【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）9不等式的概念、性质及解法．学生版

板块一、不等式的概念和性质

☞不等式的概念

1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：

等都是不等式．

2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．

注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．

3.不等号“”和“”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“”改变方向后，就变成了“”。

【例1】         用不等式表示数量的不等关系．

（1） 是正数         （2）是非负数          （3）的相反数不大于1     

（4） 与的差是负数 （5）的4倍不小于8    （6）的相反数与的一半的差不是正数      （7）的3倍不大于的 （8） 不比0大

【巩固】用不等式表示：

⑴ 的与的差大于；            ⑵ 的与的和小于；

⑶ 的倍与的的差是非负数；    ⑷ 与的和的不大于．

【巩固】用不等式表示：

⑴是非负数； ⑵的倍小于； ⑶与的和大于；⑷与的和大于

☞不等式的性质

不等式基本性质：

基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．

如果，那么

如果，那么

基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

如果，并且，那么(或)

如果，并且，那么(或)

基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

如果，并且，那么(或)

如果，并且，那么(或)

不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．

不等式的传递性：如果，，那么．

易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

②在计算的时候符号方向容易忘记改变．

【例2】         ⑴ 如果，则，是根据                            ；

⑵ 如果，则，是根据                           ；

⑶ 如果，则，是根据                                         ；

⑷ 如果，则，是根据                                     ；

⑸ 如果，则，是根据                                  ．

【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．

⑴ 若，则_______； ⑵ 若，则______；

⑶ 若，则______；⑷ 若，，则______；

⑸ 若，，，则_______．

【巩固】若，用“”或“”填空

⑴；        ⑵

⑶；          ⑷

【巩固】若，则下列各式中不正确的是（    ）

A.         B.        C.       D.

【例3】         已知，要使成立，则必须满足(     )

A．      B．      C．      D．为任意数

【巩固】如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（     ）

A.         B.           C.          D.

【巩固】若，则下列不等成立的是(    )

A．          B．         C．        D．

【巩固】如果，可知下面哪个不等式一定成立(    )

A．    B．    C．     D．

【巩固】如果，那么下列四个式子中：①  ②  ③  ④正确的式子的个数共有  (    )

A．个             B．个            C．个             D．个

【巩固】根据，则下面哪个不等式不一定成立(    )

A．      B．      C．       D．

☞不等式的解集

1.不等式的解：

使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：，，，，都是不等式的解，当然它的解还有许多．

2.不等式的解集：

能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．

不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．

不等式的解集可以用数轴来表示．

不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．

在数轴上表示不等式的解集(示意图)：

【例4】         下列说法中错误的是（    ）

A.不等式的解集是；        B.是不等式的一个解

C.不等式的正整数解有无数多个      D.不等式正整数解有无限个

【例5】         在数轴上表示下列不等式的解集：

⑴；       ⑵；       ⑶或；     ⑷

【巩固】在、、、、、、中，能使不等式成立的有（    ）

A.个           B.个             C.个          D.个

【巩固】下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中一定成立的有（    ）

A.1个            B.2个           C.3个           D.4个

板块二、一元一次不等式的解法

1.一元一次不等式：

经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为或的形式，其中是未知数，是已知数，并且，这样的不等式叫一元一次不等式．

或()叫做一元一次不等式的标准形式．

2.解一元一次不等式：

去分母→去括号→移项→合并同类项(化成或形式)→系数化一(化成或的形式)

【例6】         求不等式的解集．

【巩固】解不等式：

【巩固】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

【巩固】解不等式

【巩固】当为何值时，代数式的值不小于的值？

【例7】         求不等式＜1的正整数解．

【巩固】不等式的负整数解是_______．

【巩固】不等式的正整数解为__________．

【巩固】求不等式的非负整数解．

板块三、一元一次不等式组的解法

1.一元一次不等式和它的解法

一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集

2.解一元一次不等式组的一般步骤：

①求出这个不等式组中各个不等式的解集：

②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集

注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；

②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解

3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：

【例8】         解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．

【巩固】求不等式组  的整数解．

【例9】         解不等式：；

【巩固】解不等式：

【例10】     解不等式组：；

【巩固】解不等式组：

【例11】     解不等式组：　

【巩固】解不等式组：

【例12】     解不等式组。

【巩固】如果、、这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求的取值范围．

1.    如果，可知下面哪个不等式成立(    )

A．    B．    C．     D．

2.    比较下列各对代数式的值的大小：

⑴已知，则；

⑵已知，则。

3.    解不等式：

4.    解不等式组：

5.    求同时满足和的整数解

一、填空

1．  不等式的负整数解为          

2．  不等式的非负整数解是            

3．  不等式的最小整数解是            

4．  不等式的正整数解是        

5．  关于的方程的根是正数，则的取值范围是         

6．  不等式组的解集是          

7．  不等式组的解集是             

8．  不等式组的解集是          ，这个不等式组的整数解是        

9．  不等式组的解集是         

10．  不等式组的整数解的和是            

二、解答题

1．  解不等式组，并把解集在数轴上表示出来

⑴       ⑵     ⑶   ⑷

⑸   ⑹  ⑺  ⑻