【精品练习卷】人教版 九年级下册数学 27.2.3 相似三角形应用举例练习卷

 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则BF的长为（        ）

A.5cm        B．6cm            C．8cm              D．9cm

【答案】D．

【解析】

试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，

∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm，∴BF的长为6+3=9．

故选D．

考点：1.平行四边形的性质；2.相似三角形的判定与性质．

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（  ）

A．3           B．4           C．5            D．6

【答案】A．

【解析】 

试题分析：设BC=BD=x，AD=y，因为∠C=∠ADE=90°∠A=∠A，所以△ADE∽△ACB；两三角形的周长之比为1：2，所以AD：AC=1：2，则AC=2y；

根据三角形ABC的周长为12得：x+（x+y）+2y=12；即：2x+3y=12…①

根据勾股定理得：（2y）2+x2=（x+y）2，即：2x=3y…②

联合①②得：x=3，y=2；

故应选A．

考点:相似三角形的判定与性质应用．

3. 如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（  ）

A．5.5m

B．6.2m

C．11m[来源:学_科_网]

D．2.2m

【答案】A

【解析】如图，作DE⊥FC于点E，∴△ABC∽△CED，∴．

设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米．∴，解得x＝5.5．故选A．

考点：相似三角形的应用.

4. 如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】

试题分析：根据已知条件得出△ADC∽△BDE，然后依据对应边成比例即可求得．

∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，

∴△ADC∽△BDE，[来源:学§科§网Z§X§X§K]

∴=，

又∵AD：DE=3：5，AE=8，

∴AD=3，DE=5，

∵BD=4，

∴=，

∴DC=，

故应选：A．

考点:相似三角形的判定和性质应用.

5.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（  ）

A．∠C=2∠A                       B．BD平分∠ABC

C．S△BCD=S△BOD                       D．点D为线段AC的黄金分割点

【答案】C．

【解析】

试题解析：A、∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠C=∠ABC=72°，

∴∠C=2∠A，正确，

B、∵DO是AB垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴∠DBC=72°-36°=36°=∠ABD，

∴BD是∠ABC的角平分线，正确，

C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，

D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，

∴△DBC∽△CAB，

∴，

∴BC2=CD•AC，

∵∠C=72°，∠DBC=36°，

∴∠BDC=72°=∠C，

∴BC=BD，

∵AD=BD，

∴AD=BC，

∴AD2=CD•AC，

即点D是AC的黄金分割点，正确，

故选C．

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质应用；3.黄金分割

6.  如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是

A．3          B．2        C．2        D．

【答案】C．

【解析】

试题分析：延长AC交⊙O于F，连接FD．

∵∠C=90°，DE∥BC，

∴∠DEF=90°，∴FD是圆的直径．

∵AB切⊙O于D，∴FD⊥AB．

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．

∴，即，

∴DE=4．

∵∠ADF=90°，DE⊥AF，

∴△ADE∽△DFE，

∴DE2=AE•EF，即42= •EF，

∴EF=4 ．

∴DF==4，

∴半径为2．

故选C．

考点：1.切线的性质2.圆周角定理3.相似三角形的判定与性质应用．

二、填空题

7. 如果两个相似三角形的对应中线之比是1︰4，那么它们的周长比是        .

【答案】1:4

【解析】

试题分析：根据中线之比为1:4，可得三角形的相似比为1:4，周长之比等于相似比.

考点：三角形相似的应用.

8. 如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE=4，tanα=，AE⊥EF，CF⊥EF，EF=CF，则正方形的边长为       ．

【答案】10．

【解析】

试题分析：由AE⊥EF，CF⊥EF，AE=4，tanα=，可找出ME的长度以及用CF表示出FM的长度，再由EF=CF，可找出CF的长，结合勾股定理与正方形的性质即可得出正方形的边长．

令EF与AC的交点为点M，如图所示．

∵AE⊥EF，CF⊥EF，

∴∠AEM=∠CFM=90°，

∵∠AME=∠CMF，

∴△AME∽CMF，

∴∠EAM=∠FCM=α．

∵AE=4，tanα=，

∴EM=3，FM=CF，

∵EF=EM+FM=3+CF=CF，

∴CF=12，FM=9．

由勾股定理可知：AM==5，CM==15，

∴AC=AM+CM=20．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AC=10．

考点：相似三角形的判定与性质应用；正方形的性质；解直角三角形．

9.如图，在中，DE//BC，，的面积是8，则四边形DBCE的面积是_____．

【答案】10

【解析】

试题分析：根据DE∥BC可得：△ADE∽△ABC，根据，则△ADE的面积：△ABC的面积=4:9，根据题意可得：△ABC的面积为18，则四边形DECB的面积=18－8=10．

考点：三角形相似的应用

10. 如图，小明在打网球时，球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为________米．

【答案】

【解析】由题意得题图中的两个三角形相似，所以 ，

解得 ，即球拍击球的高度为 米．

考点：三角形相似的应用

三、解答题

11．小明想利用太阳光测量楼高。他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．（6分）

[来源:Zxxk.Com]

【答案】20.0m

【解析】

试题分析：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，

∵AB∥CD，DG⊥AB，AB⊥AC，

∴四边形ACDG是矩形，

∴EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，

∵EF∥AB，

∴，

由题意，知FH=EF﹣EH=1.7﹣1.2=0.5，

∴，解得，BG=18.75，

∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．

∴楼高AB约为20.0米．

考点：相似三角形应用。

12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ： =9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．

【答案】（1）4.8（2）t=秒或t=3（3）存在，t为2.4秒或秒或秒时

【解析】

试题分析：（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．

（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用=9：100建立t的方程，解方程即可解决问题．

（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t．

试题解析：（1）如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BC·AC=AB·CD．

∴CD===4.8．

∴线段CD的长为4.8；

（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．

由题可知DP=t，CQ=t．

则CP=4.8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．

∵PH⊥AC，

∴∠CHP=90°．

∴∠CHP=∠ACB．

∴△CHP∽△BCA．

∴．

∴．

∴PH=．

∴=CQ·PH=t·（）=；

②存在某一时刻t，使得=9：100．

∵=×6×8=24，且=9：100，[来源:学,科,网Z,X,X,K]

∴（）：24=9：100．

整理得：5t2﹣24t+27=0．

即（5t﹣9）（t﹣3）=0．

解得：t=或t=3．[来源:学科网ZXXK]

∵0≤t≤4.8，

∴当t=秒或t=3秒时， =9：100；

（3）存在

①若CQ=CP，如图1，

则t=4.8﹣t．

解得：t=2.4．

②若PQ=PC，如图2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴．

∴．

解得；t=．

③若QC=QP，

过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．

同理可得：t=．

综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．

考点：1、相似三角形的判定与性质应用，2、等腰三角形的性质，3、一元二次方程的应用，4、勾股定理