.  计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．

（1）与；

（2）与；

（3）与；

（4）与；

（5）=         ；

（6）=         ．

10. 若为的整数部分，是9的平方根，且，求的算术平方根．