【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）6.平行四边形2.教师版
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内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
平行四边形 | 会识别平行四边形 | 掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质及判定解决简单问题 | 会运用平行四边形的性质及判定解决有关问题 |
一、平行四边形的性质
平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．
平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形．
平行四边形的周长：一组邻边之和的倍．
平行四边形的面积：底乘以高．
二、平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【例1】 如图2，在平行四边形中，，，于，则 ．
【解析】∵四边形是平行四边形
∴
又∵
∴，∴
又∵，∴
∴．
【答案】
【例2】 已知平行四边形的周长为，对角线、相交于点，的周长比的周长多，则的长度为 ．
【解析】如图，的周长为，的周长为
由平行四边形的对角线互相平分可得
∴．
【答案】
【例3】 如图3，一个平行四边形被分成面积为、、、四个小平行四边形，当沿自左向右在平行四边形内平行滑动时．
① 与的大小关系为 ．
② 已知点与点、不重合时，图中共有 个平行四边形，
【解析】①（利用平行线处处距离相等，设出、、、对应的底和高，用底和高表示与即可发现结论）；②．
【答案】①；②
【例4】 在平行四边形中，点、、、和、、、分别为和的五等分点，点、和、分别是和的三等分点，已知四边形的面积为，则平行四边形面积为 ．
A．2 B． C． D．
【解析】将其中的两块阴影部分拼到两块三角形空白区域，得到9块小平行四边形的面积为1，故15块的面积为
【答案】
【例5】 现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．
【解析】省略
【答案】答案不惟一．
【例6】 已知如图，四边形中，，分别是的中点，如
果则= ．
【解析】略
【答案】5
【例7】 如图，平行四边形 中，于，于.求证：.
【解析】省略
【答案】∵四边形是平行四边形，
∴，.
∴.
又∵，.
∴.
∴≌.
∴.
【例8】 如图，在平行四边形中，连接对角线，过两点分别作为垂足，求证：四边形是平行四边形
【解析】省略
【答案】因为是平行四边形，所以且
所以
因为，所以
所以，所以
因为，所以
所以四边形是平行四边形
【例9】 如图，已知：是的角平分线，在上截取，连接，求证：四边形是平行四边形
【解析】省略
【答案】因为平分
所以
因为，所以
所以
因为，所以
因为，所以是平行四边形
【例10】 已知：如图，在平行四边形中，分别是的中点.求证：(1)≌；(2)四边形是平行四边形．
【解析】省略
【答案】（1）∵四边形平行四边形，
∴.
又∵分别是的中点，
∴.
∴.
∴≌.
（2）由（1）知，≌. ∴.
∴四边形是平行四边形．
【例11】 如图所示，在平行四边形中，、是对角线上两点，且，求证：四边形
是平行四边形．
【解析】省略
【答案】连接，交于
∵ 四边形是平行四边形，∴，
∵，∴
∴，∴四边形是平行四边形
【例12】 如图，在平行四边形中，点在上，且，与交于点，与交于点，求证：四边形是平行四边形
【解析】省略
【答案】先证四边形是平行四边形，得出，再证四边形是平行四边形，得，
所以四边形是平行四边形
【例13】 如图，在平行四边形中，点、是对角线上的点，且，，求证：四边形是平行四边形．
【解析】省略
【答案】∵四边形是平行四边形
∴，
∴
又∵
∴
又∵
显然
∴且
∴
∴四边形是平行四边形．
【例14】 如图，、分别是平行四边形的、边上的点，且．
⑴求证：≌；
⑵若、分别是、的中点，连接、，试判断四边形是怎样的四边形，并证明你的结论．
【解析】省略
【答案】⑴由是平行四边形可知，，
又，故≌
⑵由(1)可知，，
又，，∴
而∥，∴有
∴，∴∥
∴四边形为平行四边形
【例15】 如图，过四边形对角线的交点作直线交、分别于、，又、分别为、的中点，求证：四边形为平行四边形．
【解析】省略
【答案】易证，
∴四边形为平行四边形
【例16】 已知：如图，平行四边形内有一点满足于点，，，请找出与相等的一条线段，并给予证明．
【解析】或．
证明：延长交于，
∵且
∴
又∵
∴为等腰直角三角形
∴
在和中
∴
∴
【答案】或
- 已知：如图，∥，∥，且．求证：四边形是平行四边形．
【解析】省略
【答案】∵∥，∴，∴
又∵，∴
∵∥
∴，∴≌
∴，∴是平行四边形
- 如图，在平行四边形的各边上，分别取，使，
，求证：四边形为平行四边形
【解析】省略
【答案】利用，，证明
