【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）11函数及图像3.教师版

平移规律：一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则

模块一  一次函数图象的几何变换

【例1】         （2011•乌鲁木齐）将直线向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（   ）

A．  B．  C．  D．

【解析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．

【解答】直线向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为，

即．故选．

【巩固】直线可以由直线向    平移    个单位得到的．

【难度】2星

【解析】略

【答案】下，4

【巩固】一次函数的图象可以看成由正比例函数的图象向    （填“上”和“下”）平移    个单位得到的．

【难度】2星

【解析】略

【答案】下，3

【巩固】把函数的图像向右平行移动个单位，求：

（1）平移后得到的直线解析式；

（2）平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标．

【解析】（1）因为直线向右平移个单位，所以，且平移后经过点．设所求解析式为，

将代入，得．所以所求直线解析式为．

（2）因为到两坐标轴距离相等的点在直线或上，所以解方程组

和

得和

【答案】（1）；（2）或

模块二  用待定系数法求一次函数解析式

先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．

 用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

 ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；

 ②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；

 ③解方程（组），得到待定系数的值；

 ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．

☞待定系数法

【例2】        如果的自变量增加4，函数值相应地减少16，则k的值为（   ）

A.4     B.- 4          C.               D.

【解析】       由题意得：，将带入等式，即，所以解出

【答案】B

【例3】        已知与成正比例，其中、是常数，当时，，当时，.求与的函数关系．

【解析】       根据题意，设(),即

由题意，得   ，解得，.

所求函数关系式为.

【巩固】已知与成正比例，且当时.求与之间的函数关系式．

【解析】       与成正比例，设()

当时，，求得，与之间的函数关系式为

【巩固】（2009•桂林）如图，是一个正比例函数的图象，把该图象向左平移一个单位长度，得到的函数图象的解析式为             ．

【解析】寻找原直线解析式上的向左平移一个单位长度，得到的点．

【答案】可从正比例函数上找两点：（0，0）、（﹣1，2），这两个点左平移一个单位长度，得（﹣1，0）（﹣2，2），

那么这两个点在向左平移一个单位长度得到的函数图象的解析式y=kx+b上，则﹣k+b=0，﹣2k+b=2

解得：k=﹣2，b=﹣2．

∴得到的解析式为：y=﹣2x﹣2．

【点评】解决本题的关键是找到所求直线解析式中的两个点．

【巩固】已知与成正比例，且当时.求与之间的函数关系式．

【解析】       与成正比例，设 ()

当时，，求得，与之间的函数关系式为

【答案】

【例4】        已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．

【解析】       设这个一次函数的解析式为：，由题意可知，解得

故这个一次函数的解析式为：．

这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．

【答案】

【例5】        已知一次函数中自变量x的取值范围为，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式。

【解析】       当时，随的增大而增大，由，可知

时，；时，

        所以，解得

        故函数解析式为。

当时，随的增大而减小，由，可知

时，；时，

所以，解得

故函数解析式为。

【巩固】已知一次函数，当时，对应的值为，求的值.

【解析】       若，所以当时，；当时，；解得，，；

若，所以当时，；当时，；解得，，.

【答案】

【例6】        （1）（★★★）(09山东泰安)已知是一次函数，表给出了部分对应值，的值是                ．

（2）（★★★）（08永州）如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，根据图中信息求：求这个函数的解析式 ．

【解析】       （1）；

（2）设一次函数的解析式为

将点，代入，得

解之，得

∴解析式为 ．

【例7】        (08年上海市中考题)如图，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是           ．

