【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）2.二次根式运算.学生版
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内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
二次根式的化简和运算 | 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 | 会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化） |
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模块一 二次根式的加减运算
二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．
二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．
二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出并合并同类二次根式．
【例1】 计算：（1） （2）
【巩固】＝______．
【例2】 计算：
（1） （2）
【巩固】计算：
（1） （2）
【例3】 如图，一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么它的底端是否也下滑1m？
模块二 二次根式的混合运算
在进行二次根式的混合运算时，要注意几点：
（1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如
；
（2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．
乘法公式：；．
【例4】 计算：
（1） （2）
【例5】 计算：
（1） （2）
（3） （4）
【巩固】（1） （2）
（3） （4）（）
【例6】 解方程或不等式:
（1） （2）
【巩固】已知，求的值．
模块三 二次根式的化简求值
【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：，其中．
【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值，其中，．
【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：，其中．
【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：，其中．
【例9】 已知，，求的值．
【例10】 已知，，求的值．
【例11】 求的值．
【例12】 【巩固】求的值．
【例13】 当，求代数式的值．
【巩固】已知 ，，求的值
模块四 二次根式的大小比较
通过平方比较大小
【例14】 比较大小
（1）和 （2）和
【巩固】比较大小： ．
【巩固】实数，，的大小关系是 ．（用“＞”表示）
通过做差比较大小
【例15】 比较大小
和
通过取倒数比较大小
【例16】 比较大小
（1） （2）和
模块五 非负数性质的综合应用
二次根式具有双重非负性，且，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．
【例17】 若，则的值等于 ．
【例18】 如果，则 ．
【例19】 当时，化简．
【巩固】已知，求的值．
【例20】 已知实数，，满足，求的值．
【巩固】已知实数，，满足，求
【练习1】下列计算正确的是（ ）
A B C D
【练习2】化简得（ ）．
A 2 B C D
【练习3】先将化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．
【练习】设＝，则a，b，c的大小关系是（ ）
A B C D
【练习5】已知，求 的值．
- 通过本堂课你学会了 ．
- 掌握的不太好的部分 ．
- 老师点评：① ．
② ．
③ ．
- 化简时，甲的解法是：，乙的解法：
，以下判断正确的是（ ）．
A 甲的解法正确，乙的解法不正确
B 甲的解法不正确，乙的解法正确
C 甲、乙的解法都正确
D 甲、乙的解法都不正确
- 计算：
（1） （2）
- 化简
- 已知，，求的值．
- 请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．
- 设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，
求的值．
