【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）1二次根式的概念及性质.教师版

二次根式的概念及性质





内容
基本要求
略高要求
较高要求
二次根式的化简和运算
理解二次根式的加、减、乘、除运算法则
会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）


模块一 二次根式的概念及性质


二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
二次根式的基本性质：（1）（）双重非负性；（2）（）；（3）．


对二次根式定义的考察


【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、、、、、、（x≥0，y≥0）．
【难度】1星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
【答案】二次根式有：、、、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、、．


【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．x
【难度】1星
【解析】略
【答案】A．


【例2】 当x是多少时，在实数范围内有意义？
【难度】1星
【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
【答案】x≥．


【例3】 当x是多少时，在实数范围内有意义？
【难度】2星
【解析】要使在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．
依题意，得
由2x+3≥0得：x≥
由x+1≠0 得：x≠-1
当x≥且x≠-1时，在实数范围内有意义
【答案】x≥且x≠-1．


【巩固】使式子有意义的未知数x有（ ）个 ．
A．0 B．1 C．2 D．无数
【难度】1星
【解析】利用二次根式和平方非负性解题．
【答案】B．


【巩固】某工厂要制作一批体积为1的产品包装盒，其高为0．2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
【难度】1星
【解析】注意在实际应用题中数据的非负性．
　　　　设底面边长为x，则，解答：x=
【答案】．


【例4】 解答下列题目
（1） 已知，求的值．
【难度】1星
【解析】二次根式非负性的考察．
　　　　由题可知，解得x=3，y=6，则=
【答案】．


（2）若，求的值．
【难度】1星
【解析】原式=．
【答案】0．


【巩固】已知a、b为实数，且，求a、b的值．
【难度】2星
【解析】二次根式非负性的考察．
【答案】a=5，b=-5．


【巩固】已知实数a与非零实数x满足等式：，求．
【难度】3星
【解析】非负性的考察．
由题可知
，．
又，．
原式=
当a=，原式=a-2=，当a=；原式=a-2=．
【答案】或．


对二次根式性质的考察


【例5】 计算
（1） （2） （3） （4）
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2）；（3）5；（4）．


【巩固】计算
（1） （2）
（3） （4）
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）x+2；（2）；（3）；（4）．


【例6】 在实数范围内分解下列因式:
（1） （2） （3）
【难度】2星
【解析】实数与有理数的区别:实数包含无理数．
【答案】（1）；（2）；（3）．


【例7】 先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=；
乙的解答为：原式=．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
【难度】2星
【解析】略
【答案】甲； 甲没有先判定1-a是正数还是负数．


【巩固】若-3≤x≤2时，试化简．
【难度】2星
【解析】； ；
　　　　原式=．
【答案】　．


【巩固】如果，，化简．
【难度】2星
【解析】略

原式=．
【答案】．

总结:（1）在做题中,在有取之范围的情况下,根式下的式子要满足大于等于0；同时特别注意其与分式的
结合应用；
（2）整个初中数学共学习了三个非负性：绝对值；偶次方（常以平方的形式出现）；根号．在中考
题中经常以填空或选择的形式出现．


模块二 二次根式的乘除运算


二次根式的乘法法则：（，）
【例8】 如果成立，那么x，y必须满足条件 ．
【难度】1星
【解析】略
【答案】．


【例9】 化简：（1）＝______；（2）＝______；（3）＝______．
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1） 63； （2）0．3 （3）．


【例10】 如果，那么（ ）．
A． B． C． D． x为任意实数
【难度】1星
【解析】略
【答案】B．


【巩固】已知三角形一边长为，这条边上的高为，求该三角形的面积．
【难度】1星
【解析】（）．
【答案】．


【例11】 把根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）．
A． B． C． D．
【难度】1星
【解析】略
【答案】D．


【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：
（1） （2）
【难度】2星
【解析】利用解题，在解题过程中要注意的应用．
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．


【例12】 先化简，再求值：，其中
【难度】1星
【解析】在做题过程中，一定要注意先化简，再代入求值．
原式，把代入得原式=．
【答案】．


【例13】 已知a，b为实数，且，求的值．
【难度】3星
【解析】非负性的考察．
．

原式=．
【答案】．


【巩固】探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）
验证：

验证：
同理可得：
，……
通过上述探究你能猜测出： =_______（a>0），并验证你的结论．
【难度】2星
【解析】略
【答案】
验证：


总结：对于上题，在做题中要注意横向和纵向的对比，即式子本身及式子与式子自检的关系，以便找到规律．
　　　利用乘法法则时注意、的取值范围，对于，、都非负，否则不成立，
如．


二次根式的除法法则： （，）


【例14】 计算：　（1） 　　（1）
（3） 　 （4）

【难度】1星
【解析】利用 （，）便可直接得出答案
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】　（1）；（2）；（3）；（4）．