【解析】       根据题意可得的解析式为，向上平移一个单位以后，可得：，即

【例8】        ⑴（★★）如果直线经过第一、二、三象限，那么　　　　　（填“”、“”、“”）．

⑵（★★）已知一次函数．求：①为何值时，一次函数的图象经过原点．②为何值时，一次函数的图象与轴交于点．

【解析】       ⑴先画草图，根据已知得随的增大而增大，可知；图象与轴交点在轴上方，知，故．

⑵①；②

☞对称

【例1】        若直线与直线关于轴对称，则的值分别是（　　）

A、﹣2，﹣2  B、﹣2，2  C、2，﹣2  D、2，2

【解析】先根据两直线关于轴对称的特点求出函数的解析式，即可确定答案．

【答案】∵直线与直线关于轴对称，

∴．

故选A．

【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

【巩固】（2005•天津）若正比例函数y=kx与y=2x的图象关于x轴对称，则k的值=         ．。

【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．则两个解析式的k值应互为相反数．

【答案】两个解析式的k值应互为相反数，即k=﹣2．

【点评】若两个正比例函数的图象关于x轴对称，则k值互为相反数．

模块三  一次函数与方程及不等式综合

1.一次函数与一元一次方程的关系：

直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。

2.一次函数与一元一次不等式的关系：

任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

3.一次函数与二元一次方程（组）的关系：

    一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。

☞一次函数与一元一次方程综合

【例9】         已知直线和交于轴上同一点，的值为（    ）

A．   B．  C．  D．

【解析】分别求出两个直线与x轴的交点坐标分别为和，因为交与x轴上的同一点，所以可列方程，解得

【答案】C

【例10】     已知一次函数与的图象相交于点，则______．

【解析】分别将点代入两个一次函数解析式，得和，联立方程得，所以

【答案】16

【例11】     已知一次函数的图象经过点，，则不求的值，可直接得到方程的解是______．

【解析】分别根据题意可知当时，

【答案】1

☞一次函数与一元一次不等式综合

【例12】     已知一次函数．

（1）画出它的图象；

（2）求出当时，的值；

（3）求出当时，的值；

（4）观察图象，求出当为何值时，，，

【解析】略

【答案】（1）列表：

过点和作直线，此直线即为一次函数的图象，如图所示：

（2）当时，

（3）当时，

（4）观察图像可知，当时，函数的图象在x轴下方，；

当时，；

当时，函数的图象在轴上方，．

【例13】     已知，．当时，x的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

【解析】根据题意可知列不等式，解不等式即可

【答案】C

【例14】     直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

【解析】根据题意结合图象看出，当时，直线在直线上方

【答案】

【例15】     若解方程得，则当x_________时直线上的点在直线上相应点的上方．

【解析】列一元一次不等式或是画图象均可得出答案，上的点在直线上相应点的上方，即

【答案】

【例16】     如图，直线经过，两点，则不等式的解集为______．

【解析】根据题意本题可以先求出直线解析式再求不等式组的解集，或由题意中的两个直线上的点的坐标去判断所求的解集

【答案】

【例17】     已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：

（1）当时，的值；

（2）x为何值时，？

（3）当时，的值范围；

（4）当时，的值范围．

【解析】（1）设一次函数的解析式为，

由题意，列得，解得

∴一次函数的解析式为

∴当时，

（2）∵

∴，解不等式得：

∴当时，

（3）∵，∴

又∵，即

解得：

∴当时，

（4）∵，∴ 解得：

∴当时，

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

☞一次函数与二元一次方程（组）综合

【例18】     已知直线与的交点为（-5，-8），则方程组的解是________．

【解析】两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解

【答案】

【例19】     已知方程组（为常数，）的解为，则直线和直线的交点坐标为________．

【解析】二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标

【答案】

【例20】     已知，是方程组的解，那么一次函数________和________的交点是________．

【解析】一次函数与二元一次方程组的关系，将方程组中的两个二元一次方程整理成用x表示y的形式，则是两个一次函数的解析式和，方程组的解即是两个一次函数图象交点的横纵坐标坐标，即

【答案】，，

【例21】     一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（    ）

A．0  B．1  C．2  D．3

【解析】（1）直线经过二、四象限，则，所以①是正确的；（2）直线与y轴交于y轴的负半轴，∴，所以②是错误的；（3）由两个一次函数图象可知时，直线在直线上方，∴，∴③是错误的。因此只有一个是正确的。

【答案】B．

【例22】     若直线与轴交于点，则的值为（    ）

A.3   B.2   C.1   D.0

【解析】列一元一次方程得：，解得：

【答案】A

【例23】     已知一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

【解析】根据图象列关于k,b的二元一次方程组，求出函数解析式，整理出，∴，则是，求不等式的解为

【答案】C

【例24】     如图所示的是函数与的图象，求方程组 的解关于原点对称的点的坐标是________．

【解析】考察一次函数与二元一次方程组的关系，在平面直角坐标系内可知两个直线的交点坐标为，所以它关于远点的对称的点的坐标是

【答案】

【例25】     一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（    ）

A．  B．  C．  D．

【解析】，即，∴由图象看出与x轴交于点（-2，0）

【答案】A

【例26】     如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集是________．

【解析】由图象知，，即则图象在x轴下方，所以

【答案】

【例27】     把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（    ）

A.无解  B.有唯一解  C.有无数个解   D.以上都有可能

【解析】二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标，若两条直线平行，则说明这两条直线无交点，则此二元一次方程组无解

【答案】A

1. 将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是                  ．

【难度】2星

【解析】略

【答案】

2. 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（   ）

A.                

B.

C.                               

D.

【解析】       由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为，同时根据图象看出自变量的取值范围为

【答案】B

3. 当自变量满足什么条件时，函数的图象在：

（1）轴上方；  （2）轴左侧；  （3）第一象限．

【解析】（1），解这个不等式，得

（2）函数图象在轴左侧，应取负数，即

（3）函数图象在第一象限，则应有，

【答案】（1）；（2）；（3）

4. 如图，直线与轴交于点，则时，的取值范围是（    ）

A.  B．  C.   D．

【解析】由题意结合图象可知，则

【答案】A

5. 当自变量满足什么条件时，函数的图象在：

（1）轴下方；   （2）轴左侧；   （3）第一象限．

【解析】令解得.根据题意，三种情形应分别满足不等式：

（1），即，；（2）；

（3），．

【答案】（1）；（2）；（3）