【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）3反比例函数与方程、不等式、一次函数综合．教师版

板块一  反比例函数与方程、不等式

1. 此类问题重点会考察通过数形结合的思想去解方程和不等式的解
2. 反比例函数与方程（组）：如图，一次函数与反比例函数相交于、，点是反比例函数上的点，直线交轴于点，因此我们得到、、都是方程的解，、、都是方程的解，但是因为方程，方程都是不定方程，所以他们的解有无数组，分别对应的是函数图象上点的横、纵坐标。方程组的解为、，分别对应了一次函数与反比例函数交点、的横、纵坐标

3. 反比例函数与不等式：

如图，反比例函数图象上两点、，分别过、两点作轴的垂线、，直线、以及轴将反比例函数图象分成四部分：、、、

⑴当时，对应的的取值范围是

⑵当时，对应的的取值范围是

⑶当时，对应的取值范围是

⑷当时，对应的取值范围是

如图，一次函数与反比例函数相交于、，分别过、两点作轴的垂线，，则、、轴将直线和双曲线分成四段：，，、

⑴当时，双曲线在直线上方，则

⑵当时，双曲线在直线下方，则

⑶当时，双曲线在直线上方，则

⑷当时，双曲线在直线下方，则

反之，若，则或；若，则或

【例1】         已知函数和

⑴在如图所示坐标系中画出这两个函数的图象；

⑵求这两个函数图象的交点坐标；

⑶观察图象，当在什么范围时，

【解析】本题是反比例函数与方程组和不等式的综合，直线与双曲线交点的坐标即是两个函数解析式所组成的方程组的解；判定两函数值的大小可利用图象，根据点的坐标的意义来判定

【答案】⑴略；⑵联立方程组得，解得；

∴两函数图象的交点坐标为、

⑶根据图象得，当或时，

【巩固】如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于，两点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图像回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

【解析】略

【答案】（1）∵在的图像上，

∴，

又∵在的图像上，

∴，即

解得：，，

反比例函数的解析式为，

一次函数的解析式为.

（2）从图像上可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值.

【巩固】如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于点．

（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；

（2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围．

【解析】略

【答案】（1）由题意，得，

解得，所以一次函数的解析式为．

由题意，得，

解得，所以反比例函数的解析式为．

由题意，得，解得．

当时，，所以交点．

（2）由图象可知，当或时，

函数值．

【例2】         如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；

(3)求方程的解（请直接写出答案）；

(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.

【解析】（1）∵在函数的图象上

∴．

∴反比例函数的解析式为：．

∵点在函数的图象上

∴

∴

∵经过，，

∴     解之得

∴一次函数的解析式为：

（2）∵是直线与轴的交点

∴当时，

∴点

∴

∴

（3）

（4）或

【答案】见解析

【巩固】利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线         和直线，其交点的横坐标就是该方程的解．

（2）已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解（结果保留两个有效数字）．

【解析】（1） 

（2）由图象得出方程的近似解为：

【答案】见解析

板块二  反比例函数与一次函数的综合

☞反比例函数与一次函数图象分布

【例3】         函数与函数在同一坐标系中的大致图象是（    ）

【解析】假设法与排除法

【答案】

【巩固】函数与（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）

【解析】假设法与排除法

【答案】

☞反比例函数与一次函数图象有关交点问题

【例4】         在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于       ．

【解析】本题主要考察一次函数和反比例函数的表达式。本题中由直线向上平移1个单位长度得到直线的表达式，将点坐标代入求出，再将的坐标（1，2）代入反比例函数的表达式得出。一次函数图像向上平移时中的值增加。通过一次函数的表达式求出再去求的值。

【答案】

【巩固】在平面直角坐标系中，直线绕点顺时针旋转的到直线.直线与反比例函数的图象的一个交点为(，)，试确定反比例函数的解析式.

【解析】略

【答案】直线绕点顺时针旋转的到直线:，因为点(，)在直线上，所以，即(，)在的图像上， 所以反比例函数的解析式为

【例5】         已知反比例函数()的图像经过点(，)，过点作轴于点，且的面积为.

⑴求和的值.

⑵若一次函数的图象经过点，并且与轴相交于点，求 的值.

