【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）8二元一次方程组的应用．学生版

☞倍分问题

【例1】    甲原有元，乙原有元，若乙给甲元，则甲所有钱为乙的倍，若甲给乙元，则甲所有钱为乙的倍多元，将，的关系式列成二元一次方程组

【巩固】古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！~”那么驴子和骡子原来所驮货物的袋数分别是多少？

☞年龄问题

【例2】    父子的年龄差岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？

☞数字问题

【例3】    已知二位数，其十位数字的倍与个位数字的和是，它的各位与十位数字对调后，所得的新数比原数大，问原数是多少？

【巩固】有一个二位数，它的个位数字的倍比十位数字的倍多，若把它的各位数字与十位数字对调后，所得的新数比原数的倍多，试求原数

☞分配问题

【例4】    某校有两种类型的学生宿舍间，大的宿舍可住人，小的每间可住人，该校个住宿生恰好住满这间宿舍，大小宿舍个多少间

【巩固】凌凌为了减肥到康康健身中心做跑步运动，平常因跑步机人数少于人数，故须每人轮流使用，且每台跑步机每天只能使用公里，则平均每人使用公里；某一假日人数增加人，且恰巧跑步机坏了台不能使用，所以每人平均只能使用公里，求原来有多少人？跑步机有多少台？

【巩固】明朝程大位所著算法统宗里有一道有趣的问题：“一百馒头，一百僧（100个和尚吃100个馒头），大僧三个便无争，小僧三人分一个”。问大小和尚各几人？请你算出答案

☞比赛问题

【例5】    某中学足球赛共比赛10轮（即每队均需比赛场），其中胜一场得分，平一场分，负一场得分，香茗中学足球队在这次联赛中所负场数比踢平场数少场，结果共得分，香茗中学足球队在这次联赛中胜了多少场？

【巩固】某市中学生举行足球联赛，共赛轮（即每队均需参赛场），记分办法是胜一场得分，平一场得分，负一场得分

⑴在这次足球赛中，若小虎足球队踢平场数与所负场数相同，共积分分，试求该队胜几场

⑵在这次足球赛中，若小虎足球队总积分仍为分，且踢平场数是所负场数的整数倍，试推算小虎足球队所负场数的情况有几种。

☞路程问题

【例6】    、两地相距千米，两人步行，甲从到，乙从到，两人同时出发，相向而行，小时后相遇；若行小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的倍，求两人速度

【巩固】已知某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用，整列火车完全在桥上的时间是，求火车的速度和长度．

☞盈不足问题

【例7】    某校初一学生外出春游，如果每辆汽车坐人，那么人没有座位；如果每辆车坐人，那么空出辆汽车，问共有多少学生？几辆汽车？

☞等面积问题

【例8】    一长方形花园，若长减米，宽加米，则形成与长方形同面积的正方形，试问长方形的长与宽各是多少米？

☞配套问题

【例9】    现有张铁皮，每张铁皮可做个盒身或个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，那么用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

【巩固】某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等(如图(2))，再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒(如图(1)).现将张长方形硬纸片和张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？(注：图(1)中向上的一面无盖)

【巩固】某电视台在黄金时段的分钟广告时间内，计划插播长度为秒和秒的两种广告，秒广告每播一次收费万元，秒广告每播一次收费万元，若要求每种广告播放不少于次

⑴两种广告的播放次数有几种安排方式

⑵电视台选择哪种播放方式收益较大

【巩固】某电脑公司有A、B、C三种型号的电脑，价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。东坡中学计划将100500元钱全部用于从该公司购进电脑，总共要其中两种不同型号的电脑36台。请你设计几种购买方案供该校选择，并说明理由。

☞利率问题

【例10】 某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共万元，甲种存款的年利率为，乙种存款的年利率为,该公司一年共得利息元，求甲、乙两种存款各多少万元？

【巩固】某工厂向银行贷款甲、乙两种，共计万元，每年付利息万元，甲种贷款年利率为，乙种贷款年利率为，求两种贷款各多少万元？

☞增长率问题

【例11】 某省预计今年粮食产量比去年增加万千克，该省去年人口是万人，如果今年人口比去年增长，预计今年人均拥有的粮食比去年减少千克，该省去年粮食是多少万千克？预计今年粮食产量是多少万千克？

