【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）6二元一次方程组的概念及解法．学生版
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内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
二元一次方程（组） | 了解二元一次方程（组）的有关概念 | 能根据实际问题列出二元一次方程组 |
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二元一次方程组的解 | 知道代入消元法和加减消元法的意义 | 掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组 | 会运用二元一次方程组解决实际问题 |
模块一 二元一次方程（组）的基本概念
☞二元一次方程
1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程.
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：
①方程两边的代数式都是整式——整式方程；
②含有两个未知数——“二元”；
③含有未知数的项的次数为1——“一次”.
2.二元一次方程的一般形式：(，)
3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
一般情况下，一个二元一次方程有无数个解.
【例1】 下列各式是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【例2】 若是二元一次方程，则求、的值.
【巩固】已知方程是关于、的二元一次方程，求、的值.
【例3】 已知是方程的解，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【巩固】已知是方程的解，则
【例4】 方程的正整数解有几组？（ ）
A.1组 B.3组 C.4组 D.无数组
【巩固】⑴设、为正整数，求的所有解
⑵设、为非负整数，求的所有解
⑶设为正数，为正整数，求的所有解
【例5】 若方程是二元一次方程，则的值为 .
【巩固】若是二元一次方程，那么的、值分别是（ ）
A、， B、， C、， D、，
☞二元一次方程组：
1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.
二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）.
如也是二元一次方程组.
2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数.
【例6】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选）
A. B. C. D.
E. F. G. H.
【巩固】下列方程组中，①；②；③；④是二元一次方程组的序号是
【例7】 如图，射线的端点在直线上，的度数比的度数的倍多，则可列正确的方程组为（ ）
A. B. C. D.
【巩固】一副三角板如图方式摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（ ）
A. B. C. D.
【巩固】某校初三⑵班名同学为“希望工程”捐款，共捐款元，捐款情况如下表：
捐款（元） | 1 | 2 | 3 | 4 |
人数 | 6 |
|
| 7 |
表格中捐款元和元的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，若设捐款元的有名同学，捐款元的有名同学，根据题意得，可列方程组（ ）
A. B. C. D.
【例8】 下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？
⑴ ； ⑵ ； ⑶
【巩固】下列四组数对中①，②，③，④是方程组的解的序号
是
【巩固】在①，②，③，④，⑤这五对数值中，是方程的解是 ，的解是 ，的解是
【例9】 请以为解，构造一个二元一次方程组
【巩固】请以为解，构造一个二元一次方程组
【例10】 若是方程的一个解，则．
模块二 二元一次方程组的解法
☞代入消元法
代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法.
代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.
☞用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如，用另一个未知数如的代数式表示出来，即写成的形式；
②代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出的值；
④回代求解：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解.
⑤把这个方程组的解写成的形式.
【例11】 把方程改写成用含的代数式表示的形式，则（ ）
A. B. C. D.
【巩固】已知关于、的二元一次方程（、均为常数），将其改写为用含的代数式表示的形式
【例12】 用代入消元法求解下列二元一次方程组
⑴ ， ⑵
【巩固】用代入法解下列方程组
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹ ⑺
【例13】 已知与是同类项，那么（ ）
A. B. C. D.
【巩固】单项式与是同类项，则
☞加减消元法
加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.
☞用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；
⑤把这个方程组的解写成的形式.
☞加减消元方法的选择：
①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；
②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；
③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；
④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解.
【例14】 用加减消元法、解下列方程
⑴ ⑵
【巩固】用加减消元法解下列方程
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
☞选用恰当的方法解下列方程组
【例15】 选择合适方式解下列方程：
【巩固】解下列方程组：
(1)；(2)；
(3)；(4)
【例16】 已知、满足方程组，则的值为_________．
【巩固】在方程组中，若未知数、满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【例17】 已知关于、的方程组，则
【巩固】已知满足方程组，且，求：的值.
【例18】 二元一次方程组的解为,
【例19】 解方程组：
1． 已知方程是二元一次方程，则，
2． 已知，都是方程的解，则，
3． 用代入法解方程组
1． 已知是二元一次方程，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
2． 解下列方程组：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
3． 已知方程组:()，求：