【解析】略

【答案】⑴，所以，

⑵点(，)，直线过此点，所以，点 

坐标为(，)，易得

【巩固】已知一次函数()的图象与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数()的图象在第一象限交于点，垂直于轴，垂足为.若，

⑴     点、、的坐标；

⑵     求一此函数与反比例函数的解析式.

【解析】略

【答案】⑴(，)、(，)、(，)；⑵；.

【例6】         已知正比例函数与反比例函数图象交点到轴的距离是3，到轴的距离是4，求它们的解析式．

【解析】注意分类讨论

【答案】设正比例函数，反比例函数为

        由，得，要它们有交点，则，即、应同号，方程组才有实数解．

        当、同为正时，两图象的交点分别在第一、三象限内，

        故交点坐标为(，)或(，)

        将其中一个交点(，)代人所设两个函数解析式中，

        求得，，和

        当、同为负数时，两图象的交点分别在第二、四象限内，

        交点坐标为(，)或(，)

        将(，)代入所设解析式中，得和

        正比例函数解析式为或

        反比例函数解析式为或

☞反比例函数与四边形

【例7】         如图，点，都在反比例函数的图象上．

（1）求的值；

（2）如果为轴上一点，为轴上一点， 以点为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．

【难度】4星

【解析】略

【答案】（1）由题意可知，．解，得．

∴；

∴．

（2）存在两种情况，如图：

①当点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴

上时，设点坐标为，点坐标为．

∵ 四边形为平行四边形，

∴线段可看作由线段向左平移3个单位，

再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．

由（1）知坐标为（3，4），坐标为（6，2），

∴点坐标为，即；

点坐标为（6－3，0），即（3，0）．

设直线的函数表达式为，把代入，解得．

∴ 直线的函数表达式为．

②当点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上时，

设点坐标为，点坐标为．

∵，

∴．

∴线段与线段关于原点成中心对称．

∴点坐标为（-3，0），点坐标为（0，-2）．

设直线的函数表达式为，把代入，解得，

∴ 直线M2N2的函数表达式为．

所以，直线MN的函数表达式为或．

【例8】         已知与是反比例函数图象上的两个点．

（1）求的值；

（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由，得，因此．

（2）如图1，作轴，为垂足，

则，，，因此．

由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．

当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，故不符题意．

当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，

过点分别作轴，轴的平行线，交于点．

由于，设，则，，

由点，得点．

因此，

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不等，故四边形是梯形．

如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．

由于，因此，从而．作轴，为垂足，

则，设，则，

由点，得点，

因此．

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．

如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，

同理可得，点，四边形是梯形．

综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，

点的坐标为：或或．

【答案】（1）；（2）存在．或或．

【例9】         如图，是函数()图象上一点，直线交轴于点，交轴于点，轴于，交于，轴于，交于.求的值.

【解析】设点(，)，过点、分别作轴的垂线，易得，，.

【答案】1

1. 直线()与双曲线交于(，)，(，)两点，求的值.

【解析】，，又，，原式.

【答案】见解析

2.   已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点的坐标

为．

（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；

（2）求点的坐标．

【解析】（1）把点分别代入与得，，．

正比例函数、反比例函数的表达式为：．

（2）由方程组得，．

∴点坐标是

【答案】见解析

3.   如图，是一次函数与反比例函数的图像，则关于的方程的解为(    )

A     B      C     D

【解析】 对数形结合的充分考察，利用图形很快的得出结论：即为交点的横坐标：故选C

【答案】见解析

【习题1】已知一次函数与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为(，)

⑴求的值.     

⑵求一次函数和反比例函数的解析式.

【解析】 ，，.

【答案】见解析

【习题2】如图，一次函数的图象分别交轴、轴于为上一点且为的中位线，的延长线交反比例函数的图象于，，则的值和点的坐标分别为______________.

【解析】 利用一次函数的性质求解A，B点的坐标，

进而得到P的坐标根据题意Q点的坐标就易得了，

所以，

【答案】见解析

【习题3】已知一次函数与反比例函数的图象交于点(，)，(，)．

⑴ 求这两个函数的函数关系式；

⑵ 在给定的直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的 大致图象；

⑶ 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

【解析】 ⑴ 设两个函数分别为和.

根据，得到，

即和.⑵ 图略.

        ⑶ 当或时一次函数的值大于反比例函数的值；

           当或时一次函数的值小于反比例函数的值.

【答案】见解析