【巩固】某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%，该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？

☞销售问题

【例12】 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据图1和图2提供的信息，请计算一盒福娃玩具和一枚徽章的价格各是多少元。

【巩固】阿豪和阿贤帮同学到合作社买早餐，阿豪买了杯豆浆和个肉包共元，阿贤买了杯豆浆和个肉包共元，则合作社每杯豆浆和每个肉包的售价各是多少元？

☞绳长问题

【例13】 有甲、乙两条绳子，其中甲绳长与乙绳长的叠合后，全长厘米，求甲、乙两绳长各是多少厘米？

☞浓度问题

【例14】 把浓度分别是和的甲、乙两种酒精溶液，配制成浓度是的消毒酒精溶液克，求甲、乙两种酒精溶液各取多少克？

【巩固】有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是，乙种酒精溶液酒精与水的比是，今要得到酒精与水的比的酒精溶液，求甲、乙两种溶液各取多少?

☞方案设计

【例15】     项王故里的门票价格规定如下表：

某校初一甲、乙两班共人(其中甲班人数多于乙班去游项王故里的人数，如果两班都以班为单位分别购票，一共需付元．)

⑴如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱?

⑵两班各有多少名学生?

【巩固】团体购买公园门票票价如下：(注意和例题表述的不同)

今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于人，乙团人数不超过人.若分别购票，两团共计应付门票费元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费元．

⑵         请你判断乙团的人数是否也少于人．

⑵求甲、乙两旅行团各有多少人？

【例16】     某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元.

⑴若商场同时购进两种不同型号的电视机台，共付万元，请探究一下商场的进货方案；

⑵若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一乙种电视机可获利元，销售一台丙种视机可获利元．在同时购进两种不同电视机的方案中，哪种能使获利最大?

⑶         若商场准备用万元同时购进三种不同型号的电视机台，请你设计进货方案．

☞其他

【例17】 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电kW·h；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的倍，而这时甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电kW·h。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电的度数。

【例18】 某中学新建了一栋层的教学大楼，每层楼有间教室，进出这栋大楼共有道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，分钟内可以通过名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，分钟内可以通过名学生。

⑴求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

⑵检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低，安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在分钟内通过这道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有名学生，问：建造的这道门是否符合安全规定？请说明理由

【例19】 为了解决农民工子女入学难的问题，某市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”，据统计，2005年秋季有名农民工子女进入城区中小学学习，预测年秋季进入城区中小学学习的农民工子女将比上一年有所增加，其中小学增加，中学增加，这样，年将新增加名农民工子女在城区中小学就读

⑴如果按小学每生每年收“借读费”元，中学每生每年收“借读费”元计算，求年新增的名中小学共免收多少“借读费”

⑵如果按小学每名学生配备名教师，中学每名学生配备名教师计算，年秋季该市教育行政部门应新配备多少中小学教师？

1．     学校书法兴趣小组准备到文具店购买、两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买型毛笔不超过支时，按零售价销售；超过支时，超过部分每支比零售价低元，其余部分仍按零售价销售。一次性购买型毛笔不超过支时，按零售价销售；超过支时，超过部分每支比零售价低元，其余部分仍按零售价销售

⑴如果全组共有名同学，若每人各买支型毛笔和支型毛笔，共支付元；若每人各买支型笔和支型毛笔，共支付元，这家文具店的、两种类型毛笔的零售价是多少？

⑵为了促销，该文具店对型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即⑴中所求得的型毛笔的零售价）的出售。现要购买型毛笔支（），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由。

2．     某牛奶加工厂现有鲜奶吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润元；制成酸奶销售，每吨可获取利润元；制成奶片销售，每吨可获取利润元

该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工吨；制成奶片每天可加工吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温条件限制，这批牛奶必须在天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好天完成

你认为选择哪种方案获利最多？为什么？

1．     “中国竹乡”安吉县有丰富的毛竹资源，某企业已收购毛竹吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加吨，每吨可获利5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售，为此研究了二种方案

方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利        元．

方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利        元．

问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．