【巩固】已知求的值．
【难度】3星
【解析】乘法公式和除法公式的综合应用．
．
【答案】．


【例15】 已知，且x为偶数，求的值．
【难度】3星
【解析】由题可知为偶数，
（1+x），
当x=8时，原式=．
【答案】．


【巩固】 （m>0，n>0）
【难度】1星
【解析】原式=
==．
【答案】．

总结：利用这除法法则时注意、的取值范围，对于 （，），非负，必须大于０，否则不成立．


模块三 最简二次根式：


二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式．
（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
（3）分母中不含二次根式
注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．


【例16】 把下列各式化成最简二次根式：
（1）＝______；（2）＝______；（3）＝______；（4）＝______．
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．


【例17】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】1星
【解析】略
【答案】B．


【巩固】把下列各式化成最简二次根式：
　　（1） （2） （3） （4）
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．


【例18】 计算：（1）； （2）； （3）；
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2）；（3）．


分母有理化：
把分母中的根号化去叫做分母有理化．


互为有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．
与互为有理化因式，原理是平方差公式；
分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．


【例19】 的有理化因式是 ；的有理化因式是 ．
的有理化因式是 ．
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2） ； （3）．


【例20】 把下列各式分母有理化：
（1） （2） （3） （4）
【难度】1星
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．


【巩固】化简：
【难度】1星
【解析】略
【答案】．


【例21】
【难度】2星
【解析】原式=．
【答案】．


【例22】 观察规律：，……，求值．
（1）＝______；（2）＝______；（3）＝______．
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2）；（3）．


【巩固】计算：_______．
【难度】2星
【解析】原式=．
【答案】．


模块四 同类二次根式


几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
合并同类二次根式：．同类二次根式才可加减合并．


【例23】 把下列二次根式化简后，与的被开方数相同的有 ；与的被开方数相同的有 ；与的被开方数相同的有 ．
【难度】1星
【解析】略
【答案】 ；；．


【例24】 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则．
【难度】2星
【解析】同类二次根式的考察
依题意，得，3a-5=a+3 ，解得a=4 ．
【答案】4．


【例25】 化简后，与的被开方数相同的二次根式是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】1星
【解析】略
【答案】 B．


【例26】 若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
【难度】2星
【解析】依题意，得 ， ，
所以或 或或．
【答案】或 或或．


【巩固】若与最简二次根式是同类二次根式，求a，b的值．
【难度】2星
【解析】在做题过程中，要注意是否是最简二次根式， 此题注意到不是最简二次根式就可以了
【答案】．


【巩固】已知最简根式是同类二次根式，则满足条件的a，b的值（ ）
A．不存在　　　　B．有一组　　　　C．有二组　　　　D．多于二组
【难度】1星
【解析】略
【答案】B．


【例27】 化简计算：
（1） （2）()
（3）
【难度】2星
【解析】略
【答案】（1）；（2）；（3）．

课堂检测

【练习1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】1星
【解析】略
【答案】B．


【练习2】已知是二次根式，则x应满足的条件是（ ）．
A． x＞0 B． x≤0 C． x≥－3 D． x＞－3
【难度】2星
【解析】注意分式与二次根式的结合．
【答案】D．


【练习3】若有意义，则m＝ ．
【难度】1星
【解析】略
【答案】0．


【练习4】计算下列各式：
（1） （2） （3） （4）
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）18；（2）6；（3）15；（4）6．


【练习5】计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
（1）＝______；（2）______；（3）＝______；（4）＝______．
【难度】1星
【解析】略
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．


【练习6】计算 （a>0）
【难度】2星
【解析】原式

【答案】．


总结复习

1. 通过本堂课你学会了 ．
2. 掌握的不太好的部分 ．
3. 老师点评：① ．
② ．
③ ．


课后作业

1. 当a______时，有意义；当x______时，有意义．
当x______时，有意义；当x______时，的值为1．
【难度】1星
【解析】略
【答案】；；x>0；x=1．


2. 若b＜0，化简的结果是______．
【难度】1星
【解析】略
【答案】原式．


3. 在，中，与是同类二次根式的是 ．
【难度】1星
【解析】略
【答案】．


4. 若与最简根式是同类二次根式，则= ．
【难度】2星
【解析】依题意，得，解得 ，．
【答案】．


5. 若a，b两数满足b＜0＜a且｜b｜＞｜a｜，则下列各式有意义的是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】由已知条件，借助于数轴解决问题．
【答案】C．


6. 等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．或
【难度】1星
【解析】略
【答案】A．


7. 若，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【难度】2星
【解析】略
【答案】C．


8. 计算
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【难度】2星
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．


9. 若最简二次根式是同类根式，求的值
【难度】2星
【解析】，解得，原式．
【答案】．


10. 化简：（ ）
A．　　　　　　　　B．
C．　　　　　　　　D．不同于以上三个答案
【难度】2星
【解析】灵活应用分母有理化．


【答案】C．