【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）5平行四边形1.教师版

一、平行四边形的性质

平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．

平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．

平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．

平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形．

平行四边形的周长：一组邻边之和的倍．

平行四边形的面积：底乘以高．

二、平行四边形的判定

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

一、平行四边形的性质

【例1】         如图所示，已知四边形，从⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹中取两个条件加以组合，能推出四边形是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合。

【解析】 本题6个条件中任取2个，共有15种组合情形，其中能证明是平行四边形的有9种情况：

    　　　① ⑴，⑶；② ⑵，⑷；③ ⑸，⑹；④ ⑴，⑵；

    　　　⑤ ⑶，⑷；⑥ ⑴，⑸；⑦ ⑴，⑹；⑧ ⑶，⑸；⑨ ⑶，⑹．

【答案】① ⑴，⑶；② ⑵，⑷；③ ⑸，⑹；④ ⑴，⑵；

    　　　⑤ ⑶，⑷；⑥ ⑴，⑸；⑦ ⑴，⑹；⑧ ⑶，⑸；⑨ ⑶，⑹．

【例2】         如图，在平行四边形中，与相交于点，图中共有      个平行四边形

【解析】省略

【答案】个

【例3】         以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（    ）

A．2个      B．3个       C．4个        D．5个

【解析】省略

【答案】B

【例4】         如图，在平行四边中，、为对角线，，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ）．

 A．3    B．6     C．12      D．24

【解析】利用平行线的性质及割补法可得C．

【答案】C

【例5】         如图，在平行四边中，已知，，平分

交边于点，则等于         ．

【解析】过作交于点F，由于平分，有

即，，即

【答案】见解析

【例6】         如图，在平形四边形中，，为垂足．如果则        ．

【解析】过A作交CD于点F，可得四边形AECF为矩形，从而有

则

【答案】见解析

【例7】         如图，平行四边形的周长是，的周长是，则的长为           ．

【解析】略

【答案】8cm

【例8】         如图，平行四边形中，的垂直平分线交于，则的

周长是

【解析】由中垂线定理可知AE=EC，则的周长为

【答案】8 

【例9】         为平行四边形两个角平分线和的交点，，，平行四边形的周长为18，则            ．

【解析】由于AM、BM均为角平分线，故，则由勾股定理可得AB=5

即可得BC=4

【答案】4 

【例10】     平行四边形的两个邻边得长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则短边间的距离为            ．

【解析】由平行四边形面积公式即可得

【答案】10

【例11】     如图，在平行四边形中，于，于，若，平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为            。

【解析】连接AC，将平行四边形面积分为两个面积相等的三角形的面积和

可设，则，有，可得，

则平行四边形的面积为：

【答案】48

【例12】     如图，平行四边形中，于，于点，则平行四边形的面积为            。

【解析】由于且，则，，

又有，可得。又由，可得

则平行四边形的面积为：

【答案】

【例13】     如图，点是平行四边形对角线上的两点，且，那么和相等吗？请说明理由

【解析】因为是平行四边形

        所以

        所以，又因为，

        所以

        又因为，

        所以，所以

【答案】

【例14】     已知如图：平行四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．

【解析】，得到，即四边形是平行四边形

【答案】略

【例15】     已知如图：，，，求证：．

【解析】四边形为平行四边形，平行加角平分线得出为等腰三角形，然后根据，故

【答案】略

【例16】     如图，是平行四边形的对角线上的两点，.

求证：（1）≌；

（2）.

【解析】（1）∵，

∴，即.

又∵是平行四边形，

∴.

∴. 

∴≌

（2）∵≌

∴.

∴.

【答案】（1）∵，

∴，即.

又∵是平行四边形，

∴.

∴. 

∴≌

（2）∵≌

∴.

∴.

【例17】     如图，已知：在平行四边形中，的平分线交边于，的平分线交于，交于．求证：．

【解析】⑴ ①（答案不惟一）

⑵ ∵四边形是平行四边形（已知）

∴，（平行四边形的对边平行且相等）

∴，（两直线平行，内错角相等）

又∵平分，平分（已知）

∴，（角平分线定义）

∴，．

∴，（在同一个三角形中，等角对等边）

∴

∴，即

【答案】⑴ ①（答案不惟一）

⑵ ∵四边形是平行四边形（已知）

∴，（平行四边形的对边平行且相等）

∴，（两直线平行，内错角相等）

又∵平分，平分（已知）

∴，（角平分线定义）

∴，．

∴，（在同一个三角形中，等角对等边）

∴

∴，即

【习题1】如图，四边形为平行四边形，即，．通过证明三角形全等来说明：

⑴，．（对边相等）

⑵，．（对角线互相平分）

【解析】省略

【答案】⑴ ∵，

∴，

在和中，

∴

∴，．

⑵ 在和中，

∴，．

【习题2】在平行四边形中，点、、、和、、、分别为和的五等分点，点、和、分别是和的三等分点，已知四边形的面积为，则平行四边形面积为（    ）

A．2      B．       C．        D．

【解析】利用对称性、平行线的性质及割补法可得C．

【答案】C

【习题3】如图，已知：是的角平分线，在上截取，连接，求证：四边形是平行四边形

【解析】省略

【答案】因为平分

        所以

        因为，所以

        所以

        因为，所以

        因为，所以是平行四边形

【习题4】如图，中，是的中点，是上任意一点，∥，∥．求证：与互相平分．

【解析】省略

【答案】连结、．

∵∥，∥，∴四边形是平行四边形

∴

∵，∴

∵∥，∴四边形是平行四边形

∴与互相平分