【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）8特殊的平行四边形2．教师版

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且四边相等．

② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

4．三角形的中位线

中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．

也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．

以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中

位线，再用中位线的性质．

定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．

5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

6．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：

① 边的性质：对边平行，四条边都相等．

② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

7．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．

判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

板块一、菱形的性质及判定

【例1】         如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是______．

【解析】省略

【答案】

【例2】         如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于           ．

【解析】省略

【答案】

【例3】         如图，已知菱形的对角线于点，则的长为    

【解析】省略

【答案】

【例4】         如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（    ）

A．        B．         C．        D．

【解析】省略

【答案】D

【例5】         已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．

【解析】省略

【答案】或

【例6】         如图，在菱形中，在上，点在上，则的最小值为       

【解析】关于对称，连交于，且

为最小值

【答案】

【例7】         如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是          ．

【解析】等；

【答案】

【例8】         如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形．

【解析】省略

【答案】根据题意可知  

则.

∵， 

∴.

∴，  

∴.

∴， 

∴四边形为菱形.

板块二、中位线与平行四边形

【例9】         顺次连结面积为的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个         ，其面积为        ．

【解析】理由：由中位线得即可．

【答案】．

【例10】     如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，四边形还满足的一个条件是            ，并说明理由．

【解析】理由：由中位线得即可．

【答案】．

【例11】     如图，四边形中，分别是边的中点，则和的关系是（   ）

A．              B．

C．              D．

【解析】连结，取的中点，连结，由三角形的中位线可知选B

【答案】B

【例12】     如图，四边形中，分别是的中点，求证：相互垂直平分

【解析】连结，根据题意，分别是的中位线，所以，同理可证：，因为，所以，则四边形是菱形，所以相互垂直

【答案】见解析

【例13】     如图，在四边形中，、分别为、的中点，，和相交于点，分别与、相交于、，求证：．

【解析】取中点，连结、．

利用中位线可得

∴

∵，

∴

∴

【答案】见解析

板块三、正方形的性质及判定

【例14】     如图，在正方形中，为边的中点，，分别为，边上的点，若，，，则的长为      ．

【解析】省略

【答案】

【例15】     如图，是正方形对角线上的一点，求证：．

【解析】省略

【答案】因为四边形是正方形

所以

又是公共边

所以

所以

【例16】     如图所示，正方形对角线与相交于，∥，且分别与交于．试探讨与之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．

【解析】省略

【答案】与的关系是：且

∵是正方形，∴

∵∥，∴，∴

∵，

∴≌，∴，

∵，∴

∴

【例17】     如图，已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么      

【解析】省略

【答案】

【例18】     如图，在正方形中，为边上的一点，为延长线上的一点，，，求的度数.

【解析】省略

【答案】∵，，，

        ∴≌

∴

        ∵

∴

        ∵，

∴

        ∴

【例19】     如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：．

【解析】省略

【答案】延长，交于点

可证及

可得

∴

∵ 

∴ 

∴

又∵ 

∴

【例20】     如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．

⑴ 求证：四边形是菱形；

⑵ 若，求证：四边形是正方形．

【解析】省略

【答案】⑴ ∵四边形是平行四边形，∴．

又∵是等边三角形，∴，即．

∴平行四边形是菱形．

⑵ ∵是等边三角形，∴．

∵，∴．

∵，∴．∴．

四边形是菱形，∴

∴四边形是正方形．

【例21】     已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．

⑴ 求证：四边形为矩形；

⑵ 当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．

【解析】省略

【答案】⑴ 证明：在中，，

∴

∵是外角的平分线

∴

∴

又∵，

∴

∴四边形为矩形．    

⑵ 例如，当时，四边形是正方形

证明：∵，于

∴

又，

由⑴四边形为矩形

∴矩形是正方形．

【例22】     如图，在线段上，和都是正方形，面积分别为和，则 的面积为            

【解析】过作交延长线于，

【答案】

【习题1】如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则

        度．

【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形

【答案】

【习题2】菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为        

【解析】省略

【答案】

【习题3】如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，．当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由．

【解析】当（或或）时，四边形是菱形

理由如下：

∵，∴

又点为中点，∴

∴四边形为平行四形边

∵

∴四边形为菱形

【答案】见解析

【习题4】如图，中，是的平分线，于，为的中点，，，则的长为           ．

【解析】延长交于点．利用中位线的性质和直角三角形斜边中线可得．

【答案】

【例23】     若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为           ．

【解析】省略

【答案】（如图1）或（如图2）．

【习题5】已知如图所示，、、、分别是四边形的四边的中点，求证：四边形是平行四边形．

【解析】连接．

∵、分别为、中点

∴，∥

又∵、分别为、中点

∴，∥，∴，∥

∴四边形为平行四边形

【答案】见解析

【习题6】已知正方形的边长是正方形的对角线，则        

【解析】省略

【答案】

【习题7】如果点、是正方形的对角线上两点，且，你能判断四边形的形状吗？并阐明理由．

【解析】省略

【答案】连接，交于．

∵四边形为正方形，∴，，

∵，∴

∴四边形为平行四边形

∵，∴四边形为菱形