【精品练习卷】人教版 九年级下册数学 专题五　阅读理解问题 练习卷

（时间：40分钟，满分42分）

班级：___________姓名：___________得分：___________

一、选择题（每题3分）

1. 13世纪数学家斐波那契的（计算书）中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（  ）

A．42 B．49 C．76 D．77

【答案】C

【解析】

试题分析：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．依此即可求解．依题意有，刀鞘数为76．

2. 给出一种运算：对于函数，规定。例如：若函数，则有。已知函数，则方程的解是（    ）

A.         B.

C.            D.

【答案】B

【解析】

试题分析：依题意，当时，，解得：

二、填空题（每题3分）

3. 在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39  ②，

②一①得：3S―S＝39－1，即2S＝39－1，

∴S＝.

得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016的值？如能求出，其正确答案是___________.

【答案】.

【解析】

试题分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016 …………………①，

在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017 …………………②

②一①得：mS―S＝m2017－1.

∴S＝.

4.对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为                      ．

【答案】（，）或（，）．

【解析】

试题分析：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，根据直线l：得：OM=，ON=3，由勾股定理得：MN==；[来源:学科网]

①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，由cos∠ABD=cos∠ONM=，∴，AB=，则AD=1，∵DG∥y轴，∴△MDG∽△MON，∴，∴，∴DG=，∴CG=+=，同理可得：，∴，∴DH=，∴C（，）；

②矩形在x轴上方时，同理可得：C（，）；

故答案为：（，）或（，）．

三、解答题（每题10分）

5. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，），且，，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0）．

①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

【答案】（1）①2；② 或 ；（2）1≤m≤5 或者．

【解析】

试题分析：（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；

②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；

（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围．

试题解析：（1）①∵A（1，0），B（3，1），由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；

②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形，∴直线AC与x轴的夹角为45°，设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n，把（1，0）分别y=x+m，∴m=﹣1，∴直线AC的解析为：y=x﹣1，把（1，0）代入y=﹣x+n，∴n=1，∴y=﹣x+1，综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；

（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，∵点M，N的“相关矩形”为正方形，∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，∴k=±1，∵点N在⊙O上，∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，当k=1时，作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA，OC，把M（m，3）代入y=x+b，∴b=3﹣m，∴直线MN的解析式为：y=x+3﹣m．∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD=OA=2，∴D（0，2）；

同理可得：B（0，﹣2），∴令x=0代入y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，当k=﹣1时，把M（m，3）代入y=﹣x+b，∴b=3+m，∴直线MN的解析式为：y=x+3+m，同理可得：﹣2≤3+m≤2，∴﹣5≤m≤﹣1；

综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．

6. 如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．

【探究证明】[来源:学科网]

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；

（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．

【归纳猜想】

（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为          ，          ；

（4）图n中，“叠弦三角形”      等边三角形（填“是”或“不是”）

（5）图n中，“叠弦角”的度数为            （用含n的式子表示）

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）15°，24°；（4）是；（5）．

【解析】

试题分析：（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；

（2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可；

（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；

（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；

（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．

试题解析：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'，∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形；

（2）如图2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五边形，由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°，∴∠EAP=∠E'AO，∴△APE≌△AOE'（ASA），∴∠OAE'=∠PAE．

在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AE=AB，∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN，∴Rt△APM≌Rt△AON （HL），∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB，∴∠OAE'=∠OAB  （等量代换）．

（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，∵AD′=AB，AO=AO，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋转得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，∴∠D′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案为：15°，24°．

（4）如图3，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO

∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等边三角形．

故答案为：是．

（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=．

故答案：．

7. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：

                  阿基米德折弦定理

     阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．

 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．

下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点， ∴MA=MC    ．．．

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于，AB=2，D为上一点， ，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是          ．

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、2+2[来源:学科网]

【解析】[来源:学&科&网]

试题分析：(1)、已截取CG=AB  ∴只需证明BD=DG，且MD⊥BC，所以需证明MB=MG，故证明△MBA≌△MGC即可；(2)、AB=2，利用三角函数可得BE=，由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC，则△BDC周长=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE=BC+（DC+DE）+BE=BC+BE+BE=BC+2BE，然后代入计算可得答案

 试题解析：(1)、又∵，  ∴ △MBA≌△MGC．  ∴MB=MG．

又∵MD⊥BC，∵BD=GD．   ∴CD=CG+GD=AB+BD．

(2)、   ．

[来源:学_科_网Z_X_X_K]