【精品讲义】人教版 初中数学同步九年级 专题21.2 解一元二次方程（含答案）

第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
知识构建
1．直接降次解一元二次方程
（1）依据平方根的意义，将形如 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．
（2）步骤：
①将方程转化为（或）的形式；
②分三种情况降次求解：
（ⅰ）当时， ；（ⅱ）当时， ；（ⅲ）当时，方程 ．
2．用配方法解一元二次方程
（1）定义：通过配成 形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：将常数项移到方程等号的右边．
二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为．
三配：方程两边都加上 ，将方程左边配成完全平方的形式．
四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根．
（3）配方法解一元二次方程：
①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解．
②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根．
③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况．
3．用公式法解一元二次方程
（1）一元二次方程根的判别式：
一般地，式子 叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即．
①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即．
②当=0时，方程有两个相等的实数根，即．
③当0时，方程有两个不相等的实数根，即．
（2）当=0时，方程有两个相等的实数根，即．
（3）当–且k≠0
21．关于x的方程kx2–2x–1=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为__________．
22．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则的值为__________．
23．关于x的一元二次方程x2+（m–2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是__________．
24．若关于x的一元二次方程（a–1）x2–x+1=0有实数根，则a的取值范围为__________．
25．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数c的值：c=__________．
26．已知一元二次方程x2+7x–1=0的两个实数根为α，β，则(α–1)(β–1)的值为__________．
27．若方程x2–kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是__________．
28．若关于x的方程x2–5x+k=0的一个根是0，则另一个根是__________，k=__________．
29．已知数轴上A、B两点对应的数分别是一元二次方程（x+1）(x–2)=0的两个根，则A、B两点间的距离是__________．
30．解关于x的方程：bx2–1=1–x2（b≠–1）．
31．用适当方法解下列方程：．



32．解方程：3x2＋2x＋1=0．




33．已知a、b分别是一元二次方程的不相等的两根，求a2+2a+b的值．




真题
34．（2018·泰安市）一元二次方程根的情况是
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
35．（2018·桂林市）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为
A． B．
C．2或3 D．或
36．（2018·湘潭市）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是
A．m≥1 B．m≤1
C．m＞1 D．m＜1
37．（2018·泰州市）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0
C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
38．（2018·眉山市）若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是
A． B．－
C．－ D．
39．（2018·宜宾市）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为
A．﹣2 B．1
C．2 D．0
40．（2018·淮安市）一元二次方程x2﹣x=0的根是__________．
41．（2018·邵阳市）已知关于x的方程x2+3x﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是__________．
42．（2018·聊城市）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是__________．
43．（2018·内江市）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为__________．
44．（威海市2018）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是__________．
45．（2018·江西省）一元二次方程的两根为 ,则的值为__________．
46．（2018·德州市）若是一元二次方程的两个实数根，则=__________．
47．（2018·南京市）设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________．
48．（2018·随州市）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．










49．（2018·黄石市）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．






50．（2018·成都市）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.









参考答案

3．【答案】C
【解析】通过提取公因式法对等式的左边进行因式分解．由原方程得到：x（x+1）=0，解得=0，=–1．故选C．
4．【答案】D
【解析】Δ=–4×1×17=–40，解得k>–1且k≠0．∴k的取值范围为k>–1且k≠0．故k的最小整数值为1．
22．【答案】10
【解析】首先由判别式大于0可知方程存在两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到x1+x2=–6，x1x2=3，再运用通分和完全平方公式变形得到=然后利用整体代入的方法计算得，．故答案为：10．
23．【答案】0或8
【解析】根据关于x的一元二次方程x2+（m–2）x+m+1=0有两个相等的实数根，可得，Δ=（m–2）2–4（m+1）=0，即m2–8m=0，解得m=0或m=8．
24．【答案】a≤且a≠1．
【解析】由题意得：Δ=（–1）2–4（a–1）×1≥0，解得a≤，又a–1≠0，∴a≤且a≠1．
25．【答案】0（答案不唯一）；
【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2–4ac=22–4c>0，解得：c–1时，x=±；b0，即b>–1时，两边开平方得：x=±，即x=±；
若b+1