【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）3勾股定理.教师版

1．    勾股定理的内容：

如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、

弦——斜边。

2．勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

3．勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即

。

4．勾股数：

满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】  下列说法正确的是（　　）

A. 若是的三边，则

B. 若是的三边，则

C. 若 是的三边，，则

D. 若 是的三边，，则

【解析】在直角三角形中,才可应用勾股定理.其次,要注意边和角的对应.选D.

【答案】D

【例2】  若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为       

【解析】可知三边为，所以周长为

【答案】12

【例3】  已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.

【解析】①当两直角边为3和4时，第三边长为；

②当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.

【答案】或

【例4】  已知直角三角形两边，的长满足，则第三边长为______________．

【解析】根据绝对值和平方根的非负性可知：或或．

【答案】或或

【例5】  如图，一个长为米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么，梯子底端的滑动距离         米（填“大于”、“等于”、“小于”）

【解析】由勾股定理可知：大于

【答案】大于

【例6】  三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为(     )

A.  6    B.  4.5     C.  2.4      D.8

【解析】本题易错.最短边为6，它的高为8.选D .

【答案】D

【例7】  如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的(     )

A. 1倍      B.  2倍     C.  3倍     D.  4倍

【解析】省略

【答案】B

【例8】  如图，一根高米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端触地处到旗杆底部的距离为米，则折断点到旗杆底部的距离为        

【解析】设米，则米，因为米，根据勾股定理可得：，解答，故折断点到旗杆底部的距离为米

【答案】

【例9】  已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，，求的长．

【解析】由题意得，.

       在中，应用勾股定理得，

       .

       所以.

       在中，应用勾股定理，设，得

       .

       解得 即.

【答案】

【例10】  如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是（     ）

A. 0          B. 1         C. 2       D. 3

【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C.

【答案】C

【例11】  如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是和，那么最小的正方形的面积为        

【解析】省略

【答案】

【例12】  某片绿地的形状如图所示，其中，，，，，求、的长（精确到1m，）.

【解析】延长、交于点，

在中，，则，

由，得，

从而m.

在中，∵，，

∴，

从而m ，

∴m ，

m.

【答案】

【例13】  如图，是斜边的中点，，分别在，上，，判断，与的数量关系并证明你的结论．

【解析】．

延长到，使，连结、．

显然，

∴，，

∵

∴

∴为直角三角形．

∴．

【答案】见解析

【例14】  直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）

A．121    B．120   C．90     D．不能确定

【解析】整体代入法.应用平方差公式.选C.

【答案】C

【例15】  如图，已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积.

【解析】在Rt△ABC中，根据勾股定理，得，

即。

又由已知得,所以。

解得 .所以.

【答案】

【例16】  在中，，若，则       .

【解析】 在中,由勾股定理得，.

         又有,

         所以

         所以.

【答案】

【例17】  如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了       步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

【解析】直接应用勾股定理可知,少走了5m.又知2步为1米,所以少走了10步.

【答案】

【例18】  一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是      ．

【解析】 题目要求只在平面状态下考虑,所以直接用勾股定理可知铁条最长为25.

【答案】

【例19】  蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）

【解析】把折线从A到D,分三段计算.第1段长为5,第2段长为13,第3段长为10,进行加法计算,所以蚂蚁一共爬了28cm .

【答案】

【例20】  一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动(　    )

　          A. 9分米　　　B. 15分米　　　C. 5分米　    D. 8分米

【解析】在初始和结束两个状态下,选定直角三角形,应用勾股定理.

       初始时,经计算,可知,梯顶距墙底端24分米.

       结束时,经计算,可知,梯足距离墙底端15分米.选D.

【答案】D

【例21】  放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（    ）

            A．600米     B. 800米    C. 1000米     D. 不能确定

【解析】速度一定且相同，路程比=时间比.再用勾股定理，直线距离应该是25分钟的路程.选C.

【答案】C

【例22】  如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

【解析】这是立体几何问题.盒子内两点间最长距离是长方体的斜对角线.

      L==20cm.

      细木棒露在盒外面的最短长度是25-20=5cm.

【答案】

【例23】  将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为，则的取值范围为        

【解析】省略

【答案】

【习题1】在中， ，

（1）如果，则_______；

（2）如果，则_______；

（3）如果，则________；

（4）如果，则________.

【解析】直接应用勾股定理,且为斜边. (1)5；(2)10；(3)13；(4)25.

【答案】(1)5；(2)10；(3)13；(4)25

【习题2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为       ．

【解析】勾股数中只有唯一的一组:6,8,10.

【答案】6，8，10

【习题3】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是，那么长的梯子可以达到的高度为        

【解析】在直角三角形中,直接应用勾股定理.可得高度为

【答案】

【习题4】如图,点是的角平分线上一点，过点作交于点.若,则点到的距离等于__________.

【解析】过点作，并交于点.

∵是的角平分线，

∴.

又∵，

∴.

∴.

∴.

∴.

【答案】

【习题5】如图所示，在中，三边的大小关系是（     ）

A.              B.        

C.              D. 

【解析】a= ,b=,c= . 选D.

【答案】D

【习题6】在三角形中，已知边上的高，求边的长

【解析】本题有两种情况：

        ⑴高在三角形内，如图1，分别在和中，求得,所以

        ⑵高在三角形外，如图2，同样可求得，则

【答案】见解析

【习题7】如图，已知和都是等腰直角三角形，为边上一点，求证：

【解析】因为，，所以可知,所以，得证

【答案】见